f ( R ) grawitacja - f(R) gravity

${\ Displaystyle \ kappa = {\ tfrac {8 \ pi G} {c ^ {4}}}, g = \ det g_ {\ mu \ nu}}$

${\ Displaystyle f (R)}$

Metryczne f ( R ) grawitacja

Wyprowadzenie równań pola

W metrycznym f ( R ) grawitacji równania pola uzyskuje się zmieniając w odniesieniu do metryki i nie traktując połączenia niezależnie. Dla kompletności omówimy teraz pokrótce podstawowe kroki wariacji akcji. Główne kroki są takie same, jak w przypadku wariacji działania Einsteina-Hilberta (więcej szczegółów w artykule), ale są też pewne istotne różnice.

Zmienność wyznacznika jest jak zawsze:

$${\ Displaystyle \ delta {\ sqrt {-g}} = - {\ Frac {1} {2}} {\ sqrt {-g}} g_ {\ mu \ nu} \ delta g ^ {\ mu \ nu} }$$

Ricci skalarną jest zdefiniowany jako

$${\ Displaystyle R = g ^ {\ mu \ nu} R_ {\ mu \ nu}.}$$

Dlatego jego zmienność w stosunku do metryki odwrotnej jest dana wzorem ${\ Displaystyle g ^ {\ mu \ nu}}$

$${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} \ delta R & = R_ {\ mu \ nu} \ delta g ^ {\ mu \ nu} + g ^ {\ mu \ nu} \ delta R_ {\ mu \ nu} \ \ &=R_{\mu \nu }\delta g^{\mu \nu }+g^{\mu \nu }\left(\nabla _{\rho }\delta \Gamma _{\nu \mu }^ {\rho }-\nabla _{\nu }\delta \Gamma _{\rho \mu }^{\rho }\right)\end{wyrównany}}}$$

W drugim kroku zobacz artykuł o akcji Einsteina-Hilberta . Ponieważ jest to różnica dwóch połączeń, powinien zostać przekształcony jako tensor. Dlatego można go zapisać jako ${\ Displaystyle \ delta \ Gamma _ {\ mu \ nu} ^ {\ lambda}}$

$${\ Displaystyle \ delta \ Gamma _ {\ mu \ nu} ^ {\ lambda} = {\ Frac {1} {2}} g ^ {\ lambda a} \ lewo (\ nabla _ {\ mu} \ delta g_ {a\nu }+\nabla _{\nu }\delta g_{a\mu }-\nabla _{a}\delta g_{\mu \nu }\right).}$$

Podstawiając do powyższego równania:

$${\ Displaystyle \ delta R = R_ {\ mu \ nu} \ delta g ^ {\ mu \ nu} + g_ {\ mu \ nu} \ pudełko \ delta g ^ {\ mu \ nu} - \ nabla _ {\ mu }\nabla _{\nu }\delta g^{\mu \nu }}$$

gdzie jest

${\ Displaystyle \ nabla _ {\ mu}}$

${\ Displaystyle \ kwadrat = g ^ {\ mu \ nu} \ nabla _ {\ mu} \ nabla _ {\ nu}}$

Oznaczając , wariacja w akcji brzmi: ${\ Displaystyle F (R) = {\ Frac {df} {dR}}}$

$${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} \ delta S [g] & = \ int {\ Frac {1} {2 \ kappa}} \ lewo (\ delta f (R) {\ sqrt {-g}} + f (R)\delta {\sqrt {-g}}\right)\,\mathrm {d} ^{4}x\\&=\int {\frac {1}{2\kappa }}\left(F (R)\delta R{\sqrt {-g}}-{\frac {1}{2}}{\sqrt {-g}}g_{\mu \nu }\delta g^{\mu \nu } f(R)\right)\,\mathrm {d} ^{4}x\\&=\int {\frac {1}{2\kappa }}{\sqrt {-g}}\left(F( R)(R_{\mu \nu }\delta g^{\mu \nu }+g_{\mu \nu }\Box \delta g^{\mu \nu }-\nabla _{\mu }\nabla _{\nu }\delta g^{\mu \nu })-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }\delta g^{\mu \nu }f(R)\right )\,\mathrm {d} ^{4}x\end{wyrównany}}}$$

