Funkcja korelacji (mechanika statystyczna) - Correlation function (statistical mechanics)

Schematyczne równoczasowe funkcje korelacji spinu dla materiałów ferromagnetycznych i antyferromagnetycznych zarówno powyżej, jak i poniżej w funkcji odległości znormalizowanej przez długość korelacji, . We wszystkich przypadkach korelacje są najsilniejsze najbliżej początku, co wskazuje, że spin ma najsilniejszy wpływ na swoich najbliższych sąsiadów. Wszystkie korelacje stopniowo zanikają wraz ze wzrostem odległości od spinu w punkcie początkowym. Powyżej temperatury Curie korelacja między spinami dąży do zera, ponieważ odległość między spinami staje się bardzo duża. W przeciwieństwie do tego, poniżej korelacja między spinami nie zmierza do zera na dużych odległościach, ale zamiast tego zanika do poziomu zgodnego z dalekosiężnym porządkiem systemu. Różnica w tych zachowaniach rozpadu, gdzie korelacje między mikroskopijnymi zmiennymi losowymi stają się zerowe a niezerowe na dużych odległościach, jest jednym ze sposobów definiowania porządku krótko- a dalekiego zasięgu.${\displaystyle T_{\tekst{Curie}}}$${\displaystyle \xi}$${\displaystyle T_{\tekst{Curie}}}$

W mechanice statystycznej The funkcja korelacji jest miarą zlecenia w systemie, ponieważ charakteryzuje się matematycznej funkcji korelacji . Funkcje korelacji opisują, w jaki sposób zmienne mikroskopowe, takie jak spin i gęstość, w różnych pozycjach są powiązane. Dokładniej, funkcje korelacji określają ilościowo, w jaki sposób zmienne mikroskopowe współróżnią się ze sobą średnio w przestrzeni i czasie. Klasycznym przykładem takich korelacji przestrzennych są materiały ferro- i antyferromagnetyczne, gdzie spiny wolą być ustawione odpowiednio równolegle i antyrównolegle z najbliższymi sąsiadami. Zależność przestrzenną między spinami w takich materiałach pokazano na rysunku po prawej stronie.

Definicje

Najbardziej powszechną definicją funkcji korelacji jest kanoniczna średnia (termiczna) iloczynu skalarnego dwóch zmiennych losowych i , w pozycjach i i czasach oraz : ${\displaystyle s_{1}}$${\displaystyle s_{2}}$${\ Displaystyle R}$${\displaystyle R+r}$${\displaystyle t}$${\displaystyle t+\tau}$

${\ Displaystyle C (r, \ tau) = \ langle \ mathbf {s_ {1}} (R, t) \ cdot \ mathbf {s_ {2}} (R + r, t + \ tau) \ rangle \ -\ langle \mathbf {s_{1}} (R,t)\rangle \langle \mathbf {s_{2}} (R+r,t+\tau)\rangle \,.}$

Tutaj nawiasy , , wskazują wyżej wspomnianą średnią termiczną. Jest to kwestia konwencji, czy jeden odejmuje skorelowane średni produkt i , z produktu skorelowane z konwencją różniącej się wśród pól. Najczęstszym zastosowania funkcji korelacji, kiedy i opisać tę samą wielkość, jak funkcja korelacji spin-spin, lub cząstek od pozycji położenia funkcji korelacji w pierwiastkowej ciecz lub ciało stałe (często nazywana promieniowe dystrybuanta lub korelacji para funkcjonować). Funkcje korelacji między tą samą zmienną losową są funkcjami autokorelacji . Jednak w mechanice statystycznej nie wszystkie funkcje korelacji są funkcjami autokorelacji. Na przykład w wieloskładnikowych fazach skondensowanych często interesująca jest funkcja korelacji par między różnymi elementami. Takie funkcje korelacji par mieszanych elementów są przykładem funkcji korelacji krzyżowej , jako zmienne losowe i reprezentują średnie zmiany gęstości jako położenie funkcji dla dwóch różnych elementów. ${\ Displaystyle \ langle ... \ rangle }$${\displaystyle s_{1}}$${\displaystyle s_{2}}$${\ Displaystyle \ langle \ mathbf {s_ {1}} (R, t) \ rangle \ langle \ mathbf {s_ {2}} (R + r, t + \ tau) \ rangle}$${\ Displaystyle \ langle \ mathbf {s_ {1}} (R, t) \ cdot \ mathbf {s_ {2}} (R + r, t + \ tau) \ rangle}$${\displaystyle s_{1}}$${\displaystyle s_{2}}$${\displaystyle s_{1}}$${\displaystyle s_{2}}$

