Odmiana toryczna - Toric variety

W algebraicznej geometrii , w toroidalną odmiany lub torusa osadzania jest algebraiczna odmiana zawierająca algebraiczną torusa jako otwarta gęstej podzbioru tak, że działania torusa na siebie rozciąga się na całej różnorodności. Niektórzy autorzy wymagają również, aby było to normalne . Rozmaitości toryczne tworzą ważną i bogatą klasę przykładów w geometrii algebraicznej, które często stanowią poligon doświadczalny dla twierdzeń. Geometria odmiany torycznej jest w pełni określona przez kombinatorykę powiązanego z nią wachlarza, co często sprawia, że ​​obliczenia są znacznie bardziej wykonalne. Dla pewnej szczególnej, ale wciąż dość ogólnej klasy odmian torycznych, informacja ta jest również zakodowana w wielościanie, co tworzy silne połączenie tematu z wypukłą geometrią. Znanymi przykładami odmian torycznych są przestrzeń afiniczna, przestrzenie rzutowe, produkty przestrzeni rzutowych i wiązki nad przestrzenią rzutową .

Odmiany toryczne z tori

Pierwotną motywacją do badania odmian torycznych było zbadanie osadzeń torusów. Mając torus algebraiczny T , grupa znaków Hom( T , C ^x ) tworzy kratę. Mając zbiór punktów A , podzbiór tej sieci, każdy punkt wyznacza mapę na C, a zatem zbiór wyznacza mapę na C ^|A| . Przyjmując domknięcie Zariskiego obrazu takiej mapy, uzyskuje się odmianę afiniczną. Jeśli zbiór punktów sieci A generuje sieć znaków, ta odmiana jest osadzeniem torusa. W podobny sposób można wytworzyć sparametryzowaną projekcyjną odmianę toryczną, biorąc projekcyjne zamknięcie powyższej mapy i oglądanie jej jako mapy w afinicznej plamce przestrzeni projekcyjnej.

Zważywszy na rozmaitość toryczną rzutową, zauważmy, że możemy badać jej geometrię za pomocą podgrup jednoparametrowych. Każda podgrupa jednego parametru, określona przez punkt w siatce, podwójna do sieci znakowej, jest krzywą przebitą wewnątrz rozmaitości torycznej rzutowej. Ponieważ odmiana jest zwarta, ta przebita krzywa ma unikalny punkt graniczny. W ten sposób, dzieląc sieć podgrupy jednoparametrowej przez punkty graniczne krzywych przebitych, otrzymujemy wachlarz sieciowy, zbiór wielościennych stożków wymiernych. Stożki o najwyższym wymiarze odpowiadają dokładnie punktom stałym torusa, granicom tych przebitych krzywych.

Toryczna odmiana fana

Załóżmy, że N jest grupą abelową o skończonym stopniu swobodnej . Silnie wypukły wymierny stożek wielościenny w N to wypukły stożek (rzeczywistej przestrzeni wektorowej N ) z wierzchołkiem na początku, generowany przez skończoną liczbę wektorów N , który nie zawiera prostej przechodzącej przez początek. Będą one w skrócie nazywane „stożkami”.

Dla każdego stożka Ď jego afinicznej toroidalną różnych U _σ jest widmo Algebra półgrupa z podwójnym stożkiem .

Wentylatora to zbiór szyszek zamkniętych pod sobą skrzyżowań i twarze.

Rozmaitość toryczną wachlarza podaje się, biorąc afiniczne odmiany toryczne jego czopków i sklejając je razem, identyfikując U _σ z otwartą podrozmaitością U _τ, gdy σ jest ścianą τ. I odwrotnie, każdy fan silnie wypukłych racjonalnych stożków ma powiązaną odmianę toryczną.

Wachlarz związany z odmianą toryczną kondensuje kilka ważnych danych na temat odmiany. Na przykład odmiana jest gładka, jeśli każdy stożek w wachlarzu może być wygenerowany przez podzbiór podstawy wolnej grupy abelowej N .

Morfizmy odmian torycznych

Załóżmy, że Δ ₁ i Δ ₂ są wachlarzami w sieciach N ₁ i N ₂ . Jeśli f jest liniową mapą od N ₁ do N ₂ taką, że obraz każdego stożka Δ ₁ jest zawarty w stożku Δ ₂ , to f indukuje morfizm f _* między odpowiednimi odmianami torycznymi. Ta mapa f _* jest właściwa wtedy i tylko wtedy, gdy przedobraz |Δ ₂ | pod mapą f to |Δ ₁ |, gdzie |Δ| jest podstawową przestrzenią wachlarza Δ określoną przez połączenie jego stożków.

Rozdzielczość osobliwości

Odmiana toryczna jest nieosobliwa, jeśli jej stożki o maksymalnym wymiarze są generowane przez podstawę sieci. Oznacza to, że każda odmiana toryczna ma rozdzielczość osobliwości podaną przez inną odmianę toryczną, którą można skonstruować, dzieląc maksymalne stożki na stożki nieosobliwych odmian torycznych.

Toryczna odmiana politopu wypukłego

Wachlarz racjonalnego politopu wypukłego w N składa się ze stożków nad jego właściwymi ścianami. Toryczna odmiana politopu jest toryczną odmianą jego wachlarza. Odmianą tej konstrukcji jest wzięcie wymiernego politopu w liczbie podwójnej N i rozmaitości torycznej jej zbioru biegunowego w N .

Odmiana toryczna ma mapę do politopu w dualnym N, którego włókna są tori topologiczne. Na przykład, złożona płaszczyzna rzutowa CP ² może być reprezentowana przez trzy złożone współrzędne spełniające

${\displaystyle |z_{1}|^{2}+|z_{2}|^{2}+|z_{3}|^{2}=1,\,\!}$

gdzie suma została wybrana, aby uwzględnić rzeczywistą przeskalowaną część mapy projekcyjnej, a współrzędne muszą być ponadto zidentyfikowane za pomocą następującego działania U(1) :

${\displaystyle (z_{1},z_{2},z_{3})\ok e^{i\phi}(z_{1},z_{2},z_{3}).\,\!}$

Podejściem geometrii torycznej jest pisanie

${\displaystyle (x,y,z)=(|z_{1}|^{2},|z_{2}|^{2},|z_{3}|^{2}).\\! }$

Współrzędne są nieujemne i parametryzują trójkąt, ponieważ ${\displaystyle x,y,z}$

${\displaystyle x+y+z=1;\,\!}$

to jest,

${\displaystyle \quad z=1-xy.\\!}$

Trójkąt jest toryczną podstawą złożonej płaszczyzny rzutowej. Włókno generyczne to dwa torusy sparametryzowane przez fazy ; faza może być wybrana przez symetrię rzeczywistą i pozytywną . ${\displaystyle z_{1},z_{2}}$${\displaystyle z_{3}}$${\ Displaystyle U(1)}$

Jednakże, zwyrodnieniu dwóch torus w trzech różnych środowisk na granicy tj trójkątem lub lub Ponieważ faza staje się nieskuteczna, odpowiednio. ${\displaystyle x=0}$${\ Displaystyle y = 0}$${\displaystyle z=0}$${\displaystyle z_{1},z_{2},z_{3}}$

Dokładna orientacja okręgów w torusie jest zwykle zobrazowana przez nachylenie interwałów linii (w tym przypadku boków trójkąta).

Związek z symetrią lustrzaną

Idea rozmaitości torycznych jest użyteczna dla symetrii lustrzanej, ponieważ interpretacja pewnych danych wachlarza jako danych wielotopu prowadzi do geometrycznej konstrukcji lustrzanych rozmaitości.

Bibliografia

• Cox, David (2003), „Co to jest odmiana toryczna?” , Zagadnienia z geometrii algebraicznej i modelowania geometrycznego , Contemp. Math., 334 , Providence, RI: Amer. Matematyka. Soc., s. 203–223, MR  2039974
• Cox, David A.; Mały, John B.; Schenck, Hal , Odmiany toryczne
• Daniłow, VI (1978), „Geometria rozmaitości torycznych”, Akademiya Nauk SSSR I Moskovskoe Matematicheskoe Obshchestvo. Uspekhi Matematicheskikh Nauk , 33 (2): 85-134, doi : 10.1070/RM1978v033n02ABEH002305 , ISSN  0042-1316 , MR  0495499
• Fulton, William (1993), Wprowadzenie do odmian torycznych , Princeton University Press , ISBN 978-0-691-00049-7
• Kempf, G.; Knudsen, Finn Faye; Mumford, Dawid ; Saint-Donat, B. (1973), Osadzenia toroidalne. I , Lecture Notes in Mathematics, 339 , Berlin, New York: Springer-Verlag , doi : 10.1007/BFb0070318 , ISBN 978-3-540-06432-9, MR  0335518
• Miller, Ezra (2008), „Co to jest… odmiana toryczna?” (PDF) , Zawiadomienia Amerykańskiego Towarzystwa Matematycznego , 55 (5): 586–587, ISSN  0002-9920 , MR  2404030
• Oda, Tadao (1988), Ciała wypukłe i geometria algebraiczna , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Wyniki w Matematyce i Obszarach Pokrewnych (3)], 15 , Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-17600-8, MR  0922894

Linki zewnętrzne

• Strona domowa DA Coxa, z kilkoma wykładami na temat odmian torycznych

Zobacz też

• Lemat Gordana
• Toryczny ideał
• Stos toryczny (w przybliżeniu uzyskuje się to poprzez zastąpienie kroku liczenia ilorazu GIT przez stos ilorazu )
• Osadzanie toroidalne