Wykonując całkowanie przez części na drugim i trzecim członie (i pomijając wkłady brzegowe), otrzymujemy:

$${\ Displaystyle \ delta S [g] = \ int {\ Frac {1} {2 \ kappa}} {\ sqrt {-g}} \ delta g ^ {\ mu \ nu} \ lewo (F (R) R_ {\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }f(R)+[g_{\mu \nu }\Box -\nabla _{\mu }\nabla _ {\nu }]F(R)\prawo)\,\mathrm {d} ^{4}x.}$$

Wymagając, aby działanie pozostało niezmienne przy zmianach metryki, otrzymuje się równania pola: ${\ Displaystyle {\ Frac {\ delta S} {\ delta g ^ {\ mu \ nu}}} = 0}$

$${\ Displaystyle F (R) R_ {\ mu \ nu} - {\ Frac {1} {2}} f (R) g_ {\ mu \ nu} + \ lewo [g_ {\ mu \ nu} \ Box - \nabla _{\mu }\nabla _{\nu }\right]F(R)=\kappa T_{\mu \nu },}$$

${\ Displaystyle T_ {\ mu \ nu}}$

$${\ Displaystyle T_ {\ mu \ nu } = - {\ Frac {2} {\ sqrt {-g}}} {\ Frac {\ delta ({\ sqrt {-g}} {\ mathcal {L}} _ {\mathrm {m} })}{\delta g^{\mu \nu }}},}$$

${\ Displaystyle {\ Mathcal {L}} _ {m}}$

Uogólnione równania Friedmanna

Zakładając metrykę Robertsona–Walkera ze współczynnikiem skali , możemy znaleźć uogólnione

${\displaystyle a(t)}$

${\ Displaystyle \ kappa =1}$

$${\ Displaystyle 3FH ^ {2} = \ rho _ {\ rho _ {\ rho _ {\ rho _ {\ rho {rad}} + {\ Frac {1} {2}} (FR-f) -3 H {\ kropka {F}}}$$

$${\ Displaystyle -2F {\ kropka {H}} = \ rho _ {\ rm {m}} + {\ Frac {4}{3}} \ rho _ {\ rho {rad}} + {\ ddot {f }}-H{\kropka {F}},}$$

$${\ Displaystyle H = {\ Frac {\ kropka {a}} {a}}}$$

$${\ Displaystyle {\ kropka {\ rho}} _ {\ rm {m}} + 3 H \ rho _ {\ rho {m}} = 0;}$$

$${\ Displaystyle {\ kropka {\ rho}} _ {\ rm {rad}} + 4 h \ rho _ {\ rm {rad}} = 0.}$$

Zmodyfikowana stała Newtona

Interesującą cechą tych teorii jest fakt, że stała grawitacyjna jest zależna od czasu i skali. Aby to zobaczyć, dodaj małą perturbację skalarną do metryki (w mierniku Newtona ):

$${\ Displaystyle \ operatorname {d} s ^ {2} = - (1 + 2 \ Phi) \ operatorname {d} t ^ {2} + \ alfa ^ {2} (1-2 \ psi) \ delta _ { ij}\mathrm {d} x^{i}\mathrm {d} x^{j}}$$

$${\ Displaystyle \ Phi = -4 \ pi G_ {\ operatorname {eff}} {\ Frac {a ^ {2}}{ k ^ {2}}} \ delta \ rho _ {\ operatorname {m}}}$$

$${\ Displaystyle G_ {\ operatorname {eff}} = {\ Frac {1} {8 \ pi F}} {\ Frac {1 + 4 {\ Frac {k ^ {2}} {a ^ {2} R} }m}{1+3{\frac {k^{2}}{a^{2}R}}m}},}$$

