Stopień rozszerzenia pola - Degree of a field extension

W matematyce , a dokładniej w teorii pola , stopień rozszerzenia pola jest przybliżoną miarą „rozmiaru” rozszerzenia pola . Pojęcie to odgrywa ważną rolę w wielu dziedzinach matematyki, w tym w algebrze i teorii liczb — w rzeczywistości w każdym obszarze, w którym pola pojawiają się w widocznym miejscu.

Definicja i notacja

Załóżmy, że E / F jest rozszerzeniem pola . Wtedy E można uznać za przestrzeń wektorową nad F (pole skalarów). Wymiar tej przestrzeni wektor jest zwany stopień rozszerzenia pola i jest oznaczony przez E [f].

Stopień może być skończony lub nieskończony, a pole jest odpowiednio nazywane rozszerzeniem skończonym lub nieskończonym . O rozszerzeniu E / F mówi się czasami, że jest po prostu skończone, jeśli jest rozszerzeniem skończonym; nie należy tego mylić z samymi polami będącymi polami skończonymi (polami o skończenie wielu elementach).

Stopień nie powinien być mylony ze stopniem transcendencji pola; na przykład, pole Q ( X ) funkcji wymiernych ma nieskończony stopień nad Q , ale stopień transcendencji jest równy tylko 1.

Wzór na krotność stopni

Mając trzy pola ułożone w wieżę , powiedzmy K jako podciało L, które z kolei jest podciałem M , istnieje prosta zależność między stopniami trzech rozszerzeń L / K , M / L i M / K :

${\displaystyle [M:K]=[M:L]\cdot [L:K].}$

Innymi słowy, stopień przechodzący od pola „dolnego” do „górnego” jest po prostu iloczynem stopni przechodzących od pola „dolnego” do „środkowego”, a następnie od „środka” do „góry”. Jest to całkiem analogiczne do twierdzenia Lagrange'a w teorii grup , które wiąże porządek grupy z porządkiem i indeksem podgrupy — rzeczywiście teoria Galois pokazuje, że ta analogia jest czymś więcej niż tylko zbiegiem okoliczności.

Formuła dotyczy zarówno rozszerzeń skończonych, jak i nieskończonych. W przypadku nieskończonym iloczyn jest interpretowany w sensie iloczynów liczb kardynalnych . W szczególności oznacza to, że jeśli M / K jest skończone, to zarówno M / L, jak i L / K są skończone.

Jeśli M / K jest skończone, to formuła nakłada silne ograniczenia na rodzaje pól, które mogą wystąpić między M i K , poprzez proste rozważania arytmetyczne. Na przykład, jeśli stopień [ M : K ] jest liczbą pierwszą p , to dla dowolnego pola pośredniego L , może zajść jedna z dwóch rzeczy: albo [ M : L ] = p i [ L : K ] = 1, w których przypadek L jest równy K , lub [ M : L ] = 1 i [ L : K ] = p , w którym to przypadku L jest równe M . W związku z tym nie ma pól pośrednich (poza samymi M i K ).

Dowód wzoru na multiplikatywność w przypadku skończonym

Załóżmy, że K , L i M tworzą wieżę pól jak w powyższym wzorze na stopień i że zarówno d = [ L : K ] jak i e = [ M : L ] są skończone. Oznacza to, że możemy wybrać bazę { u ₁ , ..., u _d } dla L nad K oraz bazę { w ₁ , ..., w _e } dla M nad L . Pokażemy, że elementy u _m w _n , dla m z zakresu 1, 2, ..., d i n z zakresu 1, 2, ..., e , stanowią podstawę dla M / K ; ponieważ jest ich dokładnie de , dowodzi to, że wymiar M / K to de , co jest pożądanym wynikiem.

Najpierw sprawdzamy, czy rozciągają się one na M / K . Jeśli x jest dowolnym elementem M , to ponieważ w _n tworzą bazę dla M nad L , możemy znaleźć elementy a _n w L takie, że

${\ Displaystyle x = \ suma _ {n = 1} ^ {e} a_ {n} w_ {n} = a_ {1} w_ {1} + \ cdots + a_ {e} w_ {e}.}$

Następnie, ponieważ u _m stanowią bazę dla L nad K , możemy znaleźć elementy b _{m , n} w K takie, że dla każdego n ,

${\ Displaystyle a_ {n} = \ suma _ {m = 1} ^ {d} b_ {m, n} u_ {m} = b_ {1, n} u_ {1} + \ cdots + b_ {d, n }u_{d}.}$

Następnie korzystając z prawa rozdzielności i asocjatywności mnożenia w M mamy

${\ Displaystyle x = \ suma _ {n = 1} ^ {e} \ lewo (\ suma _ {m = 1} ^ {d} b_ {m, n} u_ {m} \ po prawej) w_ {n} = \sum _{n=1}^{e}\sum _{m=1}^{d}b_{m,n}(u_{m}w_{n}),}$

co pokazuje, że x jest kombinacją liniową u _m w _n ze współczynnikami z K ; innymi słowy rozciągają się na M nad K .

