Schemat normalny - Normal scheme

W geometrii algebraicznej An algebraiczna odmiany lub system X jest normalna , jeśli jest to normalne w każdym punkcie, to znaczy, że pierścień lokalny w miejscu jest w całości zamknięte domeny . Rozmaitość liniowa X (rozumie się nierozkładalny) jest normalne, wtedy i tylko wtedy, gdy pierścień O ( X ) od zwykłych funkcji na X jest domena integralnie zamknięty. Odmiana X nad ciałem jest normalna wtedy i tylko wtedy, gdy każdy skończony morfizm dwuwymiarowy z dowolnej odmiany Y do X jest izomorfizmem.

Odmiany normalne wprowadził Zariski  ( 1939 , sekcja III).

Geometryczne i algebraiczne interpretacje normalności

Morfizm odmian jest skończony, jeśli odwrotny obraz każdego punktu jest skończony i morfizm jest właściwy . Morfizm odmian jest dwiracyjny, jeśli ogranicza się do izomorfizmu między gęstymi podzbiorami otwartymi. Tak więc, na przykład, krzywa sześcienna wierzchołkowa X w płaszczyźnie afinicznej A ² zdefiniowana przez x ² = y ³ nie jest normalna, ponieważ istnieje skończony morfizm dwuwymiarowy A ¹ → X (mianowicie, t mapuje się do ( t ³ , t ² )), który nie jest izomorfizmem. Natomiast linia afinicznej ¹ normalne: nie może być dalej uproszczone w ograniczonym birational morfizmów.

Normalna złożona odmiana X ma tę właściwość, jeśli postrzega się ją jako przestrzeń warstwową wykorzystującą klasyczną topologię, że każde łącze jest połączone. Równoważnie, każdy punkt zespolony x ma dowolnie małe sąsiedztwa U takie, że U minus pojedynczy zbiór X jest połączony. Na przykład wynika z tego, że węzłowa krzywa sześcienna X na rysunku, zdefiniowana przez x ² = y ² ( y + 1), nie jest normalna. Wynika to również z definicji normalności, ponieważ istnieje skończony morfizm dwuracyjny od A ¹ do X, który nie jest izomorfizmem; wysyła dwa punkty A ¹ do tego samego punktu w X .

Mówiąc bardziej ogólnie, schemat X jest normalny, jeśli każdy z jego lokalnych pierścieni

O _{X, x}

jest domeną integralnie zamkniętą . Oznacza to, że każdy z tych pierścieni jest integralną domeny R , a każdy pierścień S z R ⊆ S ⊆ Frac ( R ) tak, że S jest skończoną generowane jako R -module jest równe R . (Tutaj Frac ( R ) oznacza pole frakcji o R ). Jest to tłumaczenie bezpośrednie, w zależności od lokalnych pierścieni, z warunkiem, że co geometrycznej skończoną birational morfizmem do X oznacza Izomorfizm.

Starsza koncepcja mówi, że podrodzaj X przestrzeni rzutowej jest liniowo normalny, jeśli system liniowy dający osadzenie jest kompletny. Równoważnie, X ⊆ P ⁿ nie jest liniowym rzutem osadzenia X ⊆ P ^{n + 1} (chyba że X jest zawarte w hiperpłaszczyźnie P ⁿ ). Takie jest znaczenie słowa „normalny” w wyrażeniach racjonalna krzywa normalna i racjonalne przewijanie normalne .

Każdy regularny schemat jest normalny. Z drugiej strony Zariski (1939 , twierdzenie 11) wykazał, że każda normalna odmiana jest regularna poza podzbiorem o kodyfikacji co najmniej 2 i podobny wynik jest prawdziwy dla schematów. Na przykład każda normalna krzywa jest regularna.

Normalizacja

Wszelkie zmniejszona schemat X posiada unikalny normalizację : normalny schemat Y z integralną birational morfizmu Y → X . (Dla X odmiany na polu, morfizm Y → X jest skończony, co jest silniejsze niż „całka”). Normalizacja schematu wymiaru 1 jest regularna, a normalizacja schematu wymiaru 2 ma tylko pojedyncze osobliwości . Normalizacja nie jest zwykle używana do rozwiązywania osobliwości dla schematów o większych wymiarach.

Aby zdefiniować normalizację, najpierw załóżmy, że X jest nieredukowalne ograniczonej schemat X . Każdy afinicznej otwarty podzbiór X ma postać Spec R do R integralną domeny . Napisz X jako sumę afinicznych otwartych podzbiorów Spec A _i . Niech B _mogę być integralną zamknięcia z A _ı w zakresie frakcji. Następnie normalizacja X jest definiowana przez sklejenie schematów afinicznych Spec B _i .

Przykłady

Jeśli początkowy schemat nie jest nieredukowalny, normalizacja jest definiowana jako rozłączny związek normalizacji nieredukowalnych składników.

Normalizacja guzka

Rozważmy krzywą afiniczną

${\ Displaystyle C = {\ tekst {Spec}} \ lewo ({\ Frac {k [x, y]} {y ^ {2} -x ^ {5}}} \ prawej)}$

z osobliwością wierzchołka na początku. Jego normalizację można podać na mapie

${\ Displaystyle {\ tekst {Spec}} (k [t]) \ do C}$

indukowane z mapy algebry

${\ displaystyle x \ mapsto t ^ {2}, y \ mapsto t ^ {5}}$

Normalizacja osi w płaszczyźnie afinicznej

Na przykład,

${\ Displaystyle X = {\ tekst {Spec}} (\ mathbb {C} [x, y] / (xy))}$

nie jest schematem nieredukowalnym, ponieważ ma dwa składniki. Jego normalizację daje schemat morfizmu

${\ Displaystyle {\ tekst {Spec}} (\ mathbb {C} [x, r] / (x) \ razy \ mathbb {C} [x, y] / (y)) \ do {\ tekst {Spec} } (\ mathbb {C} [x, y] / (xy))}$

wywołane z dwóch map ilorazowych

${\ Displaystyle \ mathbb {C} [x, r] / (xy) \ do \ mathbb {C} [x, y] / (x, xy) = \ mathbb {C} [x, y] / (x) }$

${\ Displaystyle \ mathbb {C} [x, r] / (xy) \ to \ mathbb {C} [x, y] / (y, xy) = \ mathbb {C} [x, y] / (y) }$

Normalizacja redukowalnej odmiany rzutowej

Podobnie, dla jednorodnych nieredukowalnych wielomianów w UFD, normalizacja ${\ displaystyle f_ {1}, \ ldots, f_ {k}}$

${\ Displaystyle {\ tekst {Proj}} \ lewo ({\ Frac {k [x_ {0}, \ ldots, x_ {n}]} {(f_ {1} \ cdots f_ {k}, g)}} \dobrze)}$

wynika z morfizmu

${\ Displaystyle {\ tekst {Proj}} \ lewo (\ prod {\ Frac {k [x_ {0} \ ldots, x_ {n}]} {(f_ {i}, g)}} \ prawo) \ do {\ text {Proj}} \ left ({\ frac {k [x_ {0}, \ ldots, x_ {n}]} {(f_ {1} \ cdots f_ {k}, g)}} \ right) }$

Zobacz też

• Nie ma lematu normalizacji
• Rozdzielczość osobliwości

Uwagi

Bibliografia

• Eisenbud, David (1995), Algebra przemienna. Z myślą o geometrii algebraicznej. , Graduate Texts in Mathematics , 150 , Berlin, New York: Springer-Verlag , doi : 10.1007 / 978-1-4612-5350-1 , ISBN   978-0-387-94268-1 , MR   1322960
• Hartshorne, Robin (1977), Algebraic Geometry , Graduate Texts in Mathematics , 52 , Nowy Jork: Springer-Verlag, ISBN   978-0-387-90244-9 , MR   0463157 , s. 91
• Zariski, Oscar (1939), „Some Results in the Arithmetic Theory of Algebraic Varieties.”, Amer. J. Math. , 61 (2): 249–294, doi : 10,2307 / 2371499 , JSTOR   2371499 , MR   1507376