Ewolucja czasu - Time evolution

Ewolucja czasowa to zmiana stanu spowodowana upływem czasu , odnosząca się do systemów ze stanem wewnętrznym (zwanych również systemami stanowymi ). W tym sformułowaniu czas nie musi być parametrem ciągłym, ale może być dyskretny lub nawet skończony . W fizyce klasycznej ewolucją czasową zbioru ciał sztywnych rządzą zasady mechaniki klasycznej . W swojej najbardziej szczątkowej postaci zasady te wyrażają związek między siłami działającymi na ciała a ich przyspieszeniem, określonym przez prawa ruchu Newtona . Zasady te mogą być również równoważnie wyrażone bardziej abstrakcyjnie przez mechanikę Hamiltona lub mechanikę Lagrange'a .

Koncepcja ewolucji w czasie może mieć zastosowanie również do innych systemów stanowych. Na przykład działanie maszyny Turinga można uznać za ewolucję w czasie stanu sterowania maszyny wraz ze stanem taśmy (lub ewentualnie wielu taśm), w tym położeniem głowicy odczytująco-zapisującej maszyny (lub głowic). W tym przypadku czas jest dyskretny.

Systemy stanowe często mają podwójne opisy w kategoriach stanów lub w kategoriach obserwowalnych wartości. W takich systemach ewolucja w czasie może również odnosić się do zmiany obserwowalnych wartości. Jest to szczególnie istotne w mechanice kwantowej, gdzie obraz Schrödingera i obraz Heisenberga są (w większości) równoważnymi opisami ewolucji w czasie.

Operatorzy ewolucji czasu

Rozważmy układ z przestrzenią stanów X, dla którego ewolucja jest deterministyczna i odwracalna . Dla konkretności załóżmy również, że czas jest parametrem, który rozciąga się na zbiorze liczb rzeczywistych R . Następnie ewolucja w czasie jest dana przez rodzinę bijektywnych przekształceń stanów

{\ Displaystyle \ operatorname {F} _ {t, s}: X \ rightarrow X \ quad \ forall t, s \ w \ mathbb {R}}

F _{t , s} ( x ) to stan układu w czasie t , którego stan w czasie s wynosi x . Następująca tożsamość posiada

{\ Displaystyle \ nazwa operatora {F} _ {u, t} (\ nazwa operatora {F} _ {t, s} (x)) = \ nazwa operatora {F} _ {u, s} (x).}

Aby zobaczyć, dlaczego tak jest, załóżmy, że x ∈ X jest stanem w czasie s . Wtedy z definicji F, F _{t , s} ( x ) jest stanem układu w czasie t i konsekwentnie stosując definicję jeszcze raz, F _{u , t} ( F _{t , s} ( x )) jest stanem w czasie u . Ale to też jest _{Fu , s} ( x ).

W niektórych kontekstach fizyki matematycznej odwzorowania _{Ft , s} nazywane są „operatorami propagacji” lub po prostu propagatorami . W mechanice klasycznej propagatorami są funkcje operujące w przestrzeni fazowej układu fizycznego. W mechanice kwantowej propagatorami są zwykle operatory unitarne w przestrzeni Hilberta . Propagatory można wyrazić jako uporządkowane w czasie wykładniki zintegrowanego hamiltonianu. Asymptotyczne właściwości ewolucji w czasie są podane przez macierz rozpraszania .

Przestrzeń stanów z wyróżnionym propagatorem nazywana jest również systemem dynamicznym .

Powiedzenie, że ewolucja w czasie jest jednorodna oznacza, że

{\ Displaystyle \ operatorname {F} _ {u, t} = \ operatorname {F} _ {ut, 0} \ quad \ dla wszystkich u, t \ w \ mathbb {R}.}

W przypadku układu jednorodnego odwzorowania G _t = F _{t ,0} tworzą jednoparametrową grupę przekształceń X , czyli

{\ Displaystyle \ nazwa operatora {G} _ {t + s} = \ nazwa operatora {G} _ {t} \ nazwa operatora {G} _ {s}.}

Dla systemów nieodwracalnych operatory propagacji F _{t , s} są zdefiniowane, gdy t ≥ s i spełniają identyczność propagacji

{\ Displaystyle \ nazwa operatora {F} _ {u, t} (\ nazwa operatora {F} _ {t, s} (x)) = \ nazwa operatora {F} _ {u, s} (x). \ quad u\ geq t\geq s.}

W przypadku jednorodnym propagatorami są wykładniki hamiltonianu.

W mechanice kwantowej

W obrazie Schrödingera The operator Hamiltona generuje ewolucję czasową stanów kwantowych. Jeśli to stan systemu w czasie , to ${\ Displaystyle \ lewy | \ psi (t) \ prawy \ rangle }$ $t$

{\ Displaystyle H \ lewo | \ psi (t) \ prawo \ rangle = i \ hbar {\ częściowy \ nad \ częściowy t} \ lewo | \ psi (t) \ prawo \ rangle.}

To jest równanie Schrödingera . Biorąc pod uwagę stan w pewnym początkowym czasie ( ), jeśli jest niezależny od czasu, to unitarny operator ewolucji w czasie jest operatorem wykładniczym, jak pokazano w równaniu $t=0$ ${\ Displaystyle H}$ ${\ Displaystyle U (t)}$

{\ Displaystyle \ lewo | \ psi (t) \ prawo \ rangle = U (t) \ lewo | \ psi (0) \ prawo \ rangle = e ^ {-iHt / \ hbar} \ lewo | \ psi (0) \prawo\rangle .}

Zobacz też

Bibliografia

Ogólne odniesienia

Amann, H.; Arendt, W.; Neubrander, F.; Nicaise, S.; von Below, J. (2008), Amann, Herbert; Arendt, Wolfgang; Hieber, Maciej; Neubrander, Frank M; Nicaise, Serge; von Below, Joachim (red.), Analiza funkcjonalna i równania ewolucji: Tom Güntera Lumera , Bazylea: Birkhäuser, doi : 10.1007/978-3-7643-7794-6 , ISBN 978-3-7643-7793-9, MR 2402015.
Hieronim, ŚJ; Polizzi, E. (2014), „Discretization of the time-dependent systems quantum systems: real time propagation of the evolution operator”, Applicable Analysis , 93 (12): 2574-2597, arXiv : 1309.3587 , doi : 10.1080/00036811.2013.878863 , S2CID 17905545.
Lanford, OE (1975), „Czas ewolucji dużych systemów klasycznych”, w Moser J. (red.), Systemy dynamiczne, teoria i zastosowania , Uwagi do wykładu z fizyki, 38 , Berlin, Heidelberg: Springer, s. 1-111 , doi : 10.1007/3-540-07171-7_1 , ISBN 978-3-540-37505-0.
Lanford, OE; Lebowitz, JL (1975), „Ewolucja czasu i właściwości ergodyczne układów harmonicznych”, w Moser J. (red.), Układy dynamiczne, teoria i zastosowania , Notatki z fizyki, 38 , Berlin, Heidelberg: Springer, s. 144 –177, doi : 10.1007/3-540-07171-7_3 , ISBN 978-3-540-37505-0.

Lumer, Günter (1994), „Równania ewolucyjne. Rozwiązania problemów nieregularnej ewolucji poprzez uogólnione rozwiązania i uogólnione wartości początkowe. Zastosowania do modeli wstrząsów okresowych” , Annales Universitatis Saraviensis , Series Mathematicae, 5 (1), MR 1286099.

Languages

In other projects