Funkcja Möbiusa - Möbius function

Funkcja Möbiusa μ ( n ) jest ważną funkcją multiplikatywną w teorii liczb, wprowadzoną przez niemieckiego matematyka Augusta Ferdinanda Möbiusa (również transliterowanego Moebiusa ) w 1832 roku. Jest wszechobecna w elementarnej i analitycznej teorii liczb i najczęściej pojawia się jako część jej imiennika Formuła inwersji Möbiusa . Po pracach Gian-Carlo Rota w 1960, uogólnienia funkcji Möbiusa zostały wprowadzone do kombinatoryki i są podobnie oznaczane μ ( x ) .

Definicja

Dla dowolnej dodatniej liczby całkowitej n , zdefiniuj μ ( n ) jako sumę pierwotnych n-tych pierwiastków jedności . Ma wartości {-1, 0, 1} w zależności od na czynniki o n w czynniki pierwsze :

• μ ( n ) = −1, jeśli n jest bezkwadratową dodatnią liczbą całkowitą z parzystą liczbą czynników pierwszych.
• μ ( n ) = -1 jeśli n jest bezkwadratową dodatnią liczbą całkowitą z nieparzystą liczbą czynników pierwszych.
• μ ( n ) = −0, jeśli n ma kwadratowy czynnik pierwszy.

Funkcja Möbiusa może być alternatywnie reprezentowana jako

${\ Displaystyle \ mu (n) = \ delta _ {\ omega (n)} ^ {\ omega (n)} \ lambda (n)}$

gdzie δ to delta Kroneckera , λ ( n ) to funkcja Liouville , ω ( n ) to liczba odrębnych dzielników pierwszych n , a Ω( n ) to liczba czynników pierwszych n , liczonych z wielokrotnością.

Wartości μ ( n ) dla pierwszych 30 liczb dodatnich (sekwencja A008683 w OEIS ) są

Poniżej przedstawiono pierwsze 50 wartości funkcji:

Aplikacje

Szeregi matematyczne

W serii Dirichleta że generuje funkcja Möbiusa jest (mnożnikowy) odwrotnością funkcji zeta Riemanna ; jeśli s jest liczbą zespoloną, której część rzeczywista jest większa od 1, to mamy

${\ Displaystyle \ suma _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ Frac {\ mu (n)} {n ^ {s}}} = {\ Frac {1} {\ zeta (s)}}. }$

Widać to po jego produkcie Euler

${\ Displaystyle {\ Frac {1} {\ zeta (s)}} = \ prod _ {p {\ tekst {prim}}} {\ left (1-{\ Frac {1} {p ^ {s}} }\right)}=\left(1-{\frac {1}{2^{s}}}\right)\left(1-{\frac {1}{3^{s}}}\right) \left(1-{\frac {1}{5^{s}}}\right)\cdots }$

Także:

${\ Displaystyle \ suma \ limity _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ Frac {| \ mu (n) |} {n ^ {s}}} = {\ Frac {\ zeta (s)} { \zeta (2s)}}}$

Seria Lambert dla funkcji Möbiusa to:

${\ Displaystyle \ suma _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ Frac {\ mu (n) q ^ {n}} {1-q ^ {n}}} = q,}$

która zbiega się dla | q | < 1 . Dla liczby pierwszej α ≥ 2 mamy również

${\ Displaystyle \ suma _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ Frac {\ mu (\ alfa n) ^ {n}} {q ^ {n}-1}} = \ suma _ {n \ geq 0}q^{\alpha ^{n}},|q|<1.}$

Teoria liczb algebraicznych

Gauss udowodnił, że dla liczby pierwszej p suma jej pierwotnych pierwiastków jest zgodna z μ ( p − 1) (mod p ) .

Jeśli F _q oznacza skończone pole rzędu q (gdzie q jest siłą pierwszą), to liczba N wielomianów monicznych nierozkładalnych stopnia n nad F _q jest dana wzorem:

${\ Displaystyle N (q, n) = {\ Frac {1} {n}} \ suma _ {d \ mid n} \ mu (d) q ^ {\ Frac {n} {d}}.}$

Nieruchomości

Funkcja Möbiusa jest mnożnikowy (tj μ ( ab ) = μ ( ) μ ( b ) ) w każdym przypadku i b są względnie pierwsze .

