Trywialność (matematyka) - Triviality (mathematics)

W matematyce przymiotnik trywialny jest często używany w odniesieniu do twierdzenia lub przypadku, które można łatwo uzyskać z kontekstu, lub przedmiotu, który ma prostą strukturę (np. Grupy , przestrzenie topologiczne ). Trywialność rzeczownika zwykle odnosi się do prostego technicznego aspektu jakiegoś dowodu lub definicji. Pochodzenie tego terminu w języku matematycznym wywodzi się ze średniowiecznego programu nauczania trywium , który odróżnia go od trudniejszego programu nauczania quadrivium . Przeciwieństwem trywialności jest nietrywialne , które jest powszechnie używane do wskazania, że przykład lub rozwiązanie nie jest proste, lub że stwierdzenie lub twierdzenie nie jest łatwe do udowodnienia.

Banalne i nietrywialne rozwiązania

W matematyce termin „trywialny” jest często używany w odniesieniu do obiektów (np. Grup, przestrzeni topologicznych) o bardzo prostej strukturze. Należą do nich m.in.

Pusty zestaw : zestaw zawierający żadnych elementów członkowskich lub pusty
Grupa trywialna : matematyczny grupa zawierająca jedynie element neutralny
Pierścień trywialny : pierścień zdefiniowany na zestawie singletonowym

Termin „ trywialny ” może być również użyty do opisania rozwiązań równania, które ma bardzo prostą strukturę, ale ze względu na kompletność nie można go pominąć. Rozwiązania te nazywane są rozwiązaniami trywialnymi . Na przykład rozważmy równanie różniczkowe

{\ displaystyle y '= y}

gdzie jest funkcją, której pochodną jest . Banalne rozwiązanie jest takie ${\ Displaystyle y = y (x)}$ ${\ displaystyle y '}$

{\ Displaystyle y (x) = 0}

, funkcja zero

podczas gdy nietrywialne rozwiązanie jest

{\ Displaystyle y (x) = e ^ {x}}

, funkcja wykładnicza .

Równanie różniczkowe z warunkami brzegowymi jest ważne w matematyce i fizyce, ponieważ mogłoby być użyte do opisania cząstki w pudełku w mechanice kwantowej lub fali stojącej na strunie. Zawsze zawiera rozwiązanie , które jest uważane za oczywiste i stąd nazywane jest rozwiązaniem „trywialnym”. W niektórych przypadkach mogą istnieć inne rozwiązania ( sinusoidy ), które nazywane są rozwiązaniami „nietrywialnymi”. ${\ Displaystyle f '' (x) = - \ lambda f (x)}$ ${\ Displaystyle f (0) = f (L) = 0}$ ${\ Displaystyle f (x) = 0}$

Podobnie matematycy często opisują Ostatnie twierdzenie Fermata jako stwierdzające, że nie ma nietrywialnych rozwiązań równania opartych na liczbach całkowitych , gdzie n jest większe od 2. Oczywiście, jest kilka rozwiązań tego równania. Na przykład jest rozwiązaniem dla dowolnego n , ale takie rozwiązania są oczywiste i możliwe do uzyskania przy niewielkim wysiłku, a więc „trywialne”. ${\ Displaystyle a ^ {n} + b ^ {n} = c ^ {n}}$ ${\ Displaystyle a = b = c = 0}$

W rozumowaniu matematycznym

Trywialność może również odnosić się do dowolnego łatwego przypadku dowodu, którego ze względu na kompletność nie można zignorować. Na przykład dowody za pomocą indukcji matematycznej mają dwie części: „przypadek bazowy”, który pokazuje, że twierdzenie jest prawdziwe dla określonej wartości początkowej (takiej jak n = 0 lub n = 1), oraz krok indukcyjny, który pokazuje, że jeśli twierdzenie jest prawdziwe dla pewnej wartości n , to jest również prawdziwe dla wartości n + 1. Przypadek podstawowy jest często trywialny i jest identyfikowany jako taki, chociaż są sytuacje, w których przypadek podstawowy jest trudny, ale krok indukcyjny jest trywialny. Podobnie, można chcieć udowodnić, że jakąś własność posiadają wszyscy członkowie pewnego zbioru. Główna część dowodu będzie rozważać przypadek niepustego zbioru i szczegółowo badać członków; w przypadku, gdy zbiór jest pusty, własność jest trywialnie posiadana przez wszystkich członków, ponieważ nie ma ich (więcej informacji na ten temat można znaleźć w pustej prawdzie ).

