Funkcja korelacji - Correlation function

Wizualne porównanie splotu , korelacji krzyżowej i autokorelacji .

Funkcja korelacji to funkcja, która podaje statystyczną korelację między zmiennymi losowymi , w zależności od odległości przestrzennej lub czasowej między tymi zmiennymi. Jeśli weźmie się pod uwagę funkcję korelacji między zmiennymi losowymi reprezentującymi tę samą wielkość mierzoną w dwóch różnych punktach, to często określa się ją jako funkcję autokorelacji , która składa się z autokorelacji . Funkcje korelacji różnych zmiennych losowych są czasami nazywane funkcjami korelacji krzyżowej, aby podkreślić, że brane są pod uwagę różne zmienne i ponieważ składają się one z korelacji krzyżowych .

Funkcje korelacji są użytecznym wskaźnikiem zależności jako funkcji odległości w czasie lub przestrzeni i mogą być używane do oceny wymaganej odległości między punktami próbkowania, aby wartości były skutecznie nieskorelowane. Ponadto mogą stanowić podstawę reguł interpolacji wartości w punktach, dla których nie ma obserwacji.

Funkcje korelacyjne stosowane w astronomii , analizie finansowej , ekonometrii i mechanice statystycznej różnią się jedynie określonymi procesami stochastycznymi, do których są stosowane. W kwantowej teorii pola istnieją funkcje korelacji na rozkładach kwantowych .

Definicja

Dla możliwie różnych zmiennych losowych X ( y ) i Y ( t ) w różnych punktach s i t jakiejś powierzchni, funkcja korelacji

${\ Displaystyle C (s, t) = \ operatorname {corr} (X (s), Y (t)),}$

gdzie jest opisane w artykule na temat korelacji . W tej definicji przyjęto, że zmienne stochastyczne mają wartość skalarną. Jeśli tak nie jest, można zdefiniować bardziej skomplikowane funkcje korelacji. Na przykład, jeśli X ( s ) jest wektorem losowym o n elementach, a Y (t) jest wektorem o q elementach, to macierz funkcji korelacji n × q jest definiowana za pomocą elementu ${\ displaystyle \ operatorname {corr}}$${\ displaystyle i, j}$

${\ Displaystyle C_ {ij} (s, t) = \ operatorname {corr} (X_ {i} (s), Y_ {j} (t)).}$

Gdy n = q , czasami skupia się na śladzie tej macierzy. Jeśli rozkłady prawdopodobieństwa mają dowolne symetrie przestrzeni docelowej, tj. Symetrie w przestrzeni wartości zmiennej stochastycznej (zwane również symetriami wewnętrznymi ), to macierz korelacji będzie miała symetrie indukowane. Podobnie, jeśli istnieją symetrie w dziedzinie przestrzeni (lub czasu), w których istnieją zmienne losowe (zwane również symetriami czasoprzestrzennymi ), wówczas funkcja korelacji będzie miała odpowiednie symetrie przestrzenne lub czasowe. Przykładami ważnych symetrii czasoprzestrzeni są -

• symetria translacyjna daje C ( s , s ') = C ( s  -  s '), gdzie s i s 'należy interpretować jako wektory podające współrzędne punktów
• dodatkowo symetria obrotowa daje C ( s , s ') = C (| s  -  s ' |) gdzie | x | oznacza normę wektora x (dla rzeczywistych obrotów jest to norma euklidesowa lub 2-norma).

Często definiowane są funkcje korelacji wyższego rzędu. Typowa funkcja korelacji rzędu n to (nawiasy ostre przedstawiają wartość oczekiwaną )

${\ Displaystyle C_ {i_ {1} i_ {2} \ cdots i_ {n}} (s_ {1}, s_ {2}, \ cdots, s_ {n}) = \ langle X_ {i_ {1}} ( s_ {1}) X_ {i_ {2}} (s_ {2}) \ cdots X_ {i_ {n}} (s_ {n}) \ rangle.}$

Jeśli wektor losowy ma tylko jedną zmienną składową, to indeksy są zbędne. Jeśli istnieją symetrie, to funkcję korelacji można podzielić na nieredukowalne reprezentacje symetrii - zarówno wewnętrznej, jak i czasoprzestrzeni. ${\ displaystyle i, j}$

Własności rozkładów prawdopodobieństwa

Przy tych definicjach badanie funkcji korelacji jest podobne do badania rozkładów prawdopodobieństwa . Wiele procesów stochastycznych można w pełni scharakteryzować za pomocą funkcji korelacji; najbardziej godnym uwagi przykładem jest klasa procesów Gaussa .

Rozkłady prawdopodobieństwa zdefiniowane na skończonej liczbie punktów można zawsze znormalizować, ale gdy są one zdefiniowane w ciągłych odstępach, należy zachować szczególną ostrożność. Badanie takich rozkładów rozpoczęło się od badania spacerów losowych i doprowadziło do pojęcia rachunku Itō .

Całka Feynmana w przestrzeni euklidesowej uogólnia to na inne problemy interesujące mechaniki statystycznej . Każdy rozkład prawdopodobieństwa, który spełnia warunek funkcji korelacji zwany dodatnim odbiciem, prowadzi do lokalnej kwantowej teorii pola po rotacji Wicka do czasoprzestrzeni Minkowskiego (patrz aksjomaty Osterwaldera-Schradera ). Operacja renormalizacji to określony zestaw odwzorowań z przestrzeni rozkładów prawdopodobieństwa do siebie samego. Teoria pola kwantowego nazywa renormalizowalnych jeśli to mapowanie ma stałą temperaturę, która daje teorii pola kwantowego.

Zobacz też

• Autokorelacja
• Korelacja nie oznacza związku przyczynowego
• Korelogram
• Funkcja kowariancji
• Współczynnik korelacji momentów iloczynu Pearsona
• Funkcja korelacji (astronomia)
• Funkcja korelacji (mechanika statystyczna)
• Funkcja korelacji (kwantowa teoria pola)
• Wzajemne informacje
• Teoria zniekształceń stawek
• Funkcja rozkładu promieniowego