Grupa linków — Link group

W teorii węzłów , obszar matematyki The grupę związek o łącza jest analogiem grupy węzłów z węzłem . Zostały opisane przez Johna Milnora w swoim Ph.D. teza ( Milnor 1954 ). Warto zauważyć, że grupa link nie jest w ogóle zasadniczej grupy na łącza dopełniacza .

Definicja

Link Whitehead jest powiązanie homotopijne do unlink , ale nie izotopowy do odłączyć.

Grupa dowiązań n -komponentowych dowiązań jest zasadniczo zbiorem ( n  + 1) -komponentowych dowiązań rozszerzających to dowiązanie, aż do homotopii linków. Innymi słowy, każdy składnik rozszerzonego łącza może poruszać się przez zwykłą homotopię (homotopię przez immersję ), wiązać się lub rozpinać, ale nie może przechodzić przez inne składniki. Jest to słabszy warunek niż izotopia: na przykład połączenie Whitehead ma numer połączenia  0, a zatem jest połączenie homotopiczne z odłączeniem , ale nie jest izotopowe względem odłączenia.

Grupa link nie jest zasadnicza grupa z łącza uzupełnienie , ponieważ składniki link mogą poruszać się samodzielnie, ale nie siebie, ale w ten sposób to grupa iloraz zasadnicze grupy link uzupełniać za, ponieważ można uruchomić z elementami grupy podstawowej, a następnie poprzez zawęźlenie lub rozwężenie elementów, niektóre z tych elementów mogą stać się sobie równoważne.

Przykłady

Grupa ogniwem n -component unlink jest wolna grupa o n generatorów , a grupy łączy się z pojedynczego związku jest grupa węzeł z węzłów trywialnych , która jest całkowite, a grupa ogniwo niepołączonego jedności jest wolna iloczyn grup łączy komponentów. ${\ Displaystyle F_ {n}}$

Grupa linków linku Hopf to${\ Displaystyle \ mathbf {Z} ^ {2}.}$

Grupa dowiązań łącza Hopf , najprostsze nietrywialne łącze – dwa kręgi, połączone raz – to wolna grupa abelowa na dwóch generatorach. Zauważ, że grupa dowiązań dwóch niepołączonych kręgów jest wolną nieabelową grupą na dwóch generatorach, którego wolna grupa abelowa na dwóch generatorach jest ilorazem . W tym przypadku grupa dowiązań jest podstawową grupą dopełnienia dowiązania, ponieważ odkształcenie dopełnienia dowiązania cofa się do torusa. ${\ Displaystyle \ mathbf {Z} ^ {2}.}$

Link Whitehead jest powiązanie homotopijne do unlink - choć nie jest izotopowy do unlink - a zatem ma grupa linków wolnej grupy na dwóch generatorów.

Milnor niezmienniki

Milnor zdefiniował niezmienniki dowiązania (funkcje w grupie dowiązań) w ( Milnor 1954 ), używając znaku, który został nazwany „ niezmiennikami μ- bar Milnora” lub po prostu „niezmiennikami Milnora”. Dla każdego k istnieje funkcja k- ary, która definiuje niezmienniki zgodnie z tym, które k z łączy wybiera się, w jakiej kolejności. ${\displaystyle {\bar {\mu}},}$${\displaystyle {\bar {\mu}},}$

Niezmienniki Milnor mogą być powiązane z produktami Massey w uzupełnieniu łącza (uzupełnieniu łącza); zostało to zasugerowane w ( Stallings 1965 ), a sprecyzowane w ( Turaev 1976 ) i ( Porter 1980 ).

Podobnie jak w przypadku produktów Massey, niezmienniki Milnor o długości k  + 1 są zdefiniowane, jeśli wszystkie niezmienniki Milnor o długości mniejszej lub równej k znikają. Pierwszy (2-krotny) niezmiennik Milnor jest po prostu liczbą łączącą (tak jak 2-krotny iloczyn Masseya jest iloczynem kubka, który jest dualny do przecięcia), podczas gdy 3-krotny niezmiennik Milnora mierzy, czy 3 niepołączone parami koła są boromejskie pierścienie , a jeśli tak, to w pewnym sensie, ile razy (to znaczy pierścienie boromejskie mają 3-krotny niezmiennik Milnor wynoszący 1 lub –1, w zależności od kolejności, ale inne 3-elementowe ogniwa mogą mieć niezmiennik 2 lub więcej, podobnie jak liczby łączące mogą być większe niż 1).

