Potencjał Yukawy - Yukawa potential

W fizyce cząstek , atomów i materii skondensowanej , potencjał Yukawy (zwany także ekranowanym potencjałem Coulomba ) to potencjał nazwany na cześć japońskiego fizyka Hideki Yukawy . Potencjał ma postać:

${\ Displaystyle V_ {\ tekst {Yukawa}} (r) = - g ^ {2} {\ Frac {e ^ {- \ alfa pan}} {r}}}$

gdzie g jest stałą skalowania wielkości, tj. jest amplitudą potencjału, m jest masą cząstki, r jest promieniową odległością od cząstki, a α jest inną stałą skalowania, więc jest to przybliżony zakres. Potencjał wzrasta monotonicznie w r i jest ujemny, co oznacza , że siła jest atrakcyjna. W układzie SI jednostką potencjału Yukawy jest (1/metr). ${\displaystyle r\około {\tfrac {1}{\alfa m}}}$

Potencjał Coulomba z elektromagnetyzmu jest przykładem potencjał yukawy ze współczynnikiem równym 1, wszędzie. Można to zinterpretować jako stwierdzenie, że masa fotonu m jest równa 0. Foton jest nośnikiem siły między oddziałującymi, naładowanymi cząstkami. ${\ Displaystyle e ^ {- \ alfa pan}}$

W oddziaływaniach między polem mezonowym a polem fermionowym stała g jest równa stałej cechowania między tymi polami. W przypadku siły jądrowej fermiony byłyby protonem i innym protonem lub neutronem .

Historia

Przed pracą Hideki Yukawy z 1935 r. fizycy mieli trudności z wyjaśnieniem wyników modelu atomowego Jamesa Chadwicka , który składał się z dodatnio naładowanych protonów i neutronów upakowanych wewnątrz małego jądra o promieniu rzędu ^10-14 metrów. Fizycy wiedzieli, że siły elektromagnetyczne na tych długościach spowodują odpychanie się tych protonów i rozpad jądra. Stąd pojawiła się motywacja do dalszego wyjaśnienia oddziaływań między cząstkami elementarnymi. W 1932 Werner Heisenberg zaproponował oddziaływanie „Platzwechsel” (migracja) między neutronami i protonami wewnątrz jądra, w którym neutrony były złożonymi cząstkami protonów i elektronów. Te złożone neutrony emitowałyby elektrony, tworząc z protonami siłę przyciągania, a następnie same zamieniały się w protony. Kiedy w 1933 roku na konferencji Solvay Heisenberg zaproponował swoją interakcję, fizycy podejrzewali, że może ona mieć dwie formy:

${\ Displaystyle J (r) = ae ^ {-br} \ quad {\ textrm {lub}} \ quad J (r) = ae ^ {-br ^ {2}}}$

ze względu na jego krótki zasięg. Jednak z jego teorią było wiele problemów. Mianowicie jest to niemożliwe dla elektronu o spinie1/2 i proton spinu 1/2 dodać do spinu neutronów 1/2. Sposób, w jaki Heisenberg potraktował tę kwestię, przekształcił się w idee izospinu .

Pomysł Heisenberga dotyczący oddziaływania wymiennego (zamiast siły kulombowskiej) między cząstkami wewnątrz jądra doprowadził Fermiego do sformułowania swoich pomysłów na rozpad beta w 1934 roku. Oddziaływanie neutron-proton Fermiego nie było oparte na „migracji” neutronów i protonów między nimi inny. Zamiast tego Fermi zaproponował emisję i absorpcję dwóch cząstek światła: neutrina i elektronu, a nie tylko elektronu (jak w teorii Heisenberga). Podczas gdy interakcja Fermiego rozwiązała problem zachowania liniowego i kątowego momentu, radzieccy fizycy Igor Tamm i Dmitri Ivaneko wykazali, że siła związana z emisją neutrin i elektronów nie była wystarczająco silna, aby związać protony i neutrony w jądrze.

