System liniowy - Linear system

W teorii układów , A system liniowy jest model matematyczny z układu opartego na wykorzystaniu operatora liniowego . Systemy liniowe zazwyczaj wykazują cechy i właściwości, które są znacznie prostsze niż w przypadku nieliniowym . Jako matematyczna abstrakcja lub idealizacja, systemy liniowe znajdują ważne zastosowania w teorii sterowania automatycznego , przetwarzaniu sygnałów i telekomunikacji . Na przykład, medium propagacyjne dla systemów komunikacji bezprzewodowej może być często modelowane przez systemy liniowe.

Definicja

Schemat blokowy ilustrujący właściwość addytywności dla deterministycznego systemu SISO w czasie ciągłym. System spełnia własność addytywności lub jest addytywny wtedy i tylko wtedy, gdy przez cały czas i dla wszystkich wejść i . Kliknij obraz, aby go rozwinąć.${\displaystyle y_{3}(t)=y_{1}(t)+y_{2}(t)}$${\displaystyle t}$${\displaystyle x_{1}(t)}$${\displaystyle x_{2}(t)}$

Schemat blokowy ilustrujący właściwość jednorodności dla deterministