System niezmienny w czasie - Time-invariant system

Schemat blokowy ilustrujący niezmienność w czasie dla deterministycznego ciągłego systemu SISO. System jest niezmienny w czasie wtedy i tylko wtedy, gdy przez cały czas , dla wszystkich rzeczywistych stałych i dla wszystkich danych wejściowych . Kliknij obraz, aby go rozwinąć.${\displaystyle y_{2}(t)=y_{1}(t-t_{0})}$${\displaystyle t}$${\displaystyle t_{0}}$${\displaystyle x_{1}(t)}$

Czasu niezmienna (TIV) układ ma czas zależny od działania układu , który nie jest bezpośrednią funkcją czasu. Takie systemy są uważane za klasę systemów w dziedzinie analizy systemowej . Funkcja systemu zależna od czasu jest funkcją funkcji wejścia zależnej od czasu . Jeśli ta funkcja zależy tylko pośrednio od dziedziny czasu (na przykład poprzez funkcję wejściową), to jest to system, który byłby uważany za niezmienny w czasie. I odwrotnie, każdą bezpośrednią zależność od dziedziny czasu funkcji systemu można uznać za „system zmienny w czasie”.

Mówiąc matematycznie, „niezmienność w czasie” systemu jest następującą właściwością:

Biorąc pod uwagę system z zależną od czasu funkcją wyjściową i zależną od czasu funkcją wejściową, system będzie uważany za niezmienny w czasie, jeśli opóźnienie czasowe na wejściu bezpośrednio równa się opóźnieniu czasowemu funkcji wyjściowej . Na przykład, jeśli czas jest „upływem czasu”, to „niezmienność w czasie” oznacza, że ​​związek między funkcją wejściową a funkcją wyjściową jest stały w odniesieniu do czasu :${\displaystyle y(t)}$${\displaystyle x(t);}$${\displaystyle x(t+\delta)}$${\displaystyle y(t+\delta)}$${\displaystyle t}$${\displaystyle x(t)}$${\ Displaystyle y (t)}$${\displaystyle t}$

${\ Displaystyle y (t) = f (x (t), t) = f (x (t)).}$

W języku przetwarzania sygnałów ta właściwość może być spełniona, jeśli funkcja przenoszenia systemu nie jest bezpośrednią funkcją czasu, z wyjątkiem tego, co wyraża wejście i wyjście.

W kontekście schematu systemu właściwość tę można również określić w następujący sposób, jak pokazano na rysunku po prawej stronie:

Jeśli system jest niezmienny w czasie, blok systemu dojeżdża z dowolnym opóźnieniem.

Jeśli system niezmienniczy w czasie jest również liniowy , jest przedmiotem liniowej teorii niezmiennej w czasie (liniowa niezmiennicza w czasie) z bezpośrednimi zastosowaniami w spektroskopii NMR , sejsmologii , obwodach , przetwarzaniu sygnałów , teorii sterowania i innych dziedzinach technicznych. Nieliniowym systemom niezmiennym w czasie brakuje kompleksowej, rządzącej teorii. Dyskretne systemy niezmiennicze w czasie są znane jako systemy niezmienne w czasie . Systemy, które nie mają własności niezmiennej w czasie, są badane jako systemy niezmiennicze w czasie .

Prosty przykład

Aby zademonstrować, jak określić, czy system jest niezmienny w czasie, rozważ dwa systemy:

• System A: ${\ Displaystyle y (t) = tx (t)}$
• System B: ${\ Displaystyle y (t) = 10x (t)}$

Ponieważ Funkcja Systemu dla systemu A jawnie zależy od t poza , nie jest niezmienna w czasie, ponieważ zależność od czasu nie jest jawnie funkcją funkcji wejściowej. ${\ Displaystyle y (t)}$${\displaystyle x(t)}$

W przeciwieństwie do tego, zależność czasowa systemu B jest tylko funkcją zmiennego w czasie sygnału wejściowego . To sprawia, że ​​system B jest niezmienny w czasie . ${\displaystyle x(t)}$

Formalna Przykład Poniżej przedstawiono bardziej szczegółowo systemu, który, gdy B jest przesunięcie o stałej systemu w funkcji czasu t , układ A nie jest.

Formalny przykład

Przedstawiono teraz bardziej formalny dowód na to, dlaczego systemy A i B powyżej się różnią. Do wykonania tego dowodu posłuży się drugą definicją.

System A: Rozpocznij z opóźnieniem wejścia${\ Displaystyle x_ {d} (t) = x (t + \ delta)}$

${\ Displaystyle y (t) = tx (t)}$

${\ Displaystyle y_ {1} (t) = tx_ {d} (t) = tx (t + \ delta)}$

Teraz opóźnij wyjście o ${\ Displaystyle \ delta}$

${\ Displaystyle y (t) = tx (t)}$

${\displaystyle y_{2}(t)=y(t+\delta)=(t+\delta)x(t+\delta)}$

Oczywiście dlatego system nie jest niezmienny w czasie.${\displaystyle y_{1}(t)\neq y_{2}(t)}$

System B: Rozpocznij z opóźnieniem wejścia${\ Displaystyle x_ {d} (t) = x (t + \ delta)}$

${\ Displaystyle y (t) = 10x (t)}$

${\ Displaystyle y_ {1} (t) = 10x_ {d} (t) = 10 x (t + \ delta)}$

Teraz opóźnij wyjście o ${\ Displaystyle \ delta}$

${\ Displaystyle y (t) = 10x (t)}$

${\ Displaystyle y_ {2} (t) = y (t + \ delta ) = 10 x (t + \ delta )}$

Oczywiście , dlatego system jest niezmienny w czasie.${\displaystyle y_{1}(t)=y_{2}(t)}$

Mówiąc bardziej ogólnie, związek między wejściem a wyjściem jest

${\ Displaystyle y (t) = f (x (t), t)}$

a jego zmienność w czasie to

${\ Displaystyle {\ Frac {\ operatorname {d} r}{\ operatorname {d} t}} = {\ Frac {\ częściowy t}} + {\ Frac {\ częściowy t} {\ częściowy x}}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}.}$

W przypadku systemów niezmiennych w czasie właściwości systemu pozostają stałe w czasie,

${\displaystyle {\frac {\częściowy f}{\częściowy t}}=0.}$

Dotyczy systemów A i B powyżej:

${\ Displaystyle f_ {A} = tx (t) \ qquad \ implikuje \ qquad {\ Frac {\ częściowy f_ {A}} {\ częściowy t}} = x (t) \ neq 0}$ ogólnie, więc nie jest niezmienna w czasie,

${\ Displaystyle f_ {B} = 10x (t) \ qquad \ implikuje \ qquad {\ Frac {\ częściowy f_ {B}} {\ częściowy t}} = 0}$ więc jest niezmienna w czasie.

Abstrakcyjny przykład

Operator przesunięcia możemy określić przez gdzie jest to wartość, o jaką należy przesunąć zestaw indeksów wektora . Na przykład system „zaliczka o 1” ${\ Displaystyle \ mathbb {T} _ {r}}$${\ Displaystyle r}$

${\ Displaystyle x (t + 1) = \ delta (t + 1) * x (t)}$

może być reprezentowana w tym abstrakcyjnym zapisie przez

${\ Displaystyle {\ tylda {x}} _ {1} = \ mathbb {T} _ {1} {\ tylda {x}}}$

gdzie jest funkcją podaną przez ${\ Displaystyle {\ tylda {x}}}$

${\ Displaystyle {\ tylda {x}} = x (t) \ forall t \ w \ mathbb {R}}$

z systemem dającym przesuniętą moc

${\ Displaystyle {\ tylda {x}} _ {1} = x (t + 1) \ forall t \ w \ mathbb {R}}$

Czyli operator, który przesuwa wektor wejściowy o 1. ${\ Displaystyle \ mathbb {T} _ {1}}$

Załóżmy, że reprezentujemy system przez operatora . System ten jest niezmienny w czasie, jeśli dojeżdża z operatorem zmiany, tj. ${\ Displaystyle \ mathbb {H}}$

${\ Displaystyle \ mathbb {T} _ {R} \ mathbb {H} = \ mathbb {H} \ mathbb {T} _ {R} \ forall r}$

Jeśli nasze równanie systemowe jest podane przez

${\ Displaystyle {\ tylda {y}} = \ mathbb {H} {\ tylda {x}}}$

wtedy jest niezmienna w czasie, czy możemy zastosować operator systemowy on , po którym następuje operator zmiany , lub możemy zastosować operator zmiany , a następnie operator systemowy , przy czym te dwa obliczenia dadzą równoważne wyniki. ${\ Displaystyle \ mathbb {H}}$${\ Displaystyle {\ tylda {x}}}$${\ Displaystyle \ mathbb {T} _ {r}}$${\ Displaystyle \ mathbb {T} _ {r}}$${\ Displaystyle \ mathbb {H}}$

Zastosowanie operatora systemu w pierwszej kolejności daje

${\ Displaystyle \ mathbb {T} _ {R} \ mathbb {H} {\ tylda {x}} = \ mathbb {T} _ {R} {\ tylda {y}} = {\ tylda {y}} _ {r}}$

Zastosowanie operatora zmiany w pierwszej kolejności daje

${\ Displaystyle \ mathbb {H} \ mathbb {T} _ {R} {\ tylda {x}} = \ mathbb {H} {\ tylda {x}} _ {R}}$

Jeśli system jest niezmienny w czasie, to

${\ Displaystyle \ mathbb {H} {\ tylda {x}} _ {r} = {\ tylda {y}} _ {r}}$

Zobacz też

• Skończona odpowiedź impulsowa
• Sekwencja Sheffera
• Przestrzeń stanów (sterowanie)
• Wykres przepływu sygnału
• Teoria systemu LTI
• System autonomiczny (matematyka)

Bibliografia