W swoim artykule z lutego 1935 Hideki Yukawa łączy zarówno ideę oddziaływania sił bliskiego zasięgu Heisenberga, jak i ideę Fermiego dotyczącą cząstki wymiennej, aby rozwiązać problem oddziaływania neutron-proton. Wydedukował potencjał, który zawiera składnik wykładniczy rozpadu ( ) i składnik elektromagnetyczny ( ). W analogii do kwantowej teorii pola Yukawa wiedział, że potencjał i odpowiadające mu pole muszą być wynikiem cząstki wymiany. W przypadku QED ta cząstka wymiany była fotonem o masie 0. W przypadku Yukawy cząstka wymienna miała pewną masę, co było związane z zasięgiem oddziaływania (podanym przez ). Ponieważ znany był zasięg siły jądrowej, Yukawa użył swojego równania do przewidzenia masy cząstki pośredniczącej jako około 200-krotność masy elektronu. Fizycy nazwali tę cząstkę „ mezonem ”, ponieważ jej masa znajdowała się w środku protonu i elektronu. Mezon Yukawy został znaleziony w 1947 roku i stał się znany jako pion . ${\ Displaystyle e ^ {- \ alfa pan}}$${\displaystyle 1/r}$${\displaystyle {\tfrac {1}{\alfa m}}}$

Związek z potencjałem kulombowskim

Jeśli cząsteczka nie ma masy (tj. m = 0 ), wtedy potencjał Yukawy redukuje się do potencjału kulombowskiego, a zakres mówi się, że jest nieskończony. W rzeczywistości mamy:

${\ Displaystyle m = 0 \ Strzałka w prawo e ^ {- \ alfa pan} = e ^ {0} = 1.}$

W konsekwencji równanie

${\ Displaystyle V_ {\ tekst {Yukawa}} (r) = -g ^ {2} \; {\ Frac {e ^ {-\ alfa pan}} {r}}}$

upraszcza się do postaci potencjału kulombowskiego

${\ Displaystyle V_ {\ tekst {kulomb}} (r) = -g ^ {2} \; {\ Frac {1} {r}}.}$

gdzie ustawiamy stałą skalowania na:

${\ Displaystyle g ^ {2} = {\ Frac {q_ {1} q_ {2}} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}}}$

Porównanie siły potencjału dalekiego zasięgu dla Yukawy i Coulomba pokazano na rysunku 2. Można zauważyć, że potencjał Coulomba oddziałuje na większą odległość, podczas gdy potencjał Yukawy zbliża się do zera dość szybko. Jednak każdy potencjał Yukawy lub potencjał kulombowski jest niezerowy dla każdego dużego r .

Transformata Fouriera

Najłatwiejszym sposobem zrozumienia, że ​​potencjał Yukawy jest związany z ogromnym polem, jest zbadanie jego transformaty Fouriera . Jeden ma

${\ Displaystyle V (\ mathbf {r} ) = {\ Frac {-g ^ {2}} {(2 \ pi) ^ {3}}} \ int e ^ {i \ mathbf {k \ cdot r}} {\frac {4\pi }{k^{2}+(\alpha m)^{2}}}\,\mathrm {d} ^{3}k}$

gdzie całka jest wykonywana po wszystkich możliwych wartościach 3-wektorowego pędu k . W tej postaci, a ustawienie współczynnika skalowania do jednego, frakcja jest postrzegane jako propagatora lub Funkcja Greena z równania Klein, Gordon . ${\ Displaystyle \ alfa =1}$${\textstyle {\frac {4\pi }{k^{2}+m^{2}}}}$

Amplituda Feynmana

Potencjał Yukawy można wyprowadzić jako amplitudę najniższego rzędu interakcji pary fermionów. Oddziaływanie Yukawy łączy pole fermionowe z polem mezonowym z terminem sprzężenia ${\ Displaystyle \ psi (x)}$${\ Displaystyle \ phi (x)}$

${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} _ {\ operatorname {int}} (x) = g ~ {\ overline {\ psi}} (x) ~ \ phi (x) ~ \ psi (x) ~.}$

Amplituda rozpraszania dla dwóch fermionów, jeden z początkowego rozpędu , a drugi z rozpędu , wymieniających mezon z pędu K , oblicza się według schematu Feynmana po prawej stronie. ${\displaystyle p_{1}}$${\displaystyle p_{2}}$

