Urodzona sztywność - Born rigidity

Urodzona sztywność jest pojęciem szczególnej teorii względności . Jest to jedna z odpowiedzi na pytanie, co w szczególnej teorii względności odpowiada sztywnemu korpusowi nierelatywistycznej mechaniki klasycznej .

Koncepcję wprowadził Max Born (1909), który szczegółowo opisał przypadek stałego przyspieszenia właściwego, który nazwał ruchem hiperbolicznym . Kiedy kolejni autorzy, tacy jak Paul Ehrenfest (1909), próbowali również włączyć ruchy obrotowe, stało się jasne, że sztywność Borna jest bardzo restrykcyjnym poczuciem sztywności, prowadząc do twierdzenia Herglotz-Noether , zgodnie z którym istnieją poważne ograniczenia dotyczące ruchu obrotowego Borna. sztywne ruchy. Sformułował ją Gustav Herglotz (1909, klasyfikując wszystkie formy ruchów obrotowych), a mniej ogólnikowo Fritz Noether (1909). W rezultacie Born (1910) i inni podali alternatywne, mniej restrykcyjne definicje sztywności.

Definicja

Urodzona sztywność jest spełniona, jeśli ortogonalna odległość czasoprzestrzeni między nieskończenie małymi krzywymi lub liniami świata jest stała lub równoważnie, jeśli długość ciała sztywnego w chwilowych współporuszających się ramach inercyjnych mierzona standardowymi prętami pomiarowymi (tj. O odpowiedniej długości ) jest stała i jest dlatego poddany skurczowi Lorentza w stosunkowo ruchomych ramkach. Urodzona sztywność jest ograniczeniem ruchu rozciągniętego ciała, osiągniętym przez ostrożne przykładanie sił do różnych części ciała. Ciało samo w sobie sztywne naruszałoby szczególną teorię względności, ponieważ jego prędkość dźwięku byłaby nieskończona.

Klasyfikację wszystkich możliwych sztywnych ruchów Borna można uzyskać za pomocą twierdzenia Herglotza – Noether. Twierdzenie to stwierdza, że ​​wszystkie irrotacyjne sztywne ruchy Borna ( klasa A ) składają się z hiperpłaszczyzn sztywno poruszających się w czasoprzestrzeni, podczas gdy każdy obrotowy sztywny ruch Borna ( klasa B ) musi być izometrycznymi ruchami zabijającymi . Oznacza to, że sztywne ciało Borna ma tylko trzy stopnie swobody . W ten sposób ciało może zostać przeniesione w sztywny sposób Borna ze spoczynku do dowolnego ruchu translacyjnego , ale nie może być przeniesione w sztywny sposób Borna z ruchu spoczynkowego w ruch obrotowy.

Naprężenia i sztywność zrodzona

Herglotz (1911) wykazał, że relatywistyczna teoria sprężystości może opierać się na założeniu, że naprężenia powstają w momencie zerwania warunku sztywności Borna.

Przykładem złamania sztywności Borna jest paradoks Ehrenfest : chociaż stan równomiernego ruchu kołowego ciała należy do dozwolonych sztywnych ruchów Born klasy B , ciała nie można wyprowadzić z żadnego innego stanu ruchu w jednolity ruch kołowy bez zerwania stan sztywności Borna w fazie, w której ciało podlega różnym przyspieszeniom. Ale jeśli ta faza się skończy, a przyspieszenie dośrodkowe stanie się stałe, ciało może obracać się równomiernie zgodnie ze sztywnością Borna. Podobnie, jeśli jest teraz w jednostajnym ruchu kołowym, ten stan nie może zostać zmieniony bez ponownego złamania zrodzonej sztywności ciała.