Równowaga równoczasowa (przestrzenna) funkcje korelacji

Często interesuje nas wyłącznie przestrzenny wpływ danej zmiennej losowej, powiedzmy kierunku wirowania, na jej lokalne otoczenie, bez uwzględniania późniejszych czasów, . W tym przypadku zaniedbujemy ewolucję systemu w czasie, więc powyższa definicja jest przepisana z . Definiuje funkcję korelacji w równym czasie , . Jest napisany jako: ${\ Displaystyle \ tau}$${\ Displaystyle \ tau = 0}$${\displaystyle C(r,0)}$

${\ Displaystyle C (r, 0) = \ langle \ mathbf {s_ {1}} (R, t) \ cdot \ mathbf {s_ {2}} (R + r, t) \ rangle \ - \ langle \ mathbf {s_{1}} (R,t)\rangle \langle \mathbf {s_{2}} (R+r,t)\rangle \,.}$

Często pomija się czas odniesienia , i promień odniesienia , zakładając równowagę (a tym samym niezmienność czasową zespołu) i uśredniając wszystkie pozycje próbki, otrzymując: ${\displaystyle t}$${\ Displaystyle R}$

${\ Displaystyle C (R) = \ langle \ mathbf {s_ {1}} (0) \ cdot \ mathbf {s_ {2}} (r) \ rangle \ - \ langle \ mathbf {s_ {1}} (0 )\rangle \langle \mathbf {s_{2}} (r)\rangle \,.}$

gdzie znowu wybór, czy odjąć nieskorelowane zmienne, różni się między polami. Funkcja rozkładu promieniowego jest przykładem funkcji korelacji w równym czasie, w której nieskorelowane odniesienie na ogół nie jest odejmowane. Na tej stronie przedstawiono inne funkcje korelacji spin-spin w równym czasie dla różnych materiałów i warunków.

Równowaga równopozycyjna (czasowa) funkcje korelacji

Można również zainteresować się ewolucją czasową zmiennych mikroskopowych. Innymi słowy, w jaki sposób wartość zmiennej mikroskopowej w danej pozycji i czasie oraz , wpływa na wartość tej samej zmiennej mikroskopowej w późniejszym czasie (i zwykle w tej samej pozycji). Takie korelacje czasowe są określane ilościowo za pomocą funkcji korelacji równych pozycji , . Są one zdefiniowane analogicznie do powyższych funkcji korelacji w równym czasie, ale teraz pomijamy zależności przestrzenne, ustawiając , otrzymując: ${\ Displaystyle R}$${\displaystyle t}$${\displaystyle t+\tau}$${\displaystyle C(0,\tau)}$${\displaystyle r=0}$

${\ Displaystyle C (0, \ tau) = \ langle \ mathbf {s_ {1}} (R, t) \ cdot \ mathbf {s_ {2}} (R, t + \ tau) \ rangle \ - \ langle \ mathbf {s_{1}} (R,t)\rangle \langle \mathbf {s_{2}} (R,t+\tau)\rangle \,.}$

Zakładając równowagę (a tym samym niezmienność czasową zespołu) i uśredniając po wszystkich miejscach w próbie daje prostsze wyrażenie dla funkcji korelacji w równym położeniu niż dla funkcji korelacji w równym czasie:

${\ Displaystyle C (\ tau) = \ langle \ mathbf {s_ {1}} (0) \ cdot \ mathbf {s_ {2}} (\ tau) \ rangle \ - \ langle \ mathbf {s_ {1}} (0)\rangle \langle \mathbf {s_{2}} (\tau )\rangle \,.}$

Powyższe założenie może na pierwszy rzut oka wydawać się nieintuicyjne: w jaki sposób zespół, który jest niezmienny w czasie, może mieć niejednolitą funkcję korelacji czasowej? Korelacje czasowe pozostają istotne do omówienia w układach równowagi, ponieważ niezmienny w czasie, makroskopowy zespół nadal może mieć mikroskopijną nietrywialną dynamikę czasową . Jednym z przykładów jest dyfuzja. Układ jednofazowy w równowadze ma jednorodny skład makroskopowo. Jeśli jednak przyjrzymy się mikroskopijnemu ruchowi każdego atomu, ciągle pojawiają się fluktuacje w składzie z powodu quasi-losowych wędrówek poszczególnych atomów. Mechanika statystyczna pozwala na wysuwanie wnikliwych stwierdzeń na temat zachowania się w czasie takich fluktuacji układów równowagi. Zostało to omówione poniżej w części poświęconej czasowej ewolucji funkcji korelacji i hipotezie regresji Onsagera .

Uogólnienie poza równowagowymi funkcjami korelacji

Wszystkie powyższe funkcje korelacji zostały zdefiniowane w kontekście statystycznej mechaniki równowagi. Możliwe jest jednak zdefiniowanie funkcji korelacji dla układów oddalonych od równowagi. Analizując ogólną definicję , jasne jest, że można zdefiniować zmienne losowe używane w tych funkcjach korelacji, takie jak pozycje atomów i spiny, z dala od równowagi. W związku z tym ich iloczyn skalarny jest dobrze zdefiniowany z dala od równowagi. Operacja, która nie jest już dobrze zdefiniowana z dala od równowagi, jest średnią w zespole równowagi. Ten proces uśredniania dla układu nierównowagowego jest zwykle zastępowany uśrednianiem iloczynu skalarnego w całej próbce. Jest to typowe w eksperymentach rozpraszania i symulacjach komputerowych i jest często wykorzystywane do pomiaru funkcji rozkładu promieniowego szkieł. ${\displaystyle C(r,\tau)}$

Można również zdefiniować średnie ze stanów dla układów lekko zaburzonych z równowagi. Zobacz na przykład http://xbeams.chem.yale.edu/~batista/vaa/node56.html

Pomiar funkcji korelacji

Funkcje korelacji są zazwyczaj mierzone za pomocą eksperymentów rozpraszania. Na przykład eksperymenty z rozpraszaniem promieniowania rentgenowskiego bezpośrednio mierzą równoczasowe korelacje elektron-elektron. Znając czynniki struktury pierwiastkowej, można również zmierzyć funkcje korelacji pierwiastkowej pary. Więcej informacji można znaleźć w rozdziale Funkcja rozkładu promieniowego . Funkcje korelacji spin-spin w równym czasie są mierzone za pomocą rozpraszania neutronów, w przeciwieństwie do rozpraszania promieniowania rentgenowskiego. Rozpraszanie neutronów może również dostarczyć informacji na temat korelacji par. W przypadku systemów składających się z cząstek większych niż około jeden mikrometr, mikroskopia optyczna może być stosowana do pomiaru funkcji korelacji zarówno w równym czasie, jak i w równej pozycji. Mikroskopia optyczna jest zatem powszechna dla zawiesin koloidalnych, zwłaszcza w dwóch wymiarach.

Ewolucja w czasie funkcji korelacji

W 1931 Lars Onsager zaproponował, że regresja mikroskopijnych fluktuacji termicznych w stanie równowagi jest zgodna z makroskopowym prawem relaksacji małych zaburzeń nierównowagowych. Jest to znane jako hipoteza regresji Onsagera . Ponieważ wartości zmiennych mikroskopowych rozdzielonych dużymi skalami czasowymi, powinny być nieskorelowane poza to, czego oczekiwalibyśmy od równowagi termodynamicznej, ewolucję funkcji korelacji w czasie można postrzegać z fizycznego punktu widzenia, gdy system stopniowo „zapomina” o ustalonych warunkach początkowych. na nim poprzez specyfikację jakiejś mikroskopijnej zmiennej. W rzeczywistości istnieje intuicyjny związek między ewolucją w czasie funkcji korelacji a ewolucją w czasie układów makroskopowych: średnio funkcja korelacji ewoluuje w czasie w taki sam sposób, jak gdyby układ został przygotowany w warunkach określonych przez wartość początkową funkcji korelacji i ewoluować. ${\ Displaystyle \ tau}$

Fluktuacje równowagi układu można powiązać z jego reakcją na zakłócenia zewnętrzne poprzez twierdzenie o rozproszeniu fluktuacji .