Inna definicja jest następująca: rozważ link . Załóżmy, że dla i . Wybierz dowolne powierzchnie Seiferta dla odpowiednich komponentów łącza, powiedzmy , tak aby dla wszystkich . Wtedy 3-krotny niezmiennik Milnor jest równy minus liczba punktów przecięcia w liczeniu ze znakami; ( Cochran 1990 ). ${\ Displaystyle L = L_ {1} \ filiżanka L_ {2} \ filiżanka L_ {3}}$${\ Displaystyle {\ rm {lk}} (L_ {i}, L_ {j}) = 0}$${\displaystyle ja,j=1,2,3}$${\displaystyle i<j}$${\displaystyle F_{1},F_{2},F_{3}}$${\ Displaystyle F_ {i} \ czapka L_ {j} = \ pusty zestaw}$${\displaystyle i\neqj}$${\ Displaystyle F_ {1} \ czapka F_ {2} \ czapka F_ {3}}$

Niezmienniki Milnora można również zdefiniować, jeśli niezmienniki niższego rzędu nie znikają, ale wtedy istnieje nieokreśloność, która zależy od wartości niezmienników niższego rzędu. Ta nieokreśloność może być rozumiana geometrycznie jako nieokreśloność w wyrażaniu łącza jako zamkniętego łącza strunowego, jak omówiono poniżej (można ją również postrzegać algebraicznie jako nieokreśloność produktów Massey, jeśli produkty Massey niższego rzędu nie znikają).

Niezmienniki Milnora mogą być uważane za niezmienniki linków łańcuchowych , w takim przypadku są one definiowane uniwersalnie, a nieokreśloność niezmiennika Milnora linku wynika właśnie z wielu sposobów, w jakie dane linki mogą być pocięte na link łańcuchowy; pozwala to na klasyfikację linków aż do homotopii linków, jak w ( Habegger & Lin 1990 ). Patrząc z tego punktu widzenia, niezmienniki Milnora są niezmiennikami typu skończonego i faktycznie są one (i ich iloczynami) jedynymi racjonalnymi niezmiennikami zgodności typu skończonego w połączeniach łańcuchowych; ( Habegger i Masbaum 2000 ).

Liczba liniowo niezależnych niezmienników długości Milnora dla m- składnikowych połączeń wynosi , gdzie jest liczbą podstawowych komutatorów o długości k w dowolnej algebrze Liego na m generatorach, a mianowicie: ${\displaystyle k+1}$${\ Displaystyle mN_ {k}-N_ {k+1}}$${\ Displaystyle N_ {k}}$

${\ Displaystyle N_ {k} = {\ Frac {1} {k}} \ suma _ {d | m} \ phi (d) \ lewo (m ^ {k / d} \ prawej)}$,

gdzie jest funkcja Möbiusa ; patrz na przykład ( Orr 1989 ). Liczba ta rośnie w kolejności . ${\displaystyle \phi}$${\ Displaystyle m ^ {k + 1} / k ^ {2}}$

Aplikacje

Grupy linków mogą być używane do klasyfikowania linków Brunnian .

Zobacz też

• Grupa węzłów
• Zwykła homotopia

Bibliografia

• Cochran, Tim D. (1990), „Pochodne powiązań: niezmienniki zgodności Milnora i produkty Masseya”, Memoirs of the American Mathematical Society , American Mathematical Society, 427
• Habeggera, Nathana; Lin, Xiao Song (1990), „Klasyfikacja powiązań do homotopii”, Journal of the American Mathematical Society , 2, American Mathematical Society, 3 (2): 389-419, doi : 10.2307/1990959 , JSTOR  1990959
• Habeggera, Nathana; Masbaum, Gregor (2000), „Całka Kontsevicha i niezmienniki Milnora”, Topologia , 39 (6): 1253–1289, doi : 10.1016/S0040-9383(99)00041-5 , MR  1783857 , preprint .CS1 maint: postscript ( link )
• Milnor, John (marzec 1954), „Grupy linków”, Roczniki Matematyki , Roczniki Matematyki, 59 (2): 177-195, doi : 10.2307/1969685 , JSTOR  1969685 , MR  0071020
• Orr, Kent E. (1989), "niezmienniki homotopii linków", Inventiones Mathematicae , 95 (2): 379-394, doi : 10.1007/BF01393902 , MR  0974908
• Porter, Richard D. (1980), „Milnor's μ- niezmienniki i produkty Massey”, Transakcje Amerykańskiego Towarzystwa Matematycznego , Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne, 257 (1): 39-71, doi : 10.2307/1998124 , JSTOR  1998124 , MR  0549154
• Stallings, John R. (1965), „Homologia i centralna seria grup”, Journal of Algebra , 2 (2): 170-181, doi : 10.1016/0021-8693(65)90017-7 , MR  0175956
• Turaev, Vladimir G. (1976), „Niezmienniki Milnor i produkty Massey”, Zap. Naučn. Sem. Leningrad. Otdel. Mata. Inst. Stekłow. (LOMI) , Studia Topologii-II, 66 : 189–203, MR  0451251