Innym przykładem jest paradoks statku kosmicznego Bella : jeśli punkty końcowe ciała są przyspieszane ze stałymi, właściwymi przyspieszeniami w kierunku prostoliniowym, to wiodący punkt końcowy musi mieć niższe właściwe przyspieszenie, aby pozostawić odpowiednią długość na stałym poziomie, aby zapewnić sztywność Borna. Będzie również wykazywać rosnący skurcz Lorentza w zewnętrznej ramie bezwładnościowej, to znaczy w ramie zewnętrznej punkty końcowe ciała nie przyspieszają jednocześnie. Jeśli jednak zostanie wybrany inny profil przyspieszenia, przez który punkty końcowe nadwozia są jednocześnie przyspieszane z tym samym właściwym przyspieszeniem, jakie widać w zewnętrznej ramie bezwładnościowej, jego sztywność Borna zostanie złamana, ponieważ stała długość w ramie zewnętrznej oznacza zwiększenie odpowiedniej długości w comoving frame ze względu na względność jednoczesności. W takim przypadku krucha nić rozpięta między dwiema rakietami ulegnie naprężeniom (zwanym naprężeniami Herglotza – Dewana – Berana) iw konsekwencji pęknie.

Urodzone sztywne ruchy

Klasyfikację dozwolonych, w szczególności obrotowych, ruchów sztywnych Born w płaskiej czasoprzestrzeni Minkowskiego podał Herglotz, którą badali również Friedrich Kottler (1912, 1914), Georges Lemaître (1924), Adriaan Fokker (1940), George Salzmann & Abraham H. Taub (1954). Herglotz wskazał, że kontinuum porusza się jak ciało sztywne, gdy linie światowe jego punkty są rozmieszczone w równych odległościach krzywe w . Wynikowe linie świata można podzielić na dwie klasy: ${\ displaystyle \ mathbf {R} ^ {4}}$

Klasa A: Ruchy irrotacyjne

Herglotz zdefiniował tę klasę w kategoriach równoodległych krzywych, które są ortogonalnymi trajektoriami rodziny hiperpłaszczyzn , które również mogą być postrzegane jako rozwiązania równania Riccatiego (przez Salzmanna i Tauba nazwano to „ruchem płaskim” lub „irrotacyjnym ruchem sztywnym” Boyera). Doszedł do wniosku, że ruch takiego ciała jest całkowicie zdeterminowany ruchem jednego z jego punktów.

Ogólna miara dla tych ruchów bezwładności została podana przez Herglotza, którego pracę podsumował uproszczoną notacją Lemaître (1924). Również metryka Fermiego w formie podanej przez Christiana Møllera (1952) dla sztywnych ram z dowolnym ruchem początku została zidentyfikowana jako „najbardziej ogólna miara dla bezwładnego ruchu sztywnego w szczególnej teorii względności”. Ogólnie wykazano, że irrotacyjny ruch Borna odpowiada tym kongruencjom Fermiego, z których każda linia świata może być użyta jako linia bazowa (jednorodna kongruencja Fermiego).

Herglotz 1909	${\ Displaystyle ds ^ {2} = da ^ {2} + \ varphi (db, DC) - \ Theta ^ {2} d \ vartheta ^ {2}}$
Lemaître 1924	${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} & ds ^ {2} = - dx ^ {2} -dy ^ {2} -dz ^ {2} + \ phi ^ {2} dt ^ {2} \\ & \ quad \ left (\ phi = lx + my + nz + p \ right) \ end {wyrównane}}}$
Møllera 1952	${\ Displaystyle ds ^ {2} = dx ^ {2} + dy ^ {2} + dz ^ {2} -c ^ {2} dt ^ {2} \ lewo [1 + {\ Frac {g _ {\ kappa } x ^ {\ kappa}} {c ^ {2}}} \ right] ^ {2}}$

Already Born (1909) zwrócił uwagę, że ciało sztywne w ruchu postępowym ma maksymalne rozciągnięcie przestrzenne zależne od jego przyspieszenia, określone zależnością , gdzie jest przyspieszenie właściwe i jest promieniem kuli, w której znajduje się ciało, a więc im wyższe właściwe przyspieszenie, tym mniejsze maksymalne rozciągnięcie ciała sztywnego. Szczególny przypadek ruchu postępowego ze stałym przyspieszeniem właściwym jest znany jako ruch hiperboliczny , z linią świata ${\displaystyle b<c^{2}/R}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle R}$