Suma funkcji Möbiusa po wszystkich dodatnich dzielnikach n (w tym samego n i 1) wynosi zero, z wyjątkiem sytuacji, gdy n = 1 :

${\ Displaystyle \ suma _ {d \ mid n} \ mu (d) = {\ zacząć {przypadki} 1 i {\ tekst {jeśli}} n = 1, \ \ 0 i {\ tekst {jeśli}} n> 1. \end{przypadki}}}$

Powyższa równość prowadzi do ważnej formuły inwersji Möbiusa i jest głównym powodem, dla którego μ ma znaczenie w teorii funkcji multiplikatywnych i arytmetycznych.

Inne zastosowania μ ( n ) w kombinatoryce związane są z wykorzystaniem twierdzenia o wyliczeniach Pólya w grupach kombinatorycznych i wyliczeniach kombinatorycznych.

Istnieje wzór na obliczenie funkcji Möbiusa bez bezpośredniej znajomości faktoryzacji jej argumentu:

${\ Displaystyle \ mu (n) = \ suma _ {\ stackrel {1 \ równoważnik k \ równoważnik n} {\ gcd (k, \, n) = 1}} e ^ {2 \ pi ja {\ frac {k }{n}}},}$

tj. μ ( n ) jest sumą pierwotnych n - tych pierwiastków jedności . (Jednak złożoność obliczeniowa tej definicji jest co najmniej taka sama jak w przypadku definicji produktu Eulera).

Dowód wzoru na Σ _{d | n} μ ( d )

Za pomocą

${\ Displaystyle \ mu (n) = \ suma _ {\ stackrel {1 \ równoważnik k \ równoważnik n} {\ gcd (k, \, n) = 1}} e ^ {2 \ pi ja {\ frac {k }{n}}},}$

Formuła

${\ Displaystyle \ suma _ {d \ mid n} \ mu (d) = {\ zacząć {przypadki} 1 i {\ tekst {jeśli}} n = 1 \ \ 0 i {\ tekst {jeśli}} n> 1 \ koniec{sprawy}}}$

mogą być postrzegane jako konsekwencja faktu, że n th korzenie sumy jedności 0, ponieważ każdy n ty pierwiastek z jedynki jest prymitywne d th pierwiastek z jedynki do dokładnie jednego dzielnika d o n .

Jednak możliwe jest również udowodnienie tej tożsamości na podstawie pierwszych zasad. Najpierw zauważ, że jest to trywialnie prawdziwe, gdy n = 1 . Załóżmy więc, że n > 1 . Następnie jest bijection między elementami d o n w którym ľ ( d ) ≠ 0 i podzbiory zbioru wszystkich głównych czynników n . Twierdzony wynik wynika z faktu, że każdy niepusty zbiór skończony ma równą liczbę podzbiorów o nieparzystej i parzystej kardynalności.

Ten ostatni fakt można łatwo wykazać przez indukcję na liczności | S | niepustego zbioru skończonego S . Po pierwsze, jeśli | S | = 1 , istnieje dokładnie jeden podzbiór o nieparzystej liczności S , mianowicie samo S i dokładnie jeden podzbiór o parzystej liczności, mianowicie ∅ . Dalej, jeśli | S | > 1 , następnie podziel podzbiory S na dwie podklasy w zależności od tego , czy zawierają one jakiś stały element x w S . Pomiędzy tymi dwiema podklasami istnieje oczywista bijatyka, łącząc w pary te podzbiory, które mają to samo uzupełnienie względem podzbioru { x } . Ponadto jedna z tych dwóch podklas składa się ze wszystkich podzbiorów zbioru S \ { x } , a zatem zgodnie z hipotezą indukcyjną ma równą liczbę podzbiorów o nieparzystej i parzystej liczności. Te podzbiory z kolei odpowiadają bijektywnie podzbiorom S , zawierającym parzystą i nieparzystą kardynalność { x } . Krok indukcyjny wynika bezpośrednio z tych dwóch bijekcji.

Pokrewnym wynikiem jest to, że współczynniki dwumianowe wykazują naprzemienne wpisy nieparzystej i parzystej potęgi, które sumują się symetrycznie.

Funkcja Mertensa

W teorii liczb inną funkcją arytmetyczną blisko związaną z funkcją Möbiusa jest funkcja Mertensa , zdefiniowana przez

${\ Displaystyle M (n) = \ suma _ {k = 1} ^ {n} \ mu (k)}$

dla każdej liczby naturalnej n . Funkcja ta jest ściśle powiązana z pozycjami zer funkcji zeta Riemanna . Zobacz artykuł na temat hipotezy Mertensa, aby uzyskać więcej informacji na temat związku między M ( n ) a hipotezą Riemanna .