$${\ Displaystyle m \ równoważny {\ Frac {RF_ {, R}} {F}}.}$$

Masywne fale grawitacyjne

Ta klasa teorii po zlinearyzowaniu wykazuje trzy mody polaryzacji dla fal grawitacyjnych , z których dwa odpowiadają bezmasowemu grawitonowi (helitys ±2), a trzeci (skalarny) wynika z faktu, że jeśli weźmiemy pod uwagę transformację konforemną, Teoria czwartego rzędu f ( R ) staje się ogólną teorią względności plus pole skalarne . Aby to zobaczyć, zidentyfikuj

$${\ Displaystyle \ Phi \ do f '(R) \ quad {\ textrm {i}} \ quad {\ Frac {dV} {d \ Phi}} \ do {\ Frac {2f (R) - Rf '(R )}{3}},}$$

$${\ Displaystyle \ Box \ Phi = {\ Frac {\ operatorname {d} V} {\ operatorname {d} \ Phi}}}$$

Praca z teorią perturbacji pierwszego rzędu:

$${\ Displaystyle g_ {\ mu \ nu } = \ eta _ {\ mu \ nu} + h_ {\ mu \ nu}}$$

$${\ Displaystyle \ Phi = \ Phi _ {0}+ \ delta \ Phi}$$

$${\ Displaystyle h_ {\ mu \ nu} (t, z; \ omega ) = A ^ {+} (\ omega ) \ exp (-i \ omega (tz)) e_ {\ mu \ nu } ^ {+} +A^{\times }(\omega )\exp(-i\omega (tz))e_{\mu \nu }^{\times }+h_{f}(v_{\mathrm {g} }tz; \omega )\eta _{\mu \nu }}$$

$${\ Displaystyle h_ {f} \ równoważnik {\ Frac {\ delta \ Phi} {\ Phi _ {0}}}}$$

oraz V _g ( ω ) = d ω / d, k jest prędkość grupę o pakietów fali h _f na środku fali wektora k . Pierwsze dwa terminy odpowiadają zwykłym polaryzacjom poprzecznym z ogólnej teorii względności, podczas gdy trzeci odpowiada nowemu trybowi polaryzacji masywnej teorii f ( R ). Ten tryb jest mieszanką bezmasowego poprzecznego trybu oddychania (ale nie bezśladowego) i masowego podłużnego trybu skalarnego. Mody poprzeczne i bezśladowe (znane również jako mody tensorowe) propagują się z prędkością światła , ale masywny mod skalarny porusza się z prędkością v _G  < 1 (w jednostkach, gdzie c  = 1), tryb ten jest dyspersyjny. Jednak w formalizmie metryki grawitacyjnej f ( R ) dla modelu (znanego również jako model czysty ), trzeci mod polaryzacji jest modą czystego oddychania i rozchodzi się z prędkością światła w czasoprzestrzeni. ${\ Displaystyle f (R) = \ alfa R ^ {2}}$${\ Displaystyle R ^ {2}}$

Równoważny formalizm

Pod pewnymi dodatkowymi warunkami możemy uprościć analizę teorii f ( R ) przez wprowadzenie pola pomocniczego Φ . Zakładając, że wszystkie

${\displaystyle f''(R)\neq 0}$

${\ Displaystyle \ Phi = f'(R)}$

${\ Displaystyle R = V' (\ Phi )}$

$${\ Displaystyle S = \ int d ^ {4} x {\ sqrt {-g}} \ lewo [{\ Frac {1} {2 \ kappa}} \ lewo (\ Phi RV (\ Phi) \ prawej) + {\mathcal {L}}_{\text{m}}\prawo].}$$

Mamy równania Eulera-Lagrange'a

$${\ Displaystyle V '(\ Phi ) = R}$$

$${\ Displaystyle \ Phi \ lewo (R_ {\ mu \ nu} - {\ Frac {1} {2}} g_ {\ mu \ nu} R \ po prawej) + \ lewo (g_ {\ mu \ nu} \ Box -\nabla _{\mu }\nabla _{\nu }\right)\Phi +{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }V(\Phi )=\kappa T_{\mu \nu}}$$

Eliminując Φ otrzymujemy dokładnie takie same równania jak poprzednio. Jednak w pochodnych równania są tylko drugiego rzędu, a nie czwartego rzędu.