Urodzony 1909	${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} & x = - q \ xi , \ quad y = \ eta , \ quad z = \ zeta , \ quad t = {\ Frac {p} {c ^ {2}}} \ xi \\ & \ quad \ left (p = {\ frac {dx} {d \ tau}}, \ quad q = - {\ frac {dt} {d \ tau}} = {\ sqrt {1 + p ^ { 2} / c ^ {2}}} \ right) \ end {aligned}}}$
Herglotz 1909	${\ displaystyle x = x ', \ quad y = y', \ quad tz = (t'-z ') e ^ {\ vartheta}, \ quad t + z = (t' + z ') e ^ {- \ vartheta}}$ ${\ Displaystyle x = x_ {0} \ quad y = y_ {0} \ quad z = {\ sqrt {z_ {0} ^ {2} + t ^ {2}}}}$
Sommerfeld 1910	${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} x = r \ cos \ varphi, \ quad y = y ', \ quad z = z ', \ quad l = r \ sin \ varphi \ \ & \ quad \ lewo (l = ict, \ quad \ varphi = i \ psi \ right) \ end {aligned}}}$
Kottler 1912, 1914	${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} & x ^ {(1)} = x_ {0} ^ {(1)}, \ quad x ^ {(2)} = x_ {0} ^ {(2)}, \ quad x ^ {(3)} = b \ cos iu, \ quad x ^ {(4)} = b \ sin iu \\ & ds ^ {2} = - c ^ {2} d \ tau ^ {2} = b ^ {2} (du) ^ {2} \ end {aligned}}}$ ${\displaystyle x=x_{0},\quad y=y_{0},\quad z=b\cosh u,\quad ct=b\sinh u}$

Klasa B: Obrotowe ruchy izometryczne

Herglotz zdefiniował tę klasę w kategoriach krzywych równoodległych, które są trajektoriami jednoparametrowej grupy ruchu (nazywało się to „ruchem grupowym” przez Salzmanna i Tauba, a Felixa Piraniego i Garetha Williamsa (1962) utożsamiał je z izometrycznym ruchem zabijającym ). Wskazał, że składają się one z linii świata, których trzy krzywizny są stałe (znane jako krzywizna , skręcenie i hipertorsja), tworząc helisę . Linie światowe o stałych krzywiznach w płaskiej czasoprzestrzeni badali również Kottler (1912), Petrův (1964), John Lighton Synge (1967, który nazwał je helisami czasopodobnymi w płaskiej czasoprzestrzeni), czy Letaw (1981, który nazwał je stacjonarnymi liniami świata) jako rozwiązania formuł Freneta – Serreta .

Herglotz dalej rozdzielane klasy B, stosując cztery grupy jednoparametrową przemian Lorentza (loxodromic, eliptyczny, hiperboliczny parabolicznym) Analogicznie jak w hiperbolicznej impulsów (czyli izometryczne Automorfizmy hiperbolicznej przestrzeni) , wskazując, że hiperboliczny ruchu Borna (co wynika z grupa hiperboliczna z w notacji Herglotza i Kottlera, w notacji Lemaître, w notacji Synge; patrz poniższa tabela) jest jedynym sztywnym ruchem Born, który należy do obu klas A i B. ${\ Displaystyle \ alfa = 0}$${\ displaystyle \ lambda = 0}$${\ displaystyle q = 0}$