Reguły Feynmana dla każdego wierzchołka wiążą czynnik g z amplitudą; ponieważ ten diagram ma dwa wierzchołki, całkowita amplituda będzie miała współczynnik . Linia pośrodku, łącząca dwie linie fermionowe, reprezentuje wymianę mezonu. Zasada Feynmana dotycząca wymiany cząstek polega na użyciu propagatora; propagatorem masywnego mezonu jest . Widzimy więc, że amplituda Feynmana dla tego wykresu jest niczym więcej niż ${\ Displaystyle g ^ {2}}$${\textstyle {\frac {-4\pi }{~k^{2}+m^{2}~}}}$

${\ Displaystyle V (\ mathbf {k} ) = - g ^ {2} {\ Frac {4 \ pi} {k ^ {2} + m ^ {2}}} ~.}$

Z poprzedniej części widać, że jest to transformata Fouriera potencjału Yukawy.

Wartości własne równania Schrödingera

Radialne równanie Schrödingera z potencjałem Yukawy można rozwiązać perturbacyjnie. Korzystając z radialnego równania Schrödingera w postaci

${\ Displaystyle \ lewo [{\ Frac {\ operatorname {d} ^ {2}} {\ operatorname {d} r ^ {2}}} + k ^ {2} - {\ Frac {\ ell (\ ell + 1)}{r^{2}}}-V(r)\right]\Psi \left(\ell ,k;\,r\right)=0,}$

oraz potencjał Yukawy w formie rozszerzonej mocy

${\ Displaystyle V (r) = \ suma _ {j = -1} ^ {\ infty} M_ {j + 1} \ (-r) ^ {j}}$

i przy ustawieniu , otrzymujemy dla momentu pędu wyrażenie ${\displaystyle K=jk}$${\displaystyle \ell}$

${\ Displaystyle \ ell + n + 1 = - {\ Frac {\, \ Delta _ {n} (K) \ {2K}}}$

dla , gdzie ${\displaystyle |K|\do \infty}$

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} i \ Delta _ {n} (K) = M_ {0}-{\ Frac {1} {\ 2K ^ {2} \}} {\ Bigl [} \, n(n+1)\,M_{2}+M_{0}\,M_{1}\,{\Bigr ]}-{\frac {\,2n+1\,}{4K^{3}} }\,M_{0}\,M_{2}~+\\&\qquad \qquad \quad +{\frac {1}{\,8K^{4}\,}}\,{\Bigl [} \,3(n-1)n(n+1)(n+2)\,M_{4}+2(3n^{2}+3n-1)\,M_{3}\,M_{0} ~+\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad ~+~6n(n+1)\,M_{2}\,M_{1}+2\,M_{2}\,M_{0} ^{2}+3M_{1}^{2}\,M_{0}\,{\Bigr ]}~+\\&\qquad \qquad \quad +{\frac {\,2n+1\,} {\,8K^{5}\,}}\,{\Bigl [}\,3(n^{2}+n-1)\,M_{4}\,M_{0}+3\,M_ {3}\,M_{0}^{2}+n(n+1)\,M_{2}^{2}+4\,M_{2}\,M_{1}\,M_{0} \,{\Bigr ]}~+\\&\qquad \qquad \quad +~\nazwa operatora {\mathcal {O}} {\Bigl (}\,{\frac {1}{\,K^{7} \,}}\,{\Bigr )}~.\end{wyrównany}}}$

Ustalając wszystkie współczynniki oprócz równych zero, otrzymujemy dobrze znane wyrażenie na wartość własną Schrödingera dla potencjału kulombowskiego, a promieniowa liczba kwantowa jest dodatnią liczbą całkowitą lub zerem w konsekwencji warunków brzegowych, jakimi funkcja falowa potencjału kulombowskiego muszą zaspokoić. W przypadku potencjału Yukawy nałożenie warunków brzegowych jest bardziej skomplikowane. Tak więc w przypadku Yukawy jest tylko przybliżeniem, a parametr zastępujący liczbę całkowitą n jest tak naprawdę rozwinięciem asymptotycznym, jak to powyżej, z pierwszym przybliżeniem wartością całkowitą w odpowiednim przypadku kulombowskim. Powyższe rozwinięcie orbitalnego momentu pędu lub trajektorii Regge'a można odwrócić, aby uzyskać wartości własne energii lub równoważnie . Otrzymuje się: ${\ Displaystyle M_ {j}}$${\displaystyle M_{0}}$${\displaystyle \,n\,}$${\ Displaystyle \ nu = n}$${\displaystyle \nu}$ ${\ Displaystyle \ ell (K)}$${\ Displaystyle {\ duży |} K {\ duży |} ^ {2}}$

