Grawitacja bimetryczna - Bimetric gravity

Grawitacja bimetryczna lub bigravity odnosi się do dwóch różnych klas teorii. Pierwsza klasa teorii opiera się na zmodyfikowanych matematycznych teoriach grawitacji (lub grawitacji), w których zamiast jednego używa się dwóch tensorów metrycznych . Druga metryka może być wprowadzona przy wysokich energiach, co implikuje, że prędkość światła może zależeć od energii, umożliwiając modele ze zmienną prędkością światła .

Jeśli te dwie metryki są dynamiczne i oddziałują wzajemnie, pierwsza możliwość implikuje dwa tryby grawitonowe , jeden masywny i jeden bezmasowy; takie teorie bimetryczne są następnie ściśle związane z masywną grawitacją . Istnieje kilka teorii bimetrycznych z masywnymi grawitonami, takich jak te przypisywane Nathanowi Rosenowi (1909-1995) lub Mordehai Milgrom z relatywistycznymi rozszerzeniami Modified Newtonian Dynamics ( MOND ). Niedawno rozwój masywnej grawitacji doprowadził również do nowych spójnych teorii grawitacji bimetrycznej. Chociaż nie wykazano, aby żaden z nich wyjaśniał obserwacje fizyczne dokładniej lub bardziej konsekwentnie niż teoria ogólnej teorii względności , teoria Rosena okazała się niespójna z obserwacjami podwójnego pulsara Hulse-Taylor . Niektóre z tych teorii prowadzą do kosmicznego przyspieszenia w późnych czasach i dlatego stanowią alternatywę dla ciemnej energii .

Wręcz przeciwnie, druga klasa teorii grawitacji bimetrycznej nie opiera się na masywnych grawitonach i nie modyfikuje prawa Newtona , ale opisuje wszechświat jako rozmaitość mającą dwie sprzężone metryki riemannowskie , gdzie materia wypełniająca dwa sektory oddziałuje poprzez grawitację (i antygrawitację). jeśli rozważana topologia i przybliżenie Newtona wprowadzają ujemną masę i ujemną energię w kosmologii jako alternatywę dla ciemnej materii i ciemnej energii). Niektóre z tych modeli kosmologicznych wykorzystują również zmienną prędkość światła w stanie wysokiej gęstości energii zdominowanej przez promieniowanie ery Wszechświata, podważając hipotezę inflacji .

Bigravity Rosena (1940 do 1989)

W ogólnej teorii względności (GR) zakłada się, że odległość między dwoma punktami w czasoprzestrzeni jest podana przez tensor metryczny . Równanie pola Einsteina jest następnie wykorzystywane do obliczenia postaci metryki na podstawie rozkładu energii i pędu.

W 1940 roku, Rosen zaproponował, aby w każdym punkcie czasoprzestrzeni, jest euklidesowa metryczny tensor oprócz riemannowskiej tensora metrycznego . Tak więc w każdym punkcie czasoprzestrzeni istnieją dwie metryki: ${\ Displaystyle \ gamma _ {ij}}$${\displaystyle g_{ij}}$

1. ${\ Displaystyle ds ^ {2} = g_ {ij} dx ^ {i} dx ^ {j}}$
2. ${\ Displaystyle d \ sigma ^ {2} = \ gamma _ {ij} dx ^ {i} dx ^ {j}}$

Pierwszy tensor metryczny, , opisuje geometrię czasoprzestrzeni, a tym samym pole grawitacyjne. Drugi tensor metryczny, , odnosi się do płaskiej czasoprzestrzeni i opisuje siły bezwładności. Te symbole christoffela utworzone z i są oznaczone przez a , odpowiednio. ${\displaystyle g_{ij}}$${\ Displaystyle \ gamma _ {ij}}$${\displaystyle g_{ij}}$${\ Displaystyle \ gamma _ {ij}}$${\ Displaystyle \ {_ {jk} ^ {i} \}}$${\ Displaystyle \ Gamma _ {jk} ^ {i}}$

Ponieważ różnica dwóch połączeń jest tensorem, można zdefiniować pole tensorowe dane wzorem : ${\ Displaystyle \ Delta _ {jk} ^ {i}}$

${\ Displaystyle \ Delta _ {jk} ^ {i} = \ {_ {jk} ^ {i} \} - \ Gamma _ {jk} ^ {i}}$

( 1 )