Grupa loksodromiczna (połączenie ruchu hiperbolicznego i jednostajnej rotacji)
Herglotz 1909	${\ Displaystyle x + iy = (x '+ iy') e ^ {i \ lambda \ vartheta}, \ quad x-iy = (x'-iy ') e ^ {- i \ lambda \ vartheta}, \ quad tz = (t'-z ') e ^ {\ vartheta}, \ quad t + z = (t' + z ') e ^ {- \ vartheta}}$
Kottler 1912, 1914	${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} & x ^ {(1)} = a \ cos \ lambda \ lewo (u-u_ {0} \ prawej), \ quad x ^ {(2)} = a \ sin \ lambda \ left (u-u_ {0} \ right), \ quad x ^ {(3)} = b \ cos iu, \ quad x ^ {(4)} = b \ sin iu \\ & ds ^ {2} = -c ^ {2} d \ tau ^ {2} = - \ left (b ^ {2} -a ^ {2} \ lambda ^ {2} \ right) (du) ^ {2} \ end {aligned} }}$
Lemaître 1924	${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} i \ xi = x \ cos \ lambda ty \ sin \ lambda t, \ quad \ eta = x \ sin \ lambda t + y \ cos \ lambda t, \ quad \ zeta = z \ cosh t, \ quad \ tau = z \ sinh t \\ & ds ^ {2} = - dr ^ {2} -r ^ {2} d \ theta ^ {2} -dz ^ {2} -2 \ lambda r ^ {2} d \ theta \ dt + \ left (z ^ {2} - \ lambda ^ {2} r ^ {2} \ right) dt ^ {2} \ end {aligned}}}$
Synge 1967	${\ Displaystyle x = q \ omega ^ {- 1} \ sin \ omega s, \ quad y = -q \ omega ^ {- 1} \ cos \ omega s, \ quad z = r \ chi ^ {- 1} \ cosh \ chi s, \ quad t = r \ chi ^ {- 1} \ sinh \ chi s}$
Grupa eliptyczna (jednostajna rotacja)
Herglotz 1909	${\ Displaystyle x + iy = (x '+ iy') e ^ {i \ vartheta}, \ quad x-iy = (x'-iy ') e ^ {- i \ vartheta}, \ quad z = z' , \ quad t = t '+ \ delta \ vartheta}$
Kottler 1912, 1914	${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} & x ^ {(1)} = a \ cos \ lambda \ lewo (u-u_ {0} \ prawej), \ quad x ^ {(2)} = a \ sin \ lambda \left(u-u_{0}\right),\quad x^{(3)}=x_{0}^{(3)},\quad x^{(4)}=iu\\&ds^{ 2}=-c^{2}d\tau ^{2}=-\left(1-a^{2}\lambda ^{2}\right)(du)^{2}\end{aligned}} }$
de Sitter 1916	${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} i \ teta '= \ teta - \ omega ct \ \ lewo (d \ sigma ^ {\ pierwsza 2} = dr ^ {\ pierwsza 2} + r ^ {\ pierwsza 2} d \ theta ^ {\ prime 2} + dz ^ {\ prime 2} \ right) \\ & ds ^ {2} = - d \ sigma ^ {\ prime 2} -2r ^ {\ prime 2} \ omega \ d \ theta 'cdt + \ left (1-r ^ {\ prime 2} \ omega ^ {2} \ right) c ^ {2} dt ^ {2} \ end {aligned}}}$
Lemaître 1924	${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} i \ xi = x \ cos \ lambda ty \ sin \ lambda t, \ quad \ eta = x \ sin \ lambda t + y \ cos \ lambda t, \ quad \ zeta = z , \ quad \ tau = t \\ & ds ^ {2} = - dr ^ {2} -r ^ {2} d \ theta ^ {2} -dz ^ {2} -2 \ lambda r ^ {2} d \ theta \ dt + \ left (1- \ lambda ^ {2} r ^ {2} \ right) dt ^ {2} \ end {aligned}}}$