Po drugie musimy sprawdzić, czy są one liniowo niezależne od K . Więc załóż, że

${\ Displaystyle 0 = \ suma _ {n = 1} ^ {e} \ suma _ {m = 1} ^ {d} b_ {m, n} (u_ {m} w_ {n})}$

dla niektórych współczynników b _{m , n} w K . Używając ponownie rozdzielności i asocjatywności, możemy pogrupować terminy jako

${\ Displaystyle 0 = \ suma _ {n = 1} ^ {e} \ lewo (\ suma _ {m = 1} ^ {d} b_ {m, n} u_ {m} \ prawej) w_ {n}, }$

i widzimy, że wyrazy w nawiasach muszą wynosić zero, ponieważ są one elementami L , a w _n są liniowo niezależne od L . To jest,

${\ Displaystyle 0 = \ suma _ {m = 1} ^ {d} b_ {m, n} u_ {m}}$

dla każdego n . Następnie, ponieważ współczynniki b _{m , n} są w K , a u _m są liniowo niezależne od K , musimy mieć b _{m , n} = 0 dla wszystkich m i wszystkich n . To pokazuje, że elementy u _m w _n są liniowo niezależne od K . Na tym kończy się dowód.

Dowód formuły w przypadku nieskończonym

W tym przypadku zaczynamy od podstaw u _α i w _β odpowiednio L / K i M / L , gdzie α jest pobierane z zestawu indeksowania A , a β z zestawu indeksowania B . Używając całkowicie podobnego argumentu jak powyższy, stwierdzamy, że iloczyny u _α w _β tworzą bazę dla M / K . Są one indeksowane przez iloczyn kartezjański A × B , który z definicji ma moc równą iloczynowi mocy A i B .

Przykłady

• Te liczby zespolone są rozszerzenie ciała w ciągu liczb rzeczywistych ze stopniem [ C : R ] = 2, a tym samym nie ma nietrywialne pola między nimi.
• Rozszerzenie pola Q ( √ 2 , √ 3 ), otrzymane przez dołączenie √ 2 i √ 3 do ciała Q liczb wymiernych , ma stopień 4, czyli [ Q ( √ 2 , √ 3 ): Q ] = 4. pośredni zakres P ( √ 2 ) posiada stopnia 2 przez Q ; ze wzoru na multiplikatywność wnioskujemy, że [ Q ( √ 2 , √ 3 ): Q ( √ 2 )] = 4/2 = 2.
• Pole skończone ( pole Galois) GF (125) = GF (5 ³ ) ma stopień 3 nad swoim podpolem GF (5). Mówiąc ogólnie, jeśli P jest liczbą pierwszą, a n , m są dodatnimi liczbami całkowitymi o n dzielącego m , a następnie [ GF ( P ^m ) GF ( p ⁿ )] = m / n .
• Rozszerzenie pola C ( T )/ C , gdzie C ( T ) jest ciałem funkcji wymiernych nad C , ma nieskończony stopień (w rzeczywistości jest to rozszerzenie czysto transcendentalne ). Można to zobaczyć, obserwując, że elementy 1, T , T ² itd. są liniowo niezależne od C .
• Rozszerzenie pole C ( T ² ) posiada nieskończoną stopień nad C . Jednakże, jeśli postrzegamy C ( T ² ) jako podciało C ( T ), to w rzeczywistości [ C ( T ): C ( T ² )] = 2. Bardziej ogólnie, jeśli X i Y są krzywymi algebraicznymi nad ciałem K , a F  : X → Y jest surjektywnym morfizmem między nimi stopnia d , wtedy pola funkcyjne K ( X ) i K ( Y ) mają oba nieskończonego stopnia nad K , ale stopień [ K ( X ): K ( Y )] okazuje się być równy d .

Uogólnienie

Mając dwa pierścienie podziału E i F z F zawartym w E oraz mnożenie i dodawanie F będące ograniczeniem operacji w E , możemy rozważyć E jako przestrzeń wektorową nad F na dwa sposoby: mając skalary działające po lewej stronie, podając wymiar [ E : F ] _l , i działając w prawo , podając wymiar [ E : F ] _r . Te dwa wymiary nie muszą się zgadzać. Oba wymiary spełniają jednak wzór mnożenia dla wież pierścieni podziałowych; powyższy dowód dotyczy skalarów działających lewostronnie bez zmian.

Bibliografia

• strona 215, Jacobson, N. (1985). Algebra podstawowa I . WH Freeman i Spółka. Numer ISBN 0-7167-1480-9. Dowód wzoru na multiplikatywność.
• strona 465, Jacobson, N. (1989). Algebra podstawowa II . WH Freeman i Spółka. Numer ISBN 0-7167-1933-9. Pokrótce omawia przypadek nieskończenie wymiarowy.