Powstają wtedy dwa rodzaje różniczkowania kowariantnego: -różnicowanie na podstawie (oznaczone średnikiem, np. ) oraz różnicowanie kowariantne na podstawie (oznaczone ukośnikiem, np . ). Zwykłe pochodne cząstkowe są reprezentowane przez przecinek (np . ). Niech i będą tensorami krzywizny Riemanna obliczonymi odpowiednio z i . W powyższym podejściu tensor krzywizny wynosi zero, ponieważ jest to płaska metryka czasoprzestrzeni. ${\displaystyle g}$${\displaystyle g_{ij}}$${\displaystyle X_{;a}}$${\ Displaystyle \ gamma _ {ij}}$${\ Displaystyle X_ {/a}}$${\displaystyle X_{,a}}$${\ Displaystyle R_ {ijk} ^ {h}}$${\ Displaystyle P_ {ijk} ^ {h}}$${\displaystyle g_{ij}}$${\ Displaystyle \ gamma _ {ij}}$${\ Displaystyle P_ {ijk} ^ {h}}$${\ Displaystyle \ gamma _ {ij}}$

Proste obliczenia dają tensor krzywizny Riemanna

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} R_ {ijk} ^ {h} i = P_ {ijk} ^ {h} - \ Delta _ {ij / k} ^ {h} + \ Delta _ {ik / j} ^ {h}+\Delta _{mj}^{h}\Delta _{ik}^{m}-\Delta _{mk}^{h}\Delta _{ij}^{m}\\&=- \Delta _{ij/k}^{h}+\Delta _{ik/j}^{h}+\Delta _{mj}^{h}\Delta _{ik}^{m}-\Delta _ {mk}^{h}\Delta _{ij}^{m}\end{wyrównany}}}$

Każdy wyraz po prawej stronie jest tensorem. Widać, że z GR można przejść do nowego sformułowania po prostu zastępując {:} przez i zwykłe różniczkowanie przez kowariantne- różnicowanie, przez , miarę całkowania przez , gdzie , i . Po wprowadzeniu do teorii mamy do dyspozycji ogromną liczbę nowych tensorów i skalarów. Można ustawić inne równania pola, inne niż Einsteina. Możliwe, że niektóre z nich będą bardziej zadowalające dla opisu przyrody. ${\ Displaystyle \ Delta}$${\ Displaystyle \ gamma}$${\displaystyle {\sqrt {-g}}}$${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {g}{\gamma}}}}$${\ Displaystyle d ^ {4}x}$${\ Displaystyle {\ sqrt {- \ gamma}} \ d ^ {4}x}$${\ Displaystyle g = \ det (g_ {ij})}$${\ Displaystyle \ gamma = \ det (\ gamma _ {ij})}$${\ Displaystyle d ^ {4} x = dx ^ {1} dx ^ {2} dx ^ {3} dx ^ {4}}$${\ Displaystyle \ gamma _ {ij}}$

Równanie geodezyjne w bimetrycznej teorii względności (BR) przyjmuje postać

${\ Displaystyle {\ Frac {d ^ {2} x ^ {i}} {ds ^ {2}}} + \ Gamma _ {jk} ^ {i} {\ Frac {dx ^ {j}} {ds} }{\frac {dx^{k}}{ds}}+\Delta _{jk}^{i}{\frac {dx^{j}}{ds}}{\frac {dx^{k}} {ds}}=0}$

( 2 )

Widać to z równań ( 1 ) i ( 2 ), które można uznać za opisujące pole bezwładności, ponieważ znika ono przy odpowiedniej transformacji współrzędnych. ${\ Displaystyle \ Gamma}$

Będąc wielkością tensorową, jest ona niezależna od dowolnego układu współrzędnych i dlatego może być traktowana jako opisująca stałe pole grawitacyjne. ${\ Displaystyle \ Delta}$

Rosen (1973) stwierdził, że BR spełnia zasadę kowariancji i równoważności. W 1966 roku Rosen wykazał, że wprowadzenie metryki przestrzennej w ramy ogólnej teorii względności umożliwia nie tylko otrzymanie tensora gęstości energii pędu pola grawitacyjnego, ale także umożliwia uzyskanie tego tensora z zasady wariacyjnej. Równania polowe BR wyprowadzone z zasady wariacyjnej to

${\ Displaystyle K_ {j} ^ {i} = N_ {j} ^ {i} - {\ Frac {1} {2}} \ delta _ {j} ^ {i} N = -8 \ pi \ kappa T_ {j}^{i}}$

( 3 )

gdzie

${\ Displaystyle N_ {j} ^ {i} = {\ Frac {1} {2}} \ gamma ^ {\ alfa \ beta} (g ^ {hi} g_ {hj / \ alfa}) _ {/ \ beta }}$

lub

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} N_ {j} ^ {i} i = {\ Frac {1} {2}} \ gamma ^ {\ alfa \ beta} \ lewo \ {\ lewo (g ^ {hi} g_{hj,\alpha }\right)_{,\beta }-\left(g^{hi}g_{mj}\Gamma _{h\alpha }^{m}\right)_{,\beta } -\gamma ^{\alpha \beta }\left(\Gamma _{j\alpha }^{i}\right)_{,\beta }+\Gamma _{\lambda \beta }^{i}\left [g^{h\lambda }g_{hj,\alpha }-g^{h\lambda }g_{mj}\Gamma _{h\alpha }^{m}-\Gamma _{j\alpha }^{ \lambda }\right]-\right.\\&\qquad \Gamma _{j\beta }^{\lambda }\left[g^{hi}g_{h\lambda ,\alpha }-g^{hi }g_{m\lambda }\Gamma _{h\alpha }^{m}-\Gamma _{\lambda \alpha }^{i}\right]+\Gamma _{\alpha \beta }^{\lambda }\left.\left[g^{hi}g_{hj,\lambda }-g^{hi}g_{mj}\Gamma _{h\lambda }^{m}-\Gamma _{j\lambda } ^{i}\right]\right\}\end{wyrównany}}}$

z

${\ Displaystyle N = g ^ {ij} N_ {ij}}$, ${\ Displaystyle \ kappa = {\ sqrt {\ Frac {g} {\ gamma}}}}$

i jest tensorem energii-pędu. ${\ Displaystyle T_ {j} ^ {i}}$

Zasada wariacyjna prowadzi również do relacji

${\ Displaystyle T_ {j; i} ^ {i} = 0}$.

Stąd z ( 3 )

${\ Displaystyle K_ {j; i} ^ {i} = 0}$,

co oznacza, że ​​w BR cząstka testowa w polu grawitacyjnym porusza się po geodezji względem${\displaystyle g_{ij}.}$

Rosen kontynuował ulepszanie swojej teorii grawitacji bimetrycznej o dodatkowe publikacje w 1978 i 1980, w których podjął próbę „usunięcia osobliwości powstających w ogólnej teorii względności poprzez jej modyfikację tak, aby uwzględnić istnienie fundamentalnego układu spoczynkowego we wszechświecie”. W 1985 Rosen ponownie próbował usunąć osobliwości i pseudotensory z Ogólnej Teorii Względności. Dwukrotnie w 1989 roku w publikacjach w marcu i listopadzie Rosen dalej rozwijał swoją koncepcję cząstek elementarnych w bimetrycznym polu Ogólnej Teorii Względności.

Stwierdzono, że teorie BR i GR różnią się w następujących przypadkach:

• propagacja fal elektromagnetycznych
• zewnętrzne pole gwiazdy o dużej gęstości
• zachowanie intensywnych fal grawitacyjnych rozchodzących się w silnym, statycznym polu grawitacyjnym.

Wykazano, że przewidywania promieniowania grawitacyjnego w teorii Rosena od 1992 roku są sprzeczne z obserwacjami podwójnego pulsara Hulse-Taylor .

Ogromna bigravity

Od 2010 roku zainteresowanie bigravity zostało wznowione po opracowaniu przez Claudię de Rham , Gregory Gabadadze i Andrew Tolleya (dRGT) zdrowej teorii masywnej grawitacji. Ogromna grawitacja jest teorią bimetryczną w tym sensie, że nietrywialne terminy interakcji dla metryki można zapisać tylko za pomocą drugiej metryki, ponieważ jedynym terminem niebędącym pochodną, ​​który można zapisać za pomocą jednej metryki, jest stała kosmologiczna . W teorii dRGT wprowadzono niedynamiczną „metrykę odniesienia” , a warunki interakcji są zbudowane z pierwiastka kwadratowego macierzy z . ${\displaystyle g_{\mu\nu}}$${\displaystyle f_{\mu\nu}}$${\ Displaystyle g ^ {-1} f}$

W przypadku masywnej grawitacji dRGT metrykę odniesienia należy określić ręcznie. Można nadać metryce odniesienia termin Einsteina-Hilberta , w którym to przypadku nie jest wybierany, ale zamiast tego ewoluuje dynamicznie w odpowiedzi na i prawdopodobnie materii. Ta ogromna grawitacja została wprowadzona przez Fawad Hassan i Rachel Rosen jako rozszerzenie masywnej grawitacji dRGT. ${\displaystyle f_{\mu\nu}}$${\displaystyle g_{\mu\nu}}$

Teoria dRGT ma kluczowe znaczenie dla opracowania teorii z dwoma dynamicznymi metrykami, ponieważ ogólne teorie bimetryczne są nękane przez ducha Boulware-Deser , możliwą szóstą polaryzację dla masywnego grawitonu. Potencjał dRGT jest skonstruowany specjalnie w celu uczynienia tego ducha niedynamicznym i dopóki termin kinetyczny dla drugiej metryki ma postać Einsteina-Hilberta, uzyskana teoria pozostaje wolna od duchów.