Synge 1967	${\ Displaystyle x = q \ omega ^ {-1} \ sin \ omega s \ quad y = - q \ omega ^ {-1} \ cos \ omega s \ quad z = 0 \ quad t = sr}$
Grupa hiperboliczna (ruch hiperboliczny plus translacja przestrzenna)
Herglotz 1909	${\ Displaystyle x = x '+ \ alpha \ vartheta, \ quad y = y', \ quad tz = (t'-z ') e ^ {\ vartheta}, \ quad t + z = (t' + z ' ) e ^ {- \ vartheta}}$
Kottler 1912, 1914	${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} & x ^ {(1)} = x_ {0} ^ {(1)} + \ alfa u, \ quad x ^ {(2)} = x_ {0} ^ {(2 )}, \ quad x ^ {(3)} = b \ cos iu, \ quad x ^ {(4)} = b \ sin iu \\ & ds ^ {2} = - c ^ {2} d \ tau ^ {2} = - \ left (b ^ {2} - \ alpha ^ {2} \ right) (du) ^ {2} \ end {aligned}}}$
Lemaître 1924	${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} i \ xi = x + \ lambda t, \ quad \ eta = y, \ quad \ zeta = z \ cosh t \ quad \ tau = z \ sinh t \\ & ds ^ {2 } = - dx ^ {2} -dy ^ {2} -dz ^ {2} -2 \ lambda dx \ dt + \ left (z ^ {2} - \ lambda ^ {2} \ right) dt ^ {2} \ end {aligned}}}$
Synge 1967	${\ displaystyle x = sq, \ quad y = 0, \ quad z = r \ chi ^ {- 1} \ cosh \ chi s, \ quad t = r \ chi ^ {- 1} \ sinh \ chi s}$
Grupa paraboliczna (opisująca parabolę półkolistą )
Herglotz 1909	${\ Displaystyle x = x_ {0} + {\ Frac {1} {2}} \ delta \ vartheta ^ {2} \ quad y = y_ {0} + \ beta \ vartheta \ quad z = z_ {0 } + x_ {0} \ vartheta + {\ frac {1} {6}} \ delta \ vartheta ^ {3}, \ quad tz = \ delta \ vartheta}$
Kottler 1912, 1914	${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} i x ^ {(1)} = x_ {0} ^ {(1)} + {\ Frac {1} {2}} \ alfa u ^ {2} \ quad x ^ {(2)} = x_ {0} ^ {(2)}, \ quad x ^ {(3)} = x_ {0} ^ {(3)} + x_ {0} ^ {(1)} u + { \frac {1}{6}}\alpha u^{3},\quad x^{(4)}=ix^{(3)}+i\alpha u\\&ds^{2}=-c^ {2}d\tau ^{2}=-\left(\alpha ^{2}+2x_{0}^{(1)}\right)(du)^{2}\end{aligned}}}$
Lemaître 1924	${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} i \ xi = x + {\ Frac {1} {2}} \ lambda t ^ {2} \ quad \ eta = y + \ mu t \ quad \ zeta = z + xt + {\ frac {1} {6}} \ lambda t ^ {3}, \ quad \ tau = \ lambda t + z + xt + {\ frac {1} {6}} \ lambda t ^ {3} \\ & ds ^ {2} = - dx ^ {2} -dy ^ {2} -2 \ mu \ dy \ dt + 2 \ lambda \ dz \ dt + \ left (2 \ lambda x + \ lambda ^ {2} - \ mu ^ {2} \ right) dt ^ {2} \ end {aligned}}}$
Synge 1967	${\ Displaystyle x = {\ Frac {1} {6}} b ^ {2} s ^ {3}, \ quad y = 0, \ quad z = {\ Frac {1} {2}} bs ^ {2 }, \ quad t = s + {\ frac {1} {6}} b ^ {2} s ^ {3}}$

Ogólna teoria względności

Próby rozszerzenia koncepcji sztywności Borna na ogólną teorię względności podjęli Salzmann i Taub (1954), C. Beresford Rayner (1959), Pirani i Williams (1962), Robert H. Boyer (1964). Okazało się, że twierdzenie Herglotza – Noether nie jest w pełni spełnione, ponieważ możliwe są sztywne wirujące ramy lub kongruencje, które nie reprezentują izometrycznych ruchów zabijania.

Alternatywy

Kilka słabszych substytutów zostało również zaproponowanych jako warunki sztywności, takie jak sam Noether (1909) lub Born (1910).

Nowoczesną alternatywę podali Epp, Mann i McGrath. W przeciwieństwie do zwykłej sztywnej kongruencji Born, składającej się z „historii zbioru punktów wypełniających objętość przestrzenną”, odzyskują sześć stopni swobody mechaniki klasycznej, używając quasilokalnej sztywnej ramy, definiując zgodność w kategoriach „historii zbioru punktów na powierzchni ograniczającej objętość przestrzenną”.

Bibliografia

Bibliografia

• Born, Max (1909a), „Die Theorie des starren Elektrons in der Kinematik des Relativitätsprinzips” [Tłumaczenie Wikisource: Theory of the Rigid Electron in the Kinematics of the Relativity ], Annalen der Physik , 335 (11): 1– 56, Bibcode : 1909AnP ... 335 .... 1B , doi : 10.1002 / andp.19093351102
• Born, Max (1909b), „Über die Dynamik des Elektrons in der Kinematik des Relativitätsprinzips” [Tłumaczenie Wikisource: Concerning the Dynamics of the Electron in the Kinematics of the Relativity ], Physikalische Zeitschrift , 10 : 814–817
• Born, Max (1910), „Zur Kinematik des starren Körpers im System des Relativitätsprinzips” [Tłumaczenie Wikiźródła: O kinematyce ciała sztywnego w systemie prawa względności ], Göttinger Nachrichten , 2 : 161–179
• Ehrenfest, Paul (1909), "Gleichförmige Rotation starrer Körper und Relativitätstheorie"  [Tłumaczenie Wikisource: Uniform Rotation of Rigid Codies and the Theory of Relativity ], Physikalische Zeitschrift , 10 : 918, Bibcode : 1909PhyZ ... 10..918E
• Herglotz, Gustav (1910) [1909], „Über den vom Standpunkt des Relativitätsprinzips aus als starr zu bezeichnenden Körper” [Tłumaczenie Wikisource: O ciałach, które mają być określone jako „sztywne” z punktu widzenia zasady względności ], Annalen der Physik , 336 (2): 393–415, Bibcode : 1910AnP ... 336..393H , doi : 10.1002 / andp.19103360208
• Herglotz, Gustav (1911), „Über die Mechanik des deformierbaren Körpers vom Standpunkte der Relativitätstheorie” , Annalen der Physik , 341 (13): 493-533, Bibcode : 1911 AnP...341..493H , doi : 10.1002/andp. 19113411303 ; Tłumaczenie na język angielski autorstwa Davida Delphenicha: O mechanice ciał odkształcalnych z punktu widzenia teorii względności .
• Noether, Fritz (1910) [1909]. „Zur Kinematik des starren Körpers in der Relativtheorie” . Annalen der Physik . 336 (5): 919-944. Kod bib : 1910AnP...336..919N . doi : 10.1002/andp.19103360504 .
• Sommerfeld, Arnold (1910). „Zur Relativitätstheorie II: Vierdimensionale Vektoranalysis” [Tłumaczenie Wikisource: O teorii względności II: czterowymiarowa analiza wektorowa ]. Annalen der Physik . 338 (14): 649–689. Bibcode : 1910AnP ... 338..649S . doi : 10.1002 / andp.19103381402 .
• Kottler, Friedrich (1912). „Über die Raumzeitlinien der Minkowski'schen Welt” [Tłumaczenie Wikiźródła: O liniach czasoprzestrzennych świata Minkowskiego ]. Wiener Sitzungsberichte 2a . 121 : 1659-1759. HDL : 2027 / mdp.39015051107277 .
• Kottler, Friedrich (1914a). „Relativitätsprinzip und beschleunigte Bewegung” . Annalen der Physik . 349 (13): 701–748. Bibcode : 1914AnP ... 349..701K . doi : 10.1002/andp.19143491303 .
• Kottler, Friedrich (1914b). „Fallende Bezugssysteme vom Standpunkte des Relativitätsprinzips” . Annalen der Physik . 350 (20): 481–516. Kod bib : 1914AnP...350..481K . doi : 10.1002 / andp.19143502003 .
• De Sitter, W. (1916). "O teorii grawitacji Einsteina i jej astronomicznych konsekwencjach. Drugi artykuł" . Miesięczne zawiadomienia Królewskiego Towarzystwa Astronomicznego . 77 (2): 155–184. Bibcode : 1916MNRAS..77..155D . doi : 10.1093/mnras/77.2.155 .
• Pauli, Wolfgang (1921), „Die Relativitätstheorie” , Encyclopädie der Mathematischen Wissenschaften , 5 (2): 539–776

W języku angielskim: Pauli, W. (1981) [1921]. Teoria względności . Podstawowe teorie fizyki . 165 . Publikacje Dover. ISBN   0-486-64152-X .

• Lemaître, G. (1924), „Ruch sztywnej bryły zgodnie z zasadą względności”, Philosophical Magazine , Seria 6, 48 (283): 164-176, doi : 10.1080/14786442408634478
• Fokker, AD (1949), „O geometrii czasoprzestrzeni ruchomego ciała sztywnego”, Reviews of Modern Physics , 21 (3): 406–408, Bibcode : 1949RvMP ... 21..406F , doi : 10.1103 / RevModPhys.21.406
• Møller, C. (1955) [1952]. Teoria względności . Oxford Clarendon Press.
• Salzman, G. i Taub, AH (1954), „ruch sztywny typu Born w teorii względności”, Physical Review , 95 (6): 1659–1669, Bibcode : 1954PhRv ... 95.1659S , doi : 10.1103 / PhysRev. 95,1659 CS1 maint: wiele nazw: lista autorów ( link )
• Rayner, CB (1959), „Le corps rigide en relativité générale” , Séminaire Janet. Mécanique Analytique et Mécanique Céleste , 2 : 1–15
• Pirani, FAE i Williams, G. (1962), „Rigid motion in a gravitational field” , Séminaire Janet. Mécanique Analytique et Mécanique Céleste , 5 : 1–16 CS1 maint: wiele nazw: lista autorów ( link )
• Petrův, V. (1964). „Die Lösung der Formeln von Frenet im Falle konstanter Krümmungen” . Aplikacja Matematyka . 9 (4): 239–240.
• Boyer, RH (1965), „Sztywne ramy w ogólnej teorii względności”, Proceedings of the Royal Society of London A , 28 (1394): 343–355, Bibcode : 1965RSPSA.283..343B , doi : 10.1098 / rspa.1965.0025 , S2CID   120278621
• Synge, JL (1967) [1966]. „Timelike helices in flat space-time”. Proceedings of the Royal Irish Academy, sekcji A . 65 : 27–42. JSTOR   20488646 .
• Grøn, Ø. (1981), „Covariant formulation of Hooke's law”, American Journal of Physics , 49 (1): 28–30, Bibcode : 1981AmJPh..49 ... 28G , doi : 10.1119 / 1.12623
• Letaw, JR (1981). „Stacjonarne linie świata i wzbudzenie próżniowe detektorów nieinercyjnych”. Physical Review D . 23 (8): 1709-1714. Kod Bibcode : 1981PhRvD..23.1709L . doi : 10.1103 / PhysRevD.23.1709 .
• Bel, L. (1995) [1993], "Born's group and Generalized isometries", Relativity in General: Proceedings of the Relativity Meeting'93 , Atlantica Séguier Frontières: 47, arXiv : 1103.2509 , Bibcode : 2011arXiv1103.2509B
• Giulini, Domenico (2008). „Bogata struktura przestrzeni Minkowskiego”. Czasoprzestrzeń Minkowskiego: sto lat później . Podstawowe teorie fizyki . 165 . Skoczek. p. 83. arXiv : 0802.4345 . Kod bib : 2008arXiv0802.4345G . ISBN   978-90-481-3474-8 .
• Epp, RJ, Mann, RB i McGrath, PL (2009), „Rigid motion revisited: rigid quasilocal frames”, Classical and Quantum Gravity , 26 (3): 035015, arXiv : 0810.0072 , Bibcode : 2009CQGra..26c5015E , doi : 10.1088 / 0264-9381 / 26/3/035015 , S2CID   118856653 CS1 maint: wiele nazw: lista autorów ( link )

Linki zewnętrzne

• Urodzony sztywność, przyspieszenie i bezwładność na mathpages.com
• Sztywny wirujący dysk w teorii względności w fizyce USENET - często zadawane pytania