Z formuły

${\ Displaystyle \ mu (n) = \ suma _ {\ stackrel {1 \ równoważnik k \ równoważnik n} {\ gcd (k, n) = 1}} e ^ {2 \ pi ja {\ frac {k} n}}},}$

z tego wynika, że ​​funkcja Mertensa jest dana wzorem:

${\ Displaystyle M (n) = -1 + \ suma _ {a \ w {\ mathcal {F}} _ {n}} e ^ {2 \ pi ia}}$

gdzie F _n jest sekwencją Fareya rzędu n .

Formuła ta jest używana w dowodzie twierdzenia Franela-Landaua .

Średnie zamówienie

Wartość średnia (w sensie średnich zleceń) z funkcją Möbiusa jest zero. To stwierdzenie jest w rzeczywistości równoważne twierdzeniu o liczbach pierwszych .

μ ( n ) sekcje

μ ( n ) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy n jest podzielne przez kwadrat liczby pierwszej. Pierwsze liczby z tą właściwością to

4, 8, 9, 12, 16, 18, 20, 24, 25, 27, 28, 32, 36, 40, 44, 45, 48, 49, 50, 52, 54, 56, 60, 63, .. (sekwencja A013929 w OEIS ).

Jeśli n jest liczbą pierwszą, to μ ( n ) = -1 , ale odwrotność nie jest prawdą. Pierwsza nie pierwsza n, dla której μ ( n ) = -1 wynosi 30 = 2 × 3 × 5 . Pierwsze takie liczby z trzema odrębnymi czynnikami pierwszymi ( liczby sferyczne ) to

30, 42, 66, 70, 78, 102, 105, 110, 114, 130, 138, 154, 165, 170, 174, 182, 186, 190, 195, 222, ... (sekwencja A007304 w OEIS ) .

a pierwsze takie liczby z 5 odrębnymi czynnikami pierwszymi to

2310, 2730, 3570, 3990, 4290, 4830, 5610, 6006, 6090, 6270, 6510, 6630, 7410, 7590, 7770, 7854, 8610, 8778, 8970, 9030, 9282, 9570, 9690,... ( sekwencja A046387 w OEIS ).

Uogólnienia

Algebry przypadków

W kombinatoryce , każdemu lokalnie skończonemu częściowo uporządkowanemu zbiorowi (posetowi) przypisuje się algebrę padania . Jednym z wybitnych członków tej algebry jest „funkcja Möbiusa” tego poseta. Klasyczna funkcja Möbiusa omówiona w tym artykule jest zasadniczo równa funkcji Möbiusa zbioru wszystkich dodatnich liczb całkowitych częściowo uporządkowanych przez podzielność . Zobacz artykuł na temat algebr padania, aby uzyskać dokładną definicję i kilka przykładów tych ogólnych funkcji Möbiusa.

Funkcja Popoviciego

Constantin Popovici zdefiniował uogólnioną funkcję Möbiusa μ _k = μ ∗ ... ∗ μ jako k- krotny splot Dirichleta funkcji Möbiusa ze sobą. Jest to więc znowu funkcja multiplikatywna z

${\ Displaystyle \ mu _ {k} \ lewo (p ^ {a} \ po prawej) = (-1) ^ {a} {\ binom {k} {a}} \}$

gdzie współczynnik dwumianowy przyjmuje się za zero, jeśli a > k . Definicję można rozszerzyć do zespolonej k odczytując dwumian jako wielomian w k .

Fizyka

Funkcja Möbiusa pojawia się również w modelu supersymetrii gazu primona lub wolnego gazu Riemanna . W tej teorii, fundamentalne cząstki lub "primony" mają energie log p . W ramach drugiej kwantyzacji brane są pod uwagę wzbudzenia wielocząstkowe; są one podane przez log n dla dowolnej liczby naturalnej n . Wynika to z faktu, że faktoryzacja liczb naturalnych na liczby pierwsze jest unikalna.

W wolnym gazie Riemanna może wystąpić dowolna liczba naturalna, jeśli primony są traktowane jako bozony . Jeśli są traktowane jako fermiony , to zasada wykluczenia Pauliego wyklucza kwadraty. Operatorem (-1) ^F, który rozróżnia fermiony i bozony, jest więc nikt inny jak funkcja Möbiusa μ ( n ) .

Wolny gaz Riemanna ma wiele innych interesujących powiązań z teorią liczb, w tym fakt, że funkcją podziału jest funkcja zeta Riemanna . Ta idea leży u podstaw próby udowodnienia hipotezy Riemanna przez Alaina Connesa .

Zobacz też

Uwagi

Cytaty

Źródła

Zewnętrzne linki

• Weisstein, Eric W. „Funkcja Möbiusa” . MatematykaŚwiat .