Związek między przejściami fazowymi a funkcjami korelacji

Równoczasowe funkcje korelacji , jako funkcja promienia dla ferromagnetycznego układu spinowego powyżej, w i poniżej w jego krytycznej temperaturze, . Powyżej , wykazuje połączoną wykładniczą i potęgową zależność od odległości: . Zależność potęgowa dominuje na odległościach krótkich w stosunku do długości korelacji , natomiast zależność wykładnicza dominuje na odległościach dużych względem długości korelacji . W , długość korelacji jest rozbieżna, , co skutkuje wyłącznie zachowaniem prawa potęgowego: . wyróżnia się ekstremalną nielokalnością korelacji przestrzennych pomiędzy mikroskopowymi wartościami odpowiedniego parametru porządku bez uporządkowania dalekiego zasięgu. Poniżej spiny wykazują spontaniczne uporządkowanie, tj. uporządkowanie dalekiego zasięgu i nieskończoną długość korelacji. Ciągłe przejścia porządek-nieporządek można rozumieć jako proces długości korelacji , przechodzący od bycia nieskończonym w stanie uporządkowanym w niskiej temperaturze do nieskończonego w punkcie krytycznym, a następnie skończonego w stanie nieuporządkowanym w wysokiej temperaturze.${\ Displaystyle C (r \ tau = 0)}$${\displaystyle T_{C}}$${\displaystyle T_{C}}$${\ Displaystyle C (r \ tau = 0)}$${\ Displaystyle C (r \ tau = 0 \ propto r ^ {-\ vartheta} e ^ {-r / \ xi (T)}}$${\displaystyle \xi}$${\displaystyle \xi}$${\displaystyle T_{C}}$${\ Displaystyle \ XI (T_ {C}) = \ Infty}$${\ Displaystyle C (r \ tau = 0 \ propto r ^ {- (d-2 + \ eta )}}$${\displaystyle T_{C}}$${\displaystyle T_{C}}$${\displaystyle \xi}$

Ciągłe przejścia fazowe, takie jak przejścia porządek-nieporządek w stopach metali i przejścia ferromagnetyczno-paramagnetyczne, obejmują przejście od stanu uporządkowanego do nieuporządkowanego. Jeśli chodzi o funkcje korelacji, funkcja korelacji w równym czasie jest niezerowa dla wszystkich punktów sieci poniżej temperatury krytycznej i jest nie do pominięcia tylko dla dość małego promienia powyżej temperatury krytycznej. Ponieważ przemiana fazowa jest ciągła, długość, na której skorelowane są zmienne mikroskopowe , musi zmieniać się w sposób ciągły od nieskończoności do skończonej, gdy materiał jest ogrzewany do temperatury krytycznej. Prowadzi to do potęgowej zależności funkcji korelacji jako funkcji odległości w punkcie krytycznym. Pokazano to na rysunku po lewej stronie w przypadku materiału ferromagnetycznego, ze szczegółami ilościowymi wymienionymi w sekcji dotyczącej magnetyzmu. ${\displaystyle \xi}$

Aplikacje

Magnetyzm

W układzie spinowym funkcja korelacji w równym czasie jest szczególnie dobrze zbadana. Opisuje kanoniczną średnią (termiczną) iloczynu skalarnego spinów w dwóch punktach sieci we wszystkich możliwych uporządkowaniach: Tutaj nawiasy oznaczają wspomnianą powyżej średnią termiczną. Schematyczne wykresy tej funkcji są pokazane dla materiału ferromagnetycznego poniżej, w i powyżej jego temperatury Curie po lewej stronie. ${\ Displaystyle C (R) = \ langle \ mathbf {s} (R) \ cdot \ mathbf {s} (R + R) \ rangle \ - \ langle \ mathbf {s} (R) \ rangle \ langle \ mathbf {s} (R+r)\rangle \,.}$

Nawet w fazie magnetycznie nieuporządkowanej spiny w różnych pozycjach są skorelowane, tj. jeśli odległość r jest bardzo mała (w porównaniu do pewnej skali długości ), oddziaływanie między spinami spowoduje ich korelację. Wyrównanie, które naturalnie powstałoby w wyniku interakcji między spinami, jest niszczone przez efekty termiczne. W wysokich temperaturach obserwuje się wykładniczo zanikające korelacje wraz ze wzrostem odległości, przy czym funkcję korelacji podaje się asymptotycznie ${\displaystyle \xi}$

${\ Displaystyle C (r) \ około {\ Frac {1} {r ^ {\ vartheta }}} \ exp {\ po lewej (- {\ Frac {R} {\ X }} \ po prawej)} \ ,,}$

gdzie r jest odległością między spinami, a d jest wymiarem układu i jest wykładnikiem, którego wartość zależy od tego, czy układ jest w fazie nieuporządkowanej (tj. powyżej punktu krytycznego), czy w fazie uporządkowanej (tj. poniżej punkt krytyczny). W wysokich temperaturach korelacja spada do zera wykładniczo wraz z odległością między spinami. Ten sam zanik wykładniczy w funkcji odległości promieniowej jest również obserwowany poniżej , ale przy dużych odległościach granicę stanowi średnie namagnesowanie . Dokładnie w punkcie krytycznym widoczne jest zachowanie algebraiczne ${\displaystyle \vartheta}$${\displaystyle T_{c}}$${\ Displaystyle \ langle M ^ {2} \ rangle }$

