Boerdijk – Coxeter helix - Boerdijk–Coxeter helix

Helisy Coxeter z regularnych czworościanów

Toczenie w lewo i w prawo
Krawędzie można pokolorować na 6 grup, 3 główne helisy (cyjan), z wklęsłymi krawędziami tworzącymi powolne helisy do przodu (magenta) i dwie helisy do tyłu (żółta i pomarańczowa)

Pakowanie helikalnych kulek Boerdijk ma każdą sferę wyśrodkowaną w wierzchołku helisy Coxetera. Każda kula styka się z 6 sąsiednimi kulami.

Boerdijk-Coxeter helisy , nazwany HSM Coxeter'a i AH Boerdijk jest liniowy układania regularnych czworościanów , ułożone tak, aby krawędzie kompleks należące tylko do jednej postaci czworościanu trzy splecione helisy . Istnieją dwie formy chiralne , z uzwojeniami zgodnymi lub przeciwnymi do ruchu wskazówek zegara. W przeciwieństwie do innych ułożeń platońskich ciał stałych , helisa Boerdijka-Coxetera nie jest powtarzalna rotacyjnie w przestrzeni trójwymiarowej. Nawet w nieskończonym szeregu ułożonych w stos czworościanów żadne dwa czworościany nie będą miały takiej samej orientacji, ponieważ spiralny skok na komórkę nie jest racjonalnym ułamkiem koła. Jednak znaleziono zmodyfikowane formy tej helisy, które są powtarzalne rotacyjnie, aw 4-wymiarowej przestrzeni ta helisa powtarza się w pierścieniach dokładnie 30 czworościennych komórek, które tworzą mozaikę 3-kulistej powierzchni komórki 600 , jednej z sześciu regularnych wypukłych polichora .

Buckminster Fuller nazwał je tetraheliksem i uznał je za regularne i nieregularne elementy czworościenne.

Geometria

Współrzędne wierzchołków helisy Boerdijka-Coxetera złożonej z czworościanów o jednostkowej długości krawędzi można zapisać w postaci

{\ Displaystyle (r \ cos n \ theta, r \ sin n \ theta, nh)}

w której , , i jest dowolną liczbą całkowitą. Dwie różne wartości odpowiadają dwóm formom chiralnym. Wszystkie wierzchołki znajdują się na walcu o promieniu wzdłuż osi z. Biorąc pod uwagę przemianę czworościanów, daje to pozorny skręt co dwa czworościany. Jest inny wpisany cylinder z promieniem wewnątrz helisy. ${\ displaystyle r = 3 {\ sqrt {3}} / 10}$ ${\ Displaystyle \ theta = \ pm \ cos ^ {- 1} (- 2/3) \ około 131,81 ^ {\ Circ}}$ ${\ displaystyle h = 1 / {\ sqrt {10}}}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle \ theta}$ ${\ displaystyle r}$ ${\ Displaystyle 2 \ theta - {\ Frac {4} {3}} \ pi \ około 23,62 ^ {\ Circ}}$ ${\ displaystyle 3 {\ sqrt {2}} / 20}$

Architektura

Art Wieża Mito jest oparty na spirali Boerdijk-Coxeter.

Geometria o wyższych wymiarach

30 czworościenny pierścień z projekcji 600-komórkowej

Do 600 komórek przegrody na 20 pierścieni 30 czworościanów , każdy z A spirali Boerdijk-Coxeter . Nałożona na krzywiznę 3 sfer staje się okresowa, z okresem dziesięciu wierzchołków, obejmującym wszystkie 30 komórek. Zbiorowość takich helis w komórce 600 reprezentuje dyskretną fibrację Hopfa . Podczas gdy w 3 wymiarach krawędzie są helisami, w narzuconej topologii 3 sfer są one geodezyjne i nie mają skręcenia . W naturalny sposób wirują wokół siebie z powodu fibracji Hopfa. Zespół krawędzi tworzy kolejną dyskretną fibrację Hopfa składającą się z 12 pierścieni po 10 wierzchołków każdy. Odpowiadają one pierścieniom o 10 dwunastościanach w podwójnej 120-komórkowej komórce.

Ponadto 16 komórek dzieli się na dwa 8-czworościanowe pierścienie o długości czterech krawędzi, a 5-komorowe w pojedynczy zdegenerowany 5-czworościanowy pierścień.

4-polytope	Pierścienie	Czworościany / pierścień	Długości cykli
600 ogniw	20	30	30, 10 ³ , 15 ²
16 ogniw	2	8	8, 8, 4 ²
5-komorowa	1	5	(5, 5), 5

Powiązane helisy wielościenne

Równoboczne kwadratowe piramidy można również łączyć ze sobą jako helisę, z dwoma konfiguracjami wierzchołków , 3.4.3.4 i 3.3.4.3.3.4. Ta helisa istnieje jako skończony pierścień 30 piramid w 4-wymiarowym politopie .

Równoboczne pięciokątne piramidy można łączyć łańcuchami z 3 konfiguracjami wierzchołków, 3.3.5, 3.5.3.5 i 3.3.3.5.3.3.5:

Zobacz też

Uwagi

Bibliografia

Coxeter, HSM (1974). Regularne złożone polytopy . Cambridge University Press. ISBN 052120125X .
Boerdijk, AH (1952). „Kilka uwag dotyczących ścisłego upakowania równych kul”. Philips Res. Rep . 7 : 303–313.
Fuller, R Buckminster (1975). Applewhite, EJ (red.). Synergetyka . Macmillan.
Pugh, Anthony (1976). „5. Łączenie wielościanów §5.36 Tetrahelix”. Wielościany: podejście wizualne . University of California Press. p. 53. ISBN 978-0-520-03056-5 .
Sadler, Garrett; Fang, Fang; Kovacs Julio; Klee, Irwin (2013). „Okresowa modyfikacja helisy Boerdijka-Coxetera (tetrahelix)”. arXiv : 1302.1174v1 [ math.MG ].
Panie, EA; Ranganathan, S. (2004). „Struktura mosiądzu γ i helisa Boerdijka – Coxetera” (PDF) . Journal of Non-Crystalline Solids . 334–335: 123–5. Bibcode : 2004JNCS..334..121L . doi : 10.1016 / j.jnoncrysol.2003.11.069 .
Zhu, Yihan; On, Jiating; Shang, Cheng; Miao, Xiaohe; Huang, Jianfeng; Liu, Zhipan; Chen, Hongyu; Han, Yu (2014). „Chiralne nanoprzewody złota ze strukturą Boerdijk-Coxeter-Bernal” . J. Am. Chem. Soc . 136 (36): 12746–52. doi : 10.1021 / ja506554j . PMID 25126894 .
Lord, Eric A .; Mackay, Alan L .; Ranganathan, S. (2006). „§4.5 Spirala Boerdijka – Coxetera” . Nowe geometrie dla nowych materiałów . Cambridge University Press. p. 64. ISBN 978-0-521-86104-5 .
Sadoc, JF; Rivier, N. (1999). „Helisa Boerdijka-Coxetera i helisy biologiczne”. Europejski fizyczny Journal B . 12 (2): 309–318. Bibcode : 1999EPJB ... 12..309S . doi : 10,1007 / s100510051009 . S2CID 92684626 .

Languages

In other projects