Bifurkacja podwajająca okres - Period-doubling bifurcation

W dynamicznej teorii systemów , wykorzystując okres podwojenie rozwidlenie występuje, gdy niewielka zmiana w parametrach system powoduje, nowy okresowej trajektorii wyjścia z istniejącej okresowej trajektorii nowym posiadającego podwójne okres oryginału. W przypadku podwojonego okresu powtarzanie się wartości liczbowych odwiedzanych przez system trwa dwa razy dłużej (lub, w dyskretnym systemie dynamicznym, dwa razy więcej iteracji).

Okresowa o połowę rozwidlenie występuje, gdy system przełącza się nowych zachowań z połową okresu oryginalnego systemu.

Okres podwajania kaskady nieskończona sekwencja okresu podwojenia rozwidlenia. Takie kaskady są powszechną drogą, przez którą układy dynamiczne tworzą chaos. W hydrodynamice są jedną z możliwych dróg do turbulencji .

Bifurkacje dzielące okres o połowę (L) prowadzące do porządku, a następnie bifurkacje podwajające okres (R) prowadzące do chaosu.

Przykłady

Diagram bifurkacyjny dla mapy logistycznej. Pokazuje wartości atraktora , jak i , jako funkcję parametru .${\displaystyle x_{*}}$${\displaystyle x'_{*}}$${\ Displaystyle r}$

Kaskada podwajania okresu w wykładniczym mapowaniu zbioru Mandelbrota

Mapa logistyczna

Odwzorowanie logistyczne jest

${\ Displaystyle x_ {n + 1} = rx_ {n} (1-x_ {n})}$

gdzie jest funkcją czasu (dyskretnego) . Zakłada się, że parametr należy do przedziału , w którym to przypadku jest ograniczony . ${\displaystyle x_{n}}$${\displaystyle n=0,1,2,\ldots}$${\ Displaystyle r}$${\displaystyle (0,4]}$${\displaystyle x_{n}}$${\displaystyle [0,1]}$

Dla wartości od 1 do 3 zbiega się do stabilnego punktu stałego . Następnie do pomiędzy 3 a 3,44949, zbieżny do stałej oscylacji pomiędzy dwiema wartościami i które zależą od . W miarę wzrostu pojawiają się oscylacje między 4 wartościami, następnie 8, 16, 32 itd. Te okresowe podwojenia kończą się na , po którym pojawiają się bardziej złożone reżimy. Wraz ze wzrostem, istnieją pewne przedziały, w których większość wartości początkowych zbiega się do jednej lub niewielkiej liczby stabilnych oscylacji, takich jak bliski . ${\ Displaystyle r}$${\displaystyle x_{n}}$${\ Displaystyle x_ {*} = (r-1)/r}$${\ Displaystyle r}$${\displaystyle x_{n}}$${\displaystyle x_{*}}$${\displaystyle x'_{*}}$${\ Displaystyle r}$${\ Displaystyle r}$${\ Displaystyle r \ około 3,56995}$${\ Displaystyle r}$${\ Displaystyle r = 3,83}$

W przedziale, w którym okres jest dla jakiejś dodatniej liczby całkowitej , nie wszystkie punkty mają w rzeczywistości okres . Są to pojedyncze punkty, a nie interwały. Mówi się, że te punkty znajdują się na niestabilnych orbitach, ponieważ pobliskie punkty nie zbliżają się do tej samej orbity co one. ${\ Displaystyle 2 ^ {n}}$${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle 2 ^ {n}}$

Równanie Kuramoto-Sivashinsky'ego

Podwojenie okresu w równaniu Kuramoto-Sivashinsky'ego z okresowymi warunkami brzegowymi. Krzywe przedstawiają rozwiązania równania Kuramoto-Sivashinsky'ego rzutowane na płaszczyznę fazy energii (E, dE/dt) , gdzie E jest normą L ² rozwiązania. Dla ν = 0,056 istnieje orbita okresowa o okresie T ≈ 1,1759. W pobliżu ν ≈ 0,0558 rozwiązanie to dzieli się na 2 orbity, które dalej rozdzielają się w miarę zmniejszania się ν . Dokładnie przy wartości przejściowej ν nowa orbita (czerwona kreskowana) ma dwa razy dłuższy okres niż oryginał. (Jednak w miarę dalszego wzrostu ν stosunek okresów różni się dokładnie od 2.)

Równanie Kuramoto-Sivashinsky jest przykładem spatiotemporally systemu ciągłego dynamicznego okresu wykazuje, że podwojenie. Jest to jedno z najlepiej poznanych nieliniowych równań różniczkowych cząstkowych , pierwotnie wprowadzone jako model propagacji frontu płomienia.