Akcja dla duchów wolne masywnej bigravity jest dana przez

${\ Displaystyle S = - {\ Frac {M_ {G} ^ {2}} {2}} \ int d ^ {4} x {\ sqrt {-g}} R (g) - {\ Frac {M_ { f}^{2}}{2}}\int d^{4}x{\sqrt {-f}}R(f)+m^{2}M_{g}^{2}\int d^{ 4} x {\ sqrt {-g}} \ displaystyle \ suma _ {n = 0} ^ {4} \ beta _ {n} e_ {n} (\ mathbb {X}) + \ int d ^ {4} x{\sqrt {-g}}{\mathcal {L}}_{\mathrm {m} }(g,\Phi _{i}).}$

Podobnie jak w standardowej ogólnej teorii względności, metryka ma termin kinetyczny Einsteina-Hilberta proporcjonalny do skalara Ricciego i minimalne sprzężenie z materią Lagrange'a , reprezentującą wszystkie pola materii, takie jak te z Modelu Standardowego . Termin Einsteina-Hilberta jest również podany dla . Każdy wskaźnik ma własną masę Plancka , oznaczone i odpowiednio. Potencjał interakcji jest taki sam jak w masywnej grawitacji dRGT. Są to bezwymiarowe stałe sprzężenia i (lub konkretnie ) są związane z masą masywnego grawitonu. Teoria ta propaguje siedem stopni swobody, co odpowiada bezmasowemu grawitonowi i masywnemu grawitonowi (chociaż stany masywny i bezmasowy nie są zgodne z żadną z metryk). ${\displaystyle g_{\mu\nu}}$ ${\ Displaystyle R (g)}$${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} _ {\ operatorname {m}}}$${\ Displaystyle \ Phi _ {i}}$${\displaystyle f_{\mu\nu}}$${\ Displaystyle M_ {g}}$${\ Displaystyle M_ {f}}$${\ Displaystyle \ beta _ {i}}$${\ Displaystyle m}$${\ Displaystyle \ beta _ {i} ^ {1/2} m}$

Potencjał interakcji jest zbudowany z elementarnych symetrycznych wielomianów wartości własnych macierzy lub , sparametryzowanych odpowiednio bezwymiarowymi stałymi sprzężenia lub . Tutaj jest matryca pierwiastek matrycy . Zapisany w notacji indeksowej, jest określony przez relację ${\displaystyle e_{n}}$${\ Displaystyle \ mathbb {K} = \ mathbb {ja} - {\ sqrt {g ^ {-1} f}}}$${\ Displaystyle \ mathbb {X} = {\ sqrt {g ^ {-1} f}}}$${\ Displaystyle \ alfa _ {i}}$${\ Displaystyle \ beta _ {i}}$${\ Displaystyle {\ sqrt {g ^ {-1} f}}}$${\ Displaystyle g ^ {-1} f}$${\ Displaystyle \ mathbb {X}}$

${\ Displaystyle X ^ {\ mu} {} _ {\ alfa} X ^ {\ alfa} {} _ {\ nu} = g ^ {\ mu \ alfa} f_ {\ nu \ alfa}.}$

Mogą być zapisywane bezpośrednio w kategoriach jako ${\displaystyle e_{n}}$${\ Displaystyle \ mathbb {X}}$

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} e_ {0} (\ mathbb {X} ) i = 1 \ \ e_ {1} (\ mathbb {X} ) i = [\ mathbb {X}] \ \ e_ {2}(\mathbb {X} )&={\frac {1}{2}}\left([\mathbb {X} ]^{2}-[\mathbb {X} ^{2}]\right ),\\e_{3}(\mathbb {X} )&={\frac {1}{6}}\left([\mathbb {X} ]^{3}-3[\mathbb {X} ] [\mathbb {X} ^{2}]+2[\mathbb {X} ^{3}]\right),\\e_{4}(\mathbb {X} )&=\operatorname {det} \mathbb {X} ,\koniec{wyrównany}}}$

gdzie nawiasy wskazują ślad , . Jest to szczególna antysymetryczna kombinacja terminów w każdym z nich, która jest odpowiedzialna za to, że duch Boulware-Deser staje się niedynamiczny. ${\ Displaystyle [\ mathbb {X}] \ równoważnik X ^ {\ mu} {} _ {\ mu}}$${\displaystyle e_{n}}$

Zobacz też

• Alternatywy dla ogólnej teorii względności
• Model MZD
• Teoria skalarno-tensorowa

Bibliografia