Twierdzenie Künnetha - Künneth theorem

W matematyce , zwłaszcza w algebrze homologicznej i topologii algebraicznej , twierdzenie Künnetha , zwane także formułą Künnetha , jest stwierdzeniem odnoszącym homologię dwóch obiektów do homologii ich produktu. Klasyczne stwierdzenie twierdzenia Künnetha wiąże osobliwą homologię dwóch przestrzeni topologicznych X i Y oraz ich przestrzeni iloczynu . W najprostszym możliwym przypadku zależność jest relacją iloczynu tensorowego , ale dla zastosowań bardzo często konieczne jest zastosowanie pewnych narzędzi algebry homologicznej do wyrażenia odpowiedzi. ${\ Displaystyle X \ razy Y}$

Twierdzenie Künnetha lub formuła Künnetha jest prawdziwe w wielu różnych teoriach homologii i kohomologii, a nazwa stała się ogólna. Te liczne wyniki zostały nazwane na cześć niemieckiego matematyka Hermanna Künnetha .

Homologia osobliwa ze współczynnikami w polu

Niech X i Y będą dwiema przestrzeniami topologicznymi. Na ogół stosuje się homologię singularną; ale jeśli X i Y są kompleksami CW , to można to zastąpić homologią komórkową , ponieważ jest ona izomorficzna z homologią osobliwą. Najprostszy przypadek ma miejsce, gdy współczynnik pierścienia dla homologii jest polem F . W tej sytuacji twierdzenie Künnetha (o homologii osobliwej) stwierdza, że ​​dla dowolnej liczby całkowitej k ,

${\ Displaystyle \ bigoplus _ {i + j = k} H_ {i} (X; F) \ otimes H_ {j} (Y; F) \ cong H_ {k} (X \ razy Y; F)}$.

Ponadto izomorfizm jest izomorfizmem naturalnym . Mapa od sumy do grupy homologii produktu nazywana jest iloczynem krzyżowym . Dokładniej, istnieje operacja międzyproduktowa, za pomocą której i- cykl na X i j- cykl na Y mogą być połączone w celu utworzenia -cyklu na ; tak, że istnieje wyraźne odwzorowanie liniowe zdefiniowane z sumy bezpośredniej do . ${\ Displaystyle (i + j)}$${\ Displaystyle X \ razy Y}$${\ Displaystyle H_ {k} (X \ razy Y)}$

Konsekwencją tego jest to, że na skutek liczby bettiego wymiary homologii ze współczynników, z mogą być określone na podstawie tych z X i Y . Jeżeli jest funkcją tworzącą ciągu liczb Bettiego przestrzeni Z , to ${\ Displaystyle \ mathbb {Q}}$${\ Displaystyle X \ razy Y}$${\ Displaystyle p_ {Z} (t)}$${\ Displaystyle b_ {k} (Z)}$

${\ Displaystyle p_ {X \ razy Y} (t) = p_ {X} (t) p_ {Y} (t).}$

Tutaj , gdy istnieje skończenie wiele liczb Bettiego X i Y , z których każda jest liczbą naturalną , a nie , odczytuje się to jako identyczność na wielomianach Poincarégo . W ogólnym przypadku są to formalne szeregi potęgowe o możliwie nieskończonych współczynnikach i należy je odpowiednio interpretować. Co więcej, powyższe stwierdzenie dotyczy nie tylko liczb Bettiego, ale także funkcji generujących wymiary homologii nad dowolnym polem. (Jeżeli homologia liczb całkowitych nie jest wolna od skręcania , wówczas liczby te mogą różnić się od standardowych liczb Bettiego.) ${\displaystyle \infty}$

Singularna homologia ze współczynnikami w głównej idealnej domenie

Powyższy wzór jest prosty, ponieważ przestrzenie wektorowe nad polem mają bardzo ograniczone zachowanie. W miarę jak pierścień współczynników staje się bardziej ogólny, związek staje się bardziej skomplikowany. Kolejnym najprostszym przypadkiem jest przypadek, w którym współczynnik pierścienia jest główną domeną idealną . Ten przypadek jest szczególnie ważny, ponieważ liczby całkowite są PID. ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$

W tym przypadku powyższe równanie nie zawsze jest prawdziwe. Wydaje się, że współczynnik korygujący uwzględnia możliwość wystąpienia zjawisk skręcania. Ten współczynnik korekcyjny jest wyrażony w postaci funktora Tora , pierwszego pochodnego funktora iloczynu tensorowego.

Gdy R jest PID, to poprawnym stwierdzeniem twierdzenia Künnetha jest to, że dla dowolnych przestrzeni topologicznych X i Y istnieją naturalne krótkie ciągi ścisłe

${\ Displaystyle 0 \ do \ bigoplus _ {i + j = k} H_ {i} (X; R) \ czasy _ {R} H_ {j} (Y; R) \ do H_ {k} (X \ razy Y;R)\to \bigoplus _{i+j=k-1}\mathrm {Tor} _{1}^{R}(H_{i}(X;R),H_{j}(Y;R ))\do 0.}$

Ponadto sekwencje te rozdzielają się , ale nie kanonicznie .