Jednowymiarowe równanie Kuramoto-Sivashinsky'ego to

${\ Displaystyle u_ {t} + uu_ {x} + u_ {xx} + \ nu \, u_ {xxxx} = 0}$

Powszechnym wyborem dla warunków brzegowych jest okresowość przestrzenna: . ${\ Displaystyle u (x + 2 \ pi , t) = u (x, t)}$

Dla dużych wartości , ewoluuje w kierunku rozwiązań stałych (niezależnych od czasu) lub prostych orbit okresowych. W miarę zmniejszania się dynamika w końcu rozwija się w chaos. Przejście od porządku do chaosu następuje poprzez kaskadę bifurkacji podwajających okresy, z których jedną ilustruje rysunek. ${\displaystyle \nu}$${\displaystyle u(x,t)}$${\displaystyle \nu}$

Mapa logistyczna dla zmodyfikowanej krzywej Phillipsa

Rozważ poniższą mapę logistyczną dla zmodyfikowanej krzywej Phillipsa :

${\ Displaystyle \ pi _ {t} = f (u_ {t}) + b \ pi _ {t} ^ {e}}$

${\ Displaystyle \ pi _ {t + 1} = \ pi _ {t} ^ {e} + c (\ pi _ {t} - \ pi _ {t} ^ {e})}$

${\ Displaystyle f (u) = \ beta _ {1} + \ beta _ {2} e ^ {-u} \,}$

${\displaystyle b>0,0\leq c\leq 1,{\frac {df}{du}}<0}$

gdzie :

• ${\displaystyle \pi}$jest rzeczywista inflacja
• ${\ Displaystyle \ pi ^ {e}}$ jest oczekiwana inflacja,
• u to poziom bezrobocia,
• ${\displaystyle m-\pi}$to tempo wzrostu podaży pieniądza .

Utrzymując i zmieniając , system ulega bifurkacji podwajającej okresy i ostatecznie staje się chaotyczny. ${\ Displaystyle \ beta _ {1} = -2,5 \ \ beta _ {2} = 20 \ c = 0,75}$${\displaystyle b}$

Obserwacja eksperymentalna

Podwojenie okresu zaobserwowano w wielu układach eksperymentalnych. Istnieją również eksperymentalne dowody na kaskady podwajania okresu. Na przykład w dynamice konwekcyjnych rolek w wodzie i rtęci zaobserwowano sekwencje czterookresowych podwojeń . Podobnie, 4-5 podwojeń zaobserwowano w niektórych nieliniowych obwodach elektronicznych . Jednak eksperymentalna precyzja wymagana do wykrycia i- ^tego zdarzenia podwojenia w kaskadzie wzrasta wykładniczo z i , co utrudnia obserwację więcej niż 5 zdarzeń podwojenia w kaskadzie.

Zobacz też

• Lista chaotycznych map
• Złożona mapa kwadratowa
• Stałe Feigenbauma
• Uniwersalność (układy dynamiczne)
• Twierdzenie Sharkowskiego

Uwagi

Bibliografia

• Alligood, Kathleen T.; Sauer, Tim; Yorke, James (1996). Chaos: wprowadzenie do systemów dynamicznych . Podręczniki w naukach matematycznych. Springer-Verlag Nowy Jork. doi : 10.1007/0-387-22492-0_3 . Numer ISBN 978-0-387-94677-1. ISSN  1431-9381 .
• Giglio, Marzio; Musazzi, Sergio; Perini, Umberto (1981). „Przejście do chaotycznego zachowania poprzez powtarzalną sekwencję bifurkacji podwajających okres”. Fizyczne listy kontrolne . 47 (4): 243–246. doi : 10.1103/PhysRevLett.47.243 . ISSN  0031-9007 .
• Kalogirou, A.; Keaveny, EE; Papageorgiou, DT (2015). „Dogłębne badanie numeryczne dwuwymiarowego równania Kuramoto-Sivashinsky” . Materiały Towarzystwa Królewskiego A: Nauki matematyczne, fizyczne i inżynieryjne . 471 (2179): 20140932. doi : 10.1098/rspa.2014.0932 . ISSN  1364-5021 . PMC  4528647 . PMID  26345218 .
• Kuzniecow, Jurij A. (2004). Elementy stosowanej teorii bifurkacji . Stosowane nauki matematyczne. 112 (3rd ed.). Springer-Verlag . Numer ISBN 0-387-21906-4. Zbl  1082.37002 .
• Libchaber, A.; Laroche, C.; Fauve, S. (1982). „Kaskada podwojenia okresu w rtęci, pomiar ilościowy” (PDF) . Journal de Physique Letters . 43 (7): 211–216. doi : 10.1051/jphyslet:01982004307021100 . ISSN  0302-072X .
• Papageorgiou, DT; Smyrlis, YS (1991), „Droga do chaosu dla równania Kuramoto-Sivashinsky”, Theoret. Komputer. Dynamika płynów , 3 : 15–42, doi : 10.1007/BF00271514 (nieaktywny 2021-09-13), ISSN  1432-2250CS1 maint: DOI nieaktywny od września 2021 ( link )
• Smyrlis, YS; Papageorgiou, DT (1991). „Przewidywanie chaosu dla nieskończenie wymiarowych układów dynamicznych: równanie Kuramoto-Sivashinsky'ego, studium przypadku” . Materiały Narodowej Akademii Nauk . 88 (24): 11129–11132. doi : 10.1073/pnas.88.24.11129 . ISSN  0027-8424 . PMC  53087 . PMID  11607246 .
• Strogatz, Steven (2015). Dynamika nieliniowa i chaos: Z zastosowaniami w fizyce, biologii, chemii i inżynierii (wyd. 2). CRC Prasa. Numer ISBN 978-0813349107.
• Cheung, PY; Wong, AY (1987). „Chaotyczne zachowanie i podwojenie okresu w plazmie”. Fizyczne listy kontrolne . 59 (5): 551–554. doi : 10.1103/PhysRevLett.59.551 . ISSN  0031-9007 . PMID  10035803 .

Zewnętrzne linki

• Łączenie kaskad podwajających okresy z chaosem