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} i {\ Bigl |} K {\ Bigr |} ^ {2} ~ = ~-M_ {1} ~ + ~ {\ Frac {1} {\, 4 (\ ell + n+1)^{2}\,}}\,{\biggl \{}\;M_{0}^{2}-4n(n+1)(\ell +n+1)^{2}\ ,M_{2}\,M_{0}+4(2n+1)(\ell +n+1)^{2}{\frac {M_{2}}{\;M_{0}\,}} ~+\\&\quad +~4{\frac {\;(\ell +n+1)^{4}\,}{M_{0}^{3}}}\,{\Bigl [}\ ,3(n-1)n(n+1)(n+2+3)\,M_{4}\,M_{0}~+\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad - ~3n^{2}(n+1)^{2}\,M_{2}^{2}+2(3n^{2}+3n-1)\,M_{3}\,M_{0} ^{2}+2\,M_{2}\,M_{0}^{3}\,{\Bigr ]}~+\\&\quad -~24{\frac {\,(2n+1) (\ell +n+1)^{5}\,}{M_{0}^{4}}}\,{\Bigl [}\,(n^{2}+n-1)\,M_{ 0}\,M_{4}+M_{0}^{3}\,M_{3}-n(n+1)\,M_{2}^{2}\,{\Bigr ]}~+\ \&\quad -~4\,{\frac {\,(\ell +n+1)^{6}\,}{M_{0}^{7}}}\,{\Bigl [}~10 (n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)(n+3)\,M_{6}\,M_{0}^{2}~+\\&\qquad \ qquad \qquad \qquad +~4\,M_{3}\,M_{0}^{5}+2{\Bigl (}\,5n(n+1)(3n^{2}+3n-10) +12\,{\Bigr )}\,M_{5}\,M_{0}^{3}~+\\&\qquad \qquad \qquad \qquad +~2(6n^{2}+6n- 11)\,M_{4}\,M_{0}^{4}+2(9n^{2}+9n-1)\,M_{2}^{2}\,M_{0}^{3 }~+\\&\qquad \qquad \qquad \qquad -~10n(n+1)(3n^{2}+3n+2)\,M_{3}\,M_ {2}\,M_{0}^{2}+20n^{3}(n+1)^{3}\,M_{2}^{3}~+\\&\qquad \qquad \qquad \ qquad -~30(n-1)n^{2}(n+1)^{2}(n+2)\,M_{4}\,M_{2}\,M_{0}\,{\ Bigr ]}\quad +\quad \cdots {\biggr \}}\quad .\end{aligned}}}$

Powyższa asymptotyczna ekspansja momentu pędu w malejących potęgach może być również wyprowadzona metodą WKB . W tym przypadku jednak, podobnie jak w przypadku potencjału Coulomba, wyrażenie w członie odśrodkowym równania Schrödingera musi zostać zastąpione przez , jak pierwotnie argumentował Langer, ponieważ osobliwość jest zbyt silna dla niezmienionego zastosowania z metodą WKB . To, że to rozumowanie jest poprawne, wynika z wyprowadzenia przez WKB poprawnego wyniku w przypadku Coulomba (z poprawką Langera ), a nawet z powyższego rozwinięcia w przypadku Yukawy z przybliżeniami WKB wyższego rzędu. ${\ Displaystyle \ ell (K)}$${\ Displaystyle K}$${\displaystyle \ell (\ell +1)}$${\ Displaystyle \ lewo (\ ell + {\ tfrac {1} {2}} \ po prawej) ^ {2}}$

Przekrój

Możemy obliczyć przekrój różnicowy między protonem lub neutronem a pionem, wykorzystując potencjał Yukawy. Używamy przybliżenia Borna , które mówi nam, że w sferycznie symetrycznym potencjale możemy przybliżyć wychodzącą funkcję falową rozproszoną jako sumę nadchodzącej płaskiej funkcji falowej i małej perturbacji:

${\ Displaystyle \ psi ({\ vec {R}}) \ w przybliżeniu A \ lewo [(e ^ {ipr}) + {\ Frac {e ^ {ipr}} {r}} f (\ theta) \ prawej] }$

gdzie jest przychodzący pęd cząstki. Funkcję podaje: ${\displaystyle {\vec {p}}=p{\kapelusz {z}}}$${\displaystyle f(\theta)}$

${\ Displaystyle f (\ theta ) = {\ Frac {-2 \ mu} {\ hbar ^ {2} \ lewo | {\ vec {p}} - {\ vec {p}} '\ po prawej |}} \ ,\int _{0}^{\infty }r\,V(r)\,\sin \left(\left|{\vec {p}}-{\vec {p}}'\right|r\ po prawej)~\mathrm {d} r}$

gdzie jest wychodzący rozproszony pęd cząstki i masa nadchodzących cząstek (nie mylić z masą pionu). Obliczamy , podłączając : ${\displaystyle {\vec {p}}'=p{\kapelusz {r}}}$${\ Displaystyle \ mu}$${\displaystyle m,}$${\displaystyle f(\theta)}$${\ Displaystyle V_ {\ tekst {Yukawa}}}$

${\ Displaystyle f (\ theta ) = {\ Frac {2 \ mu} {\ hbar ^ {2} \ lewo | {\ vec {p}} - {\ vec {p}} '\ po prawej |}} \, g^{2}\int _{0}^{\infty }e^{-\alpha mr}\,\sin \left(\left|{\vec {p}}-{\vec {p}}' \right|\,r\right)\,\mathrm {d} r}$

Obliczenie całki daje

${\ Displaystyle f (\ theta ) = {\ Frac {2 \ mu g ^ {2}} {\ hbar ^ {2} \ \ lewo [(\ alfa m) ^ {2} + \ lewo | {\ vec {p}}-{\vec {p}}'\right|^{2}\right]}}}$

Oszczędność energii implikuje

${\ Displaystyle {\ duży |} {\ vec {p}} {\ duży |} = {\ duży |} {\ vec {p}} „{\ duży |} = p ~}$

aby

${\ Displaystyle \ lewo | {\ vec {p}} - {\ vec {p}} '\ prawo | = 2 \ p \, \ grzech \ lewo ({\ tfrac {1} {2}} \ theta \ dobrze)~}$

Podłączając, otrzymujemy:

${\ Displaystyle f (\ theta ) = {\ Frac {2 \ mu g ^ {2}} {\ hbar ^ {2} \ lewo [(\ alfa m) ^ {2} + 4 \ p ^ {2} \,\sin ^{2}\left({{\frac {1}{2}}\theta }\right)\right]}}}$

W ten sposób otrzymujemy przekrój różnicowy:

${\ Displaystyle {\ Frac {\ operatorname {d} \ sigma} {\ operatorname {d} \ Omega}} = \ lewo | f (\ theta) \ prawo | ^ {2} = {\ Frac {4 \ mu g ^{4}}{\hbar ^{4}\ \left[(\alpha m)^{2}+4p^{2}\sin ^{2}\left({\frac {1}{2}} \theta \right)\right]^{2}}}}$

Integrując, całkowity przekrój to:

${\ Displaystyle \ sigma = \ int {\ Frac {\ operatorname {d} \ sigma} {\ operatorname {d} \ Omega}} \ operatorname {d} \ Omega = {\ Frac {4 \ mu g ^ {4} }{\hbar ^{4}}}\int _{0}^{\pi }{\frac {2\pi \sin(\theta )\mathrm {d} \theta }{\left[(\alpha m )^{2}+4p^{2}\sin ^{2}\left({\frac {1}{2}}\theta \right)\right]^{2}}}={\frac {4 \mu g^{4}}{\hbar ^{4}}}{\frac {4\pi }{(\alpha m)^{2}\left[(\alpha m)^{2}+4p^ {2}\prawo]}}}$

Zobacz też

• Interakcja Yukawy
• Ekranowane równanie Poissona
• Potencjał Bessela

Bibliografia

Źródła

• brązowy, GE ; Jackson, AD (1976). Interakcja nukleon-nukleon . Amsterdam: Wydawnictwo Północnej Holandii. Numer ISBN 0-7204-0335-9.