Obecnie pracujemy z ramą Jordan . Wykonując konforemne przeskalowanie

$${\ Displaystyle {\ tylda {g}} _ {\ mu \ nu} = \ Phi g_ {\ mu \ nu},}$$

$${\ Displaystyle R = \ Phi \ lewo [{\ tylda {R}} + {\ Frac {3 {\ tylda {\ Box}} \ Phi} {\ Phi}} - {\ Frac {9} {2}} \left({\frac {{\tylda {\nabla }}\Phi }{\Phi }}\right)^{2}\right]}$$

$${\ Displaystyle S = \ int d ^ {4} x {\ sqrt {- {\ tylda {g}}}} {\ Frac {1} {2 \ kappa}} \ lewo [{\ tylda {R}} - {\frac {3}{2}}\left({\frac {{\tylda {\nabla }}\Phi }{\Phi }}\right)^{2}-{\frac {V(\Phi ) }{\Phi ^{2}}}\prawo]}$$

Definiowanie i zastępowanie ${\ Displaystyle {\ tylda {\ Phi}} = {\ sqrt {3}} \ ln {\ Phi}}$

$${\ Displaystyle S = \ int \ operatorname {d} ^ {4} x {\ sqrt {-{\ tylda {g}}}} {\ Frac {1} {2 \ kappa}} \ lewo [{\ tylda { R}}-{\frac {1}{2}}\left({\tylda {\nabla }}{\tylda {\Phi }}\right)^{2}-{\tylda {V}}({ \tylda {\Phi }})\prawo]}$$

$${\ Displaystyle {\ tylda {V}} ({\ tylda {\ Phi }}) = e ^ {- {\ Frac {2} {\ sqrt {3}}} {\ tylda {\ Phi }}} V\ left(e^{{\tilde {\Phi }}/{\sqrt {3}}}\right).}$$

Jest to ogólna teoria względności połączona z rzeczywistym polem skalarnym: użycie teorii f ( R ) do opisania przyspieszającego wszechświata jest praktycznie równoważne użyciu kwintesencji . (Przynajmniej równoważne z zastrzeżeniem, że nie określiliśmy jeszcze sprzężeń materii, więc (na przykład) f ( R ) grawitacja, w której materia jest minimalnie sprzężona z metryką (tj. w układzie Jordana) jest równoważna teorii kwintesencji w którym pole skalarne pośredniczy w piątej sile o sile grawitacyjnej).

Palatini f ( R ) grawitacja

W Palatini f ( R ) grawitacja traktuje metrykę i połączenie niezależnie i zmienia działanie względem każdego z nich osobno. Zakłada się, że materia Lagrange'a jest niezależna od związku. Wykazano, że teorie te są równoważne teorii Bransa-Dickego z ω = − 3 ⁄ 2 . Ze względu na strukturę teorii, jednak palatini f ( R ) teorie wydają się być w konflikcie z Modelu Standardowego, może naruszać słoneczne eksperymenty systemowych, i wydają się tworzyć niechciane osobliwości.

Metryczno-afiniczna f ( R ) grawitacja

W grawitacji metryczno-afinicznej f ( R ) można jeszcze bardziej uogólnić rzeczy, traktując zarówno metrykę, jak i połączenie niezależnie i zakładając, że lagranżian materii również zależy od związku.

Testy obserwacyjne

Ponieważ istnieje wiele potencjalnych postaci f ( R ) grawitacji, trudno jest znaleźć testy generyczne. Dodatkowo, ponieważ odchylenia od ogólnej teorii względności mogą być w niektórych przypadkach arbitralnie małe, nie można jednoznacznie wykluczyć niektórych modyfikacji. Można dokonać pewnego postępu, nie przyjmując konkretnej postaci funkcji f ( R ) przez rozwinięcie Taylora

$${\ Displaystyle f (R) = a_ {0} + a_ {1} R + a_ {2} R ^ {2} + \ cdots }$$

Pierwszy wyraz jest jak stała kosmologiczna i musi być mały. Następny współczynnik a ₁ może być ustawiony na jeden, jak w ogólnej teorii względności. Dla metrycznej f ( R ) grawitacji (w przeciwieństwie do Palatiniego lub metrycznej f ( R ) grawitacji), człon kwadratowy jest najlepiej ograniczony przez pomiary piątej siły , ponieważ prowadzi do poprawki Yukawy do potencjału grawitacyjnego. Najlepsze aktualne granice to |