${\ Displaystyle C (r) \ około {\ Frac {1} {r ^ {(d-2 + \ eta)}}} \ ,,}$

gdzie jest wykładnikiem krytycznym , który nie ma żadnego prostego związku z wykładnikiem niekrytycznym wprowadzonym powyżej. Na przykład dokładne rozwiązanie dwuwymiarowego modelu Isinga (z krótkozasięgowymi oddziaływaniami ferromagnetycznymi) daje dokładnie w krytyczności , ale powyżej krytyczności i poniżej krytyczności . ${\displaystyle \eta}$${\displaystyle \vartheta}$${\ Displaystyle \eta = {\ Frac {1}{4}}}$${\ Displaystyle \ vartheta = {\ Frac {1} {2}}}$${\ Displaystyle \ vartheta = 2}$

Gdy temperatura jest obniżana, zaburzenia termiczne są obniżane, a w ciągłym przejściu fazowym długość korelacji jest rozbieżna, ponieważ długość korelacji musi przechodzić w sposób ciągły od skończonej wartości powyżej przejścia fazowego do nieskończoności poniżej przejścia fazowego:

${\ Displaystyle \ xi \ propto | T-T_ {c} | ^ {- \ nu} \ ,,}$

z innym krytycznym wykładnikiem . ${\displaystyle \nu}$

Ta korelacja prawa potęgowego jest odpowiedzialna za skalowanie widoczne w tych przejściach. Wszystkie wymienione wykładniki są niezależne od temperatury. W rzeczywistości są one uniwersalne , tzn. są takie same w wielu różnych systemach.

Funkcje rozkładu promieniowego

Jedną z powszechnych funkcji korelacji jest funkcja rozkładu promieniowego, często spotykana w mechanice statystycznej i mechanice płynów . Funkcję korelacji można obliczyć w dokładnie rozwiązywalnych modelach (jednowymiarowy gaz Bosego, łańcuchy spinowe, model Hubbarda) za pomocą metody Quantum odwróconego rozpraszania i ansatz Bethe . W izotropowym modelu XY korelacje czasu i temperatury zostały ocenione przez Its, Korepin, Izergin i Slavnov.

Funkcje korelacji wyższego rzędu

Funkcje korelacji wyższego rzędu obejmują wiele punktów odniesienia i są definiowane przez uogólnienie powyższej funkcji korelacji poprzez przyjęcie oczekiwanej wartości iloczynu więcej niż dwóch zmiennych losowych:

${\ Displaystyle C_ {i_ {1}i_ {2} \ cdots i_ {n}} (s_ {1}, s_ {2}, \ cdots, s_ {n}) = \ langle X_ {i_ {1}} ( s_{1})X_{i_{2}}(s_{2})\cdots X_{i_{n}}(s_{n})\rangle .}$

Jednak takie funkcje korelacji wyższego rzędu są stosunkowo trudne do interpretacji i pomiaru. Na przykład, aby zmierzyć analogi wyższego rzędu funkcji rozkładu par, potrzebne są spójne źródła promieniowania rentgenowskiego. Zarówno teoria takiej analizy, jak i eksperymentalny pomiar potrzebnych funkcji korelacji krzyżowej promieniowania rentgenowskiego są obszarami aktywnych badań.

Bibliografia

Dalsza lektura

• Sethna, James P. (2006). „Rozdział 10: Korelacje, odpowiedź i rozpraszanie”. Mechanika statystyczna: entropia, parametry porządku i złożoność . Oxford University Press. Numer ISBN 978-0198566779.
• Funkcja rozkładu promieniowego
• Yeomans, JM (1992). Mechanika statystyczna przejść fazowych . Oksfordzkie publikacje naukowe. Numer ISBN 978-0-19-851730-6.
• Fisher, ME (1974). „Grupa renormalizacji w teorii krytycznego zachowania”. Recenzje fizyki współczesnej . 46 (4): 597–616. Kod bib : 1974RvMP...4..597F . doi : 10.1103/RevModPhys.46.597 .
• C. Domb , MS Green , redaktorzy JL Lebowitz , Przejścia fazowe i zjawiska krytyczne , tom. 1-20 (1972-2001), Prasa akademicka.