Powszechnym żartem w środowisku matematycznym jest stwierdzenie, że „trywialne” jest synonimem „udowodnione” - to znaczy, że każde twierdzenie można uznać za „trywialne”, jeśli wiadomo, że jest prawdziwe.

Inny żart dotyczy dwóch matematyków, którzy omawiają twierdzenie: pierwszy matematyk mówi, że twierdzenie jest „trywialne”. W odpowiedzi na prośbę drugiego rozmówcy o wyjaśnienie, przechodzi następnie przez dwadzieścia minut prezentacji. Na końcu wyjaśnienia drugi matematyk zgadza się, że twierdzenie to jest trywialne. Te żarty wskazują na subiektywność sądów o błahości. Żart ma zastosowanie również wtedy, gdy pierwszy matematyk mówi, że twierdzenie jest trywialne, ale sam nie jest w stanie tego udowodnić. Często, jako żart, twierdzenie to jest następnie określane jako „intuicyjnie oczywiste”. Na przykład ktoś doświadczony w rachunku różniczkowym uznałby następujące stwierdzenie za trywialne:

{\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {1} x ^ {2} \, dx = {\ Frac {1} {3}}}

Jednak dla kogoś, kto nie zna rachunku całkowego, nie jest to wcale oczywiste.

Trywialność zależy również od kontekstu. Dowód w analizie funkcjonalnej prawdopodobnie, biorąc pod uwagę liczbę, zakładałby trywialnie istnienie większej liczby. Jednak dowodząc podstawowych wyników dotyczących liczb naturalnych w elementarnej teorii liczb , dowód może bardzo dobrze opierać się na uwadze, że każda liczba naturalna ma następcę - twierdzenie, które samo powinno zostać udowodnione lub traktowane jako aksjomat (więcej zob. Aksjomaty Peano ).

Trywialne dowody

W niektórych tekstach, o trywialne dowód odnosi się do oświadczenia z udziałem istotnego wpływu P → Q, gdzie konsekwentna , Q , jest zawsze prawdziwe. Tutaj, Dowód wynika bezpośrednio z mocy definicji implikacji materialnej, jako implikacja jest prawdziwa bez względu na wartość prawdy poprzedzającej P .

Pokrewnym pojęciem jest pusta prawda , gdzie poprzednik P w materialnej implikacji P → Q jest zawsze fałszywy. W tym przypadku implikacja jest zawsze prawdziwa, niezależnie od wartości prawdziwości wynikającego z niej Q - ponownie na mocy definicji implikacji materialnej.

Przykłady

W teorii liczb , często jest to ważne, aby znaleźć czynniki o całkowitą liczbę N . Dowolna liczba N cztery wyraźne czynniki ± 1 do ± N . Nazywa się to „czynnikami trywialnymi”. Każdy inny czynnik, jeśli istnieje, nazwanoby „nietrywialnym”.
Jednorodne równanie macierzowe , gdzie jest stałą macierzą, jest nieznanym wektorem i jest wektorem zerowym, ma oczywiste rozwiązanie . Nazywa się to „rozwiązaniem trywialnym”. Jeśli ma inne rozwiązania , nazwałbym je „nietrywialnymi” ${\ Displaystyle A \ mathbf {x} = \ mathbf {0}}$ ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {0}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} = \ mathbf {0}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} \ neq \ mathbf {0}}$
W teorii grup istnieje bardzo prosta grupa zawierająca tylko jeden element; często nazywa się to „grupą trywialną”. Wszystkie inne grupy, które są bardziej skomplikowane, nazywane są „nietrywialnymi”.
W teorii grafów trywialny graf to graf, który ma tylko jeden wierzchołek i nie ma krawędzi.
Teoria baz danych ma napisane pojęcie zwane zależnością funkcjonalną . Zależność jest prawdziwe, jeśli Y jest podzbiorem z X , więc ten rodzaj uzależnienia nazywany jest „banalne”. Wszystkie inne zależności, które są mniej oczywiste, nazywane są „nietrywialnymi”. ${\ displaystyle X \ do Y}$ ${\ displaystyle X \ do Y}$
Można wykazać, że funkcja zeta Riemanna ma zera na ujemnych liczbach parzystych −2, −4, ... Chociaż dowód jest stosunkowo łatwy, tego wyniku normalnie nie można by nazwać trywialnym; jednakże tak jest w tym przypadku, ponieważ inne zera są generalnie nieznane, mają ważne zastosowania i wiążą się z otwartymi pytaniami (jak hipoteza Riemanna ). W związku z tym ujemne liczby parzyste nazywane są trywialnymi zerami funkcji, podczas gdy inne zera są uważane za nietrywialne.