Częściowo zamówiony pierścień - Partially ordered ring

${\displaystyle x,y,z\w A}$

${\displaystyle (A,\leq)}$

${\ Displaystyle A}$

Uporządkowane pierścień , zwany również uporządkowany pierścień jest częściowo uporządkowane pierścień , gdzie jest dodatkowo

${\displaystyle (A,\leq)}$

${\displaystyle \,\leq \,}$

L-ring lub krata uporządkowane pierścień jest częściowo uporządkowane pierścień , gdzie jest dodatkowo

${\displaystyle (A,\leq)}$

${\displaystyle \,\leq \,}$

Nieruchomości

Grupa dodatków częściowo uporządkowanego pierścienia jest zawsze grupą częściowo uporządkowaną .

Zbiór nieujemnych elementów pierścienia częściowo uporządkowanego (zbiór elementów, dla którego nazywany jest również dodatnim stożkiem pierścienia) jest domknięty na dodawanie i mnożenie, czyli jeśli jest zbiorem nieujemnych elementów pierścienia częściowo zamówiony pierścień, a następnie i ponadto,${\displaystyle x}$${\displaystyle 0\leq x,}$${\displaystyle P}$${\ Displaystyle P + P \ podzbiór P}$${\ Displaystyle P \ cdot P \ podseteq P.}$${\ Displaystyle P \ czapka (-P) = \ {0 \}.}$

Odwzorowanie zgodnego porządku częściowego w pierścieniu na zbiór jego nieujemnych elementów to

${\ Displaystyle A}$

Jeśli jest

${\displaystyle S\subseteq A}$

${\displaystyle A}$

1. ${\ Displaystyle 0 \ w S}$
2. ${\ Displaystyle S \ czapka (-S) = \ {0 \}}$
3. ${\displaystyle S+S\subseteq S}$
4. ${\ Displaystyle S \ cdot S \ podseteq S}$

następnie relacja gdzie

${\displaystyle \,\leq \,}$

${\displaystyle x\leq y}$

${\ Displaystyle yx \ w S}$

${\ Displaystyle A}$

${\displaystyle (A,\leq)}$

W każdym l-ringu wartość bezwzględną elementu można zdefiniować jako gdzie oznacza

${\displaystyle |x|}$

${\displaystyle x}$

${\displaystyle x\vee (-x)}$

${\displaystyle x\vee y}$

${\displaystyle x}$

${\displaystyle y}$

$${\displaystyle |x\cdot y|\leq |x|\cdot |y|}$$

F-pierścienie

F pierścień lub Pierce-Birkhoffa pierścień jest pierścieniem kraty sortowane , w którym i oznacza to, że dla wszystkich były najpierw wprowadzone przez

${\displaystyle (A,\leq)}$

${\displaystyle x\klin y=0}$

${\displaystyle 0\leq z}$

${\ Displaystyle zx \ klin y = xz \ klin y = 0}$

${\displaystyle x,y,z\w A.}$

Przykład

Pozwolić być

${\ Displaystyle X}$

${\ Displaystyle {\ Mathcal {C}} (X)}$

${\ Displaystyle X.}$

${\ Displaystyle {\ Mathcal {C}} (X)}$

$${\ Displaystyle [f + g] (x) = f (x) + g (x)}$$

$${\ Displaystyle [fg] (x) = f (x) \ cdot g (x)}$$

$${\ Displaystyle [f \ klin g] (x) = f (x) \ klin g (x).}$$

Z algebraicznego punktu widzenia pierścienie są dość sztywne. Na przykład,

${\ Displaystyle {\ Mathcal {C}} (X)}$

${\ Displaystyle {\ Mathcal {C}} (X)}$

Nieruchomości

• Bezpośrednim produktem F-F pierścieni jest pierścieniem, L-podpierścień o f-ring F-ring i L-homomorphic obraz o f-ring F-ring.

• ${\displaystyle |xy|=|x||y|}$ w pierścionku.

• Kategorii Arf składa Archimedesa f pierścieni z 1 i L-homomorfizmów które zachowują tożsamość.

• Każdy zamówiony pierścień jest f-ringiem, więc każde pośrednie połączenie uporządkowanych pierścieni jest również f-ringiem. Zakładając aksjomat wyboru , twierdzenie Birkhoffa wykazuje odwrotność i że l-pierścień jest f-pierścieniem wtedy i tylko wtedy, gdy jest l-izomorficzny z podbezpośrednim połączeniem uporządkowanych pierścieni. Niektórzy matematycy uważają to za definicję pierścionka.

Formalnie zweryfikowane wyniki dla przemiennych uporządkowanych pierścieni

IsarMathLib , biblioteka do dowodzenia twierdzenia Isabelle , zawiera formalne weryfikacje kilku podstawowych wyników dotyczących przemiennych uporządkowanych pierścieni. Wyniki są udowodnione w ring1kontekście.

Załóżmy, że jest to przemienny uporządkowany pierścień, a następnie: ${\displaystyle (A,\leq)}$${\displaystyle x,y,z\w A.}$

	za pomocą
Grupa addytywna jest grupą uporządkowaną ${\ Displaystyle A}$	OrdRing_ZF_1_L4
${\ Displaystyle x \ leq y {\ tekst { wtedy i tylko wtedy, gdy}} xy \ leq 0}$	OrdRing_ZF_1_L7
${\displaystyle x\leq y}$i sugerować i${\displaystyle 0\leq z}$ ${\displaystyle xz\leq yz}$${\displaystyle zx\leq zy}$	OrdRing_ZF_1_L9
${\displaystyle 0\leq 1}$	ordring_one_is_nonneg
${\displaystyle |xy|=|x||y|}$	OrdRing_ZF_2_L5
${\displaystyle |x+y|\leq |x|+|y|}$	ord_ring_triangle_ineq
${\displaystyle x}$ jest albo w zestawie dodatnim, równym 0, albo in minus zestaw dodatni.	OrdRing_ZF_3_L2
Zbiór dodatnich elementów jest domknięty przy mnożeniu wtedy i tylko wtedy, gdy nie ma dzielników zera . ${\displaystyle (A,\leq)}$${\ Displaystyle A}$	OrdRing_ZF_3_L3
Jeśli nie jest trywialne ( ), to jest nieskończone. ${\ Displaystyle A}$${\displaystyle 0\neq 1}$	ord_ring_infinite

Zobacz też

• Grupa uporządkowana liniowo  – grupa o niezmiennym translacyjnym porządku całkowitym; tzn. jeśli a ≤ b, to ca ≤ cb
• Zamówione pole
• Zamówiona grupa
• Uporządkowana topologiczna przestrzeń wektorowa
• Uporządkowana przestrzeń wektorowa
• Przestrzeń częściowo uporządkowana  –

Bibliografia

Dalsza lektura

• Birkhoff, G.; R. Pierce'a (1956). „Pierścienie uporządkowane kratowo”. Anais da Academia Brasileira de Ciências . 28 : 41–69.
• Gillman, Leonard; Jerison, Meyer Pierścienie funkcji ciągłych. Przedruk wydania z 1960 roku. Graduate Texts in Mathematics, nr 43. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1976. xiii+300 s.

Zewnętrzne linki

• „Pierścień uporządkowany” , Encyklopedia Matematyki , EMS Press , 2001 [1994]
• Częściowo zamówiony pierścień w PlanetMath .