Parametryzowane post-Newtona formalizm jest zaprojektowany, aby móc ograniczyć rodzajowe zmodyfikowanych teorii grawitacji. Jednak grawitacja f ( R ) ma wiele takich samych wartości jak ogólna teoria względności i dlatego jest nie do odróżnienia przy użyciu tych testów. W szczególności ugięcie światła pozostaje niezmienione, więc f ( R ) grawitacja, podobnie jak Ogólna Teoria Względności, jest całkowicie zgodna z ograniczeniami śledzenia Cassini .

Grawitacja Starobinskiego

Grawitacja Starobinsky'ego ma następującą postać:

$${\ Displaystyle f (R) = R + {\ Frac {R ^ {2}} {6 M ^ {2}}}}$$

${\ Displaystyle M}$

Grawitacja Gogoi-Goswami

Grawitacja Gogoi-Goswami ma następującą postać:

$${\ Displaystyle f (R) = R- {\ Frac {\ alfa} {\ pi}} R_ {c} \ łóżeczko ^ {-1} \ lewo ({\ Frac {R_ {c} ^ {2}} R^{2}}}\right)-\beta R_{c}\left[1-\exp \left(-{\frac {R}{R_{c}}}\right)\right]}$$

${\ Displaystyle \ alfa}$

${\ Displaystyle \ beta}$

${\ Displaystyle R_ {c}}$

Uogólnienie tensoryczne

f ( R ) grawitacja przedstawiona w poprzednich rozdziałach jest skalarną modyfikacją ogólnej teorii względności. Ogólnie rzecz biorąc, możemy mieć

$${\ Displaystyle \ int \ operatorname {d} ^ {D} x {\ sqrt {-g}} \ f (R, R ^ {\ mu \ nu} R_ {\ mu \ nu}, R ^ {\ mu \nu \rho \sigma }R_{\mu \nu \rho \sigma})}$$

Zobacz też

• Rozszerzone teorie grawitacji
• Grawitacja Gaussa-Bonnet
• Lovelock grawitacja

Bibliografia

Dalsza lektura

• Patrz rozdział 29 w podręczniku „Particles and Quantum Fields” Kleinert, H. (2016), World Scientific (Singapur, 2016) (dostępny również online )
• Sotiriou, TP; Faraoni, V. (2010). „f (R) Teorie grawitacji”. Recenzje fizyki współczesnej . 82 (1): 451–497. arXiv : 0805.1726 . Kod bib : 2010RvMP...82..451S . doi : 10.1103/RevModPhys.82.451 . S2CID  15024691 .
• Sotiriou, TP (2009). „6+1 lekcji z f(R) grawitacji”. Journal of Physics: Seria konferencji . 189 (9): 012039. arXiv : 0810.5594 . Kod Bib : 2009JPhCS.189a2039S . doi : 10.1088/1742-6596/189/1/012039 . S2CID  14820388 .
• Capozziello, S.; De Laurentis, M. (2011). „Rozszerzone teorie grawitacji”. Raporty fizyczne . 509 (4-5): 167-321. arXiv : 1108.6266 . Kod Bib : 2011PhR...509..167C . doi : 10.1016/j.physrep.2011.09.003 . S2CID  119296243 .
• Salvatore Capozziello i Mariafelicia De Laurentis, (2015) „F(R) teorie grawitacji”. Scholarpedia, doi:10.4249/scholarpedia.31422
• Kalvakota, Vaibhav R., (2021) "Investigating f(R)" grawitacja i kosmologie". Archiwum preprintów fizyki matematycznej, https://web.ma.utexas.edu/mp_arc/c/21/21-38.pdf

Zewnętrzne linki

• f ( R ) grawitacja na arxiv.org
• Rozszerzone teorie grawitacji