Funkcja wklęsła - Concave function

W matematyce , o wklęsłych funkcja jest ujemna z funkcją wypukłą . Funkcja wklęsła jest również synonimicznie nazywana wklęsłą w ​​dół , wklęsłą w ​​dół , wypukłą do góry , wypukłą nasadką lub górną wypukłą .

Definicja

Wartościach rzeczywistych funkcji na przedziału (lub, bardziej ogólnie, zestaw wypukły w przestrzeni wektorowej ) mówi się, że wklęsły , jeśli dla każdego i w odstępach i każdy , ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle \ alpha \ in [0,1]}$

${\ Displaystyle f ((1- \ alfa) x + \ alfa y) \ geq (1- \ alfa) f (x) + \ alfa f (y)}$

Funkcja jest nazywana ściśle wklęsłą, jeśli

${\ Displaystyle f ((1- \ alfa) x + \ alfa r)> (1- \ alfa) f (x) + \ alfa f (r) \,}$

dla dowolnego i . ${\ Displaystyle \ alpha \ in (0,1)}$${\ Displaystyle x \ neq y}$

W przypadku funkcji ta druga definicja stwierdza jedynie, że dla każdego ściśle pomiędzy a punkt na wykresie znajduje się powyżej linii prostej łączącej punkty i . ${\ displaystyle f: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}}$${\ displaystyle z}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ Displaystyle (z, f (z))}$${\ displaystyle f}$${\ Displaystyle (x, f (x))}$${\ Displaystyle (r, f (r))}$

Funkcja jest quasi-wklęsła, jeśli górne zbiory konturów funkcji są zbiorami wypukłymi. ${\ displaystyle f}$${\ Displaystyle S (a) = \ {x: f (x) \ geq a \}}$

Nieruchomości

Funkcje pojedynczej zmiennej

1. Różniczkowalna funkcja f jest (ściśle) wklęsła na przedziale wtedy i tylko wtedy, gdy jej funkcja pochodna f ′ jest (ściśle) monotonicznie malejąca na tym przedziale, to znaczy funkcja wklęsła ma nie wzrastające (malejące) nachylenie .

2. Punkty, w których zmiany wklęsłości (między wklęsłością a wypukłością ) są punktami przegięcia .

3. Jeśli f jest podwójnie różniczkowalne , to f jest wklęsłe wtedy i tylko wtedy, gdy f ′ ′ jest niedodatnia (lub, nieformalnie, jeśli „ przyspieszenie ” nie jest dodatnie). Jeśli jego druga pochodna jest ujemna, to jest ściśle wklęsła, ale odwrotność nie jest prawdą, o czym świadczy f ( x ) = - x ⁴ .

4. Jeśli f jest wklęsłe i różniczkowalne, to jest ograniczone powyżej przybliżeniem Taylora pierwszego rzędu :

${\ Displaystyle f (r) \ równoważnik f (x) + f '(x) [yx]}$

5. Mierzalna funkcja Lebesgue'a na przedziale C jest wklęsła wtedy i tylko wtedy, gdy jest wklęsła w punkcie środkowym, to znaczy dla dowolnego x i y w C

${\ Displaystyle f \ lewo ({\ Frac {x + y} {2}} \ prawej) \ geq {\ Frac {f (x) + f (y)} {2}}}$

6. Jeśli funkcja f jest wklęsła, if (0) ≥ 0 , to f jest subaddytywna na . Dowód: ${\ displaystyle [0, \ infty)}$

• Ponieważ f jest wklęsłe i 1 ≥ t ≥ 0 , pozwalając y = 0 mamy ${\ Displaystyle f (tx) = f (tx + (1-t) \ cdot 0) \ geq tf (x) + (1-t) f (0) \ geq tf (x).}$
• Dla : ${\ Displaystyle a, b \ w [0, \ infty)}$

${\ Displaystyle f (a) + f (b) = fa \ lewo ((a + b) {\ Frac {a} {a + b}} \ prawo) + f \ lewo ((a + b) {\ Frac {b} {a + b}} \ right) \ geq {\ frac {a} {a + b}} f (a + b) + {\ frac {b} {a + b}} f (a + b ) = f (a + b)}$

Funkcje n zmiennych

1. Funkcja f jest wklęsła na zbiorze wypukłym wtedy i tylko wtedy, gdy funkcja -f jest funkcją wypukłą na zbiorze.

2. Suma dwóch funkcji wklęsłych jest sama w sobie wklęsła, podobnie jak punktowe minimum dwóch funkcji wklęsłych, tj. Zbiór funkcji wklęsłych w danej dziedzinie tworzy półpole .

3. W pobliżu lokalnego maksimum we wnętrzu dziedziny funkcji funkcja musi być wklęsła; odwrotnie, jeśli pochodna ściśle wklęsłej funkcji w pewnym momencie wynosi zero, to ten punkt jest lokalnym maksimum.

4. Każde lokalne maksimum funkcji wklęsłej jest również maksimum globalnym . Funkcja ściśle wklęsła będzie miała co najwyżej jedno globalne maksimum.

Przykłady

• Funkcje i są wklęsłe na swoich domenach, jako ich druga pochodna i są zawsze ujemne. ${\ Displaystyle f (x) = - x ^ {2}}$${\ displaystyle g (x) = {\ sqrt {x}}}$${\ Displaystyle f '' (x) = - 2}$${\ textstyle g '' (x) = - {\ frac {1} {4x ^ {3/2}}}}$
• Logarytm funkcji jest wklęsła na swojej domenie , a jej pochodna jest funkcją absolutnie maleje. ${\ displaystyle f (x) = \ log {x}}$${\ displaystyle (0 \ infty)}$${\ displaystyle {\ frac {1} {x}}}$
• Każda funkcja afiniczna jest zarówno wklęsła, jak i wypukła, ale ani ściśle wklęsła, ani ściśle wypukła. ${\ displaystyle f (x) = topór + b}$
• Funkcja sinus jest wklęsła w przedziale . ${\ displaystyle [0, \ pi]}$
• Funkcja , gdzie jest czynnikiem decydującym o nieujemnej-określony macierzy B jest wklęsła. ${\ Displaystyle f (B) = \ log | B |}$${\ displaystyle | B |}$

Aplikacje

• Promienie załamujące się w obliczeniach tłumienia fal radiowych w atmosferze obejmują funkcje wklęsłe.
• W oczekiwanej użyteczności teorii do wyboru w warunkach niepewności , użytkowych kardynał funkcje awersją do ryzyka decydentów są wklęsłe.
• W teorii mikroekonomicznej , funkcje produkcyjne są zazwyczaj zakłada się wklęsła w niektórych lub wszystkich swoich domen, w wyniku malejących przychodów czynników wejściowych.

Zobacz też

• Wielokąt wklęsły
• Nierówność Jensena
• Funkcja logarytmicznie wklęsła
• Funkcja Quasiconcave
• Wklęsłe

Bibliografia

Dalsze odniesienia

• Crouzeix, J.-P. (2008). „Quasi-wklęsłość” . W Durlauf, Steven N .; Blume, Lawrence E (red.). The New Palgrave Dictionary of Economics (wyd. Drugie). Palgrave Macmillan. pp. 815–816. doi : 10.1057 / 9780230226203.1375 . ISBN   978-0-333-78676-5 .
• Rao, Singiresu S. (2009). Optymalizacja inżynierska: teoria i praktyka . John Wiley and Sons. p. 779. ISBN   978-0-470-18352-6 .