Zamówiony pierścionek - Ordered ring

Te liczby rzeczywiste są uporządkowane pierścień, który jest także ciało uporządkowane . Te liczby całkowite , podzbiór liczb rzeczywistych, stanowią pierścień uporządkowany, że nie jest to ciało uporządkowane.

W abstrakcyjnej Algebra An pierścień uporządkowany jest (zazwyczaj przemienne ) pierścień R o całkowitej celu ≤ taki sposób, że dla każdego z , b i c w R :

• jeśli a ≤ b to a + c ≤ b + c .
• jeśli 0 ≤ a i 0 ≤ b to 0 ≤ ab .

Przykłady

Uporządkowane pierścienie są znane z arytmetyki . Przykłady obejmują liczby całkowite , wymierne i rzeczywiste . ( Liczby wymierne i liczby rzeczywiste w rzeczywistości tworzą pola uporządkowane .) Liczby zespolone , w przeciwieństwie do tego, nie tworzą uporządkowanego pierścienia lub pola, ponieważ nie ma nieodłącznej relacji kolejności między elementami 1 i i .

Pozytywne elementy

Analogicznie do liczb rzeczywistych, element c uporządkowanego pierścienia nazywamy R dodatnim, jeśli 0 < c , a ujemnym, jeśli c < 0,0 nie jest ani dodatni, ani ujemny.

Zbiór dodatnich elementów uporządkowanego pierścienia R jest często oznaczany przez R ₊ . Alternatywną notacją, preferowaną w niektórych dyscyplinach, jest użycie R ₊ dla zestawu elementów nieujemnych i R ₊₊ dla zestawu elementów dodatnich.

Całkowita wartość

Jeśli jest elementem uporządkowanej pierścień B , wówczas wartość bezwzględna w , oznaczonego jest zdefiniowana w następujący sposób: ${\displaystyle a}$${\displaystyle a}$${\displaystyle |a|}$

${\ Displaystyle | a |: = {\ zacząć {przypadki} a {\ mbox {jeśli}} 0 \ równoważnik a \ \ - a & {\ mbox {w przeciwnym razie}} \ koniec {przypadki}}}$

gdzie jest dodatek odwrotny od a 0 dodatek element neutralny . ${\displaystyle -a}$${\displaystyle a}$

Dyskretne uporządkowane pierścienie

Dyskretnych pierścień uporządkowany lub nieciągły pierścień uporządkowany jest uporządkowana pierścienia, w którym nie ma elementu pomiędzy 0 i 1. Liczby są dyskretne pierścień uporządkowany, ale liczby wymierne nie.

Podstawowe właściwości

Dla wszystkich a , b i c w R :

• Jeśli a ≤ b i 0 ≤ c , wtedy ac ≤ bc . Ta właściwość jest czasami używana do definiowania uporządkowanych pierścieni zamiast drugiej właściwości w powyższej definicji.
• | ab | = | | | b |.
• Uporządkowany pierścień, który nie jest trywialny, jest nieskończony.
• Dokładnie jedno z poniższych jest prawdziwe: a jest dodatnie, - a jest dodatnie lub a = 0. Właściwość ta wynika z faktu, że uporządkowane pierścienie są abelowymi , liniowo uporządkowanymi grupami względem addycji.
• W uporządkowanym pierścieniu żaden element ujemny nie jest kwadratem. Dzieje się tak, ponieważ jeśli a 0 i a = b ² to b ≠ 0 i a = (- b ) ² ; ponieważ b lub - b jest dodatnie, a musi być nieujemne.

Zobacz też

• Zamówione pole
• Zamówiona grupa
• Uporządkowana topologiczna przestrzeń wektorowa
• Uporządkowana przestrzeń wektorowa
• Częściowo uporządkowany pierścionek  – Pierścionek z kompatybilnym częściowym zamówieniem
• Przestrzeń częściowo uporządkowana  – Przestrzeń częściowo uporządkowana topologiczna
• Przestrzeń Riesza  – częściowo uporządkowana przestrzeń wektorowa, uporządkowana jako krata
• Krata wektorowa

Uwagi

Poniższa lista zawiera odniesienia do twierdzeń formalnie zweryfikowanych przez projekt IsarMathLib .