Przykład

Opisane właśnie krótkie, dokładne sekwencje można łatwo wykorzystać do obliczenia grup homologii z całkowitymi współczynnikami iloczynu dwóch rzeczywistych płaszczyzn rzutowych , innymi słowy, . Przestrzenie te to kompleksy CW . Oznaczając grupę homologii przez, dla zwięzłości, z prostego obliczenia z homologią komórkową wiadomo, że ${\ Displaystyle \ mathbb {RP} ^ {2} \ razy \ mathbb {RP} ^ {2}}$${\ Displaystyle H_ {k} (\ mathbb {RP} ^ {2} \ razy \ mathbb {RP} ^ {2}; \ mathbb {Z})}$${\ Displaystyle H_ {i} (\ mathbb {RP} ^ {2}; \ mathbb {Z})}$${\displaystyle h_{i}}$

${\ Displaystyle h_ {0}\ cong \ mathbb {Z}}$,

${\ Displaystyle h_ {1} \ cong \ mathbb {Z} /2 \ mathbb {Z}}$,

${\ Displaystyle h_ {i} = 0}$dla wszystkich innych wartości i .

Jedyna niezerowa grupa Tor (iloczyn skręcania), którą można utworzyć z tych wartości is ${\displaystyle h_{i}}$

${\ Displaystyle \ operatorname {Tor} _ {1} ^ {\ mathbb {Z}} (h_ {1}, h_ {1}) \ cong \ operatorname {Tor} _ {1} ^ {\ mathbb {Z}} (\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} ,\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$.

Dlatego krótka dokładna sekwencja Künnetha redukuje się w każdym stopniu do izomorfizmu, ponieważ w każdym przypadku po lewej lub prawej stronie ciągu znajduje się grupa zerowa. Wynik to

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} H_ {0} \ lewo (\ mathbb {RP} ^ {2} \ razy \ mathbb {RP} ^ {2}; \ mathbb {Z} \ po prawej) \; & \ cong \;h_{0}\otimes h_{0}\;\cong \;\mathbb {Z} \\H_{1}\left(\mathbb {RP} ^{2}\times \mathbb {OP} ^{ 2};\mathbb {Z} \right)\;&\cong \;h_{0}\otimes h_{1}\;\oplus \;h_{1}\otimes h_{0}\;\cong \; \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \\H_{2}\left(\mathbb {RP} ^{2}\times \mathbb {OP } ^{2};\mathbb {Z} \right)\;&\cong \;h_{1}\otimes h_{1}\;\cong \;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \ \H_{3}\left(\mathbb {RP} ^{2}\times \mathbb {RP} ^{2};\mathbb {Z} \right)\;&\cong \;\mathrm {Tor} _ {1}^{\mathbb {Z} }(h_{1},h_{1})\;\cong \;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \\\end{wyrównany}}}$

a wszystkie inne grupy homologii wynoszą zero.

Ciąg widmowy Künnetha

Dla ogólnego pierścienia przemiennego R , homologia X i Y jest powiązana z homologią ich produktu przez sekwencję widmową Künnetha

${\ Displaystyle E_ {pq} ^ {2} = \ bigoplus _ {q_ {1} + q_ {2} = q} \ operatorname {Tor} _ {p} ^ {R} (H_ {q_ {1}} ( X;R),H_{q_{2}}(Y;R))\Strzałka w prawo H_{p+q}(X\razy Y;R).}$

W przypadkach opisanych powyżej ta sekwencja widmowa załamuje się, dając izomorfizm lub krótką dokładną sekwencję.

Związek z algebrą homologiczną i idea dowodu

Kompleks łańcuchowy przestrzeni X × Y jest powiązany z kompleksami łańcuchowymi X i Y przez naturalny quasi-izomorfizm

${\ Displaystyle C_ {*} (X \ razy Y) \ cong C_ {*} (X) \ czasami C_ {*} (Y).}$

Dla osobliwych łańcuchów jest to twierdzenie Eilenberga i Zilbera . Dla łańcuchów komórkowych na kompleksach CW jest to prosty izomorfizm. Następnie homologia iloczynu tensorowego po prawej stronie jest dana przez widmowy wzór Künnetha algebry homologicznej.

Swoboda modułów łańcucha oznacza, że ​​w tym przypadku geometrycznym nie jest konieczne stosowanie hiperhomologii lub całkowitego pochodnego iloczynu tensorowego.

Istnieją analogie powyższych stwierdzeń dla kohomologii osobliwej i kohomologii snopa . W przypadku kohomologii snopów na rozmaitości algebraicznej Alexander Grothendieck znalazł sześć sekwencji spektralnych wiążących możliwe grupy hiperhomologiczne dwóch kompleksów łańcuchowych snopów i grupy hiperhomologiczne ich produktu tensorowego.

Twierdzenia Künnetha w uogólnionych teoriach homologii i kohomologii

Istnieje wiele uogólnionych (lub „nadzwyczajnych”) teorii homologii i kohomologii dla przestrzeni topologicznych. Najbardziej znane są teoria K i kobordyzm . W przeciwieństwie do zwykłej homologii i kohomologii, zazwyczaj nie można ich zdefiniować za pomocą kompleksów łańcuchowych. Tak więc twierdzeń Künnetha nie można uzyskać powyższymi metodami algebry homologicznej. Niemniej jednak twierdzenia Künnetha w tej samej formie zostały udowodnione w bardzo wielu przypadkach różnymi innymi metodami. Pierwszymi z nich były twierdzenie Michaela Atiyaha Künnetha dla złożonej teorii K oraz wynik Pierre'a Connera i Edwina E. Floyda dotyczący kobordyzmu. Pojawiła się ogólna metoda dowodu, oparta na homotopicznej teorii modułów nad wysoce ustrukturyzowanymi widmami pierścieniowymi . Kategoria homotopii takich modułów bardzo przypomina kategorię pochodną w algebrze homologicznej.

Bibliografia

Linki zewnętrzne

• „Formuła Künnetha” , Encyklopedia Matematyki , EMS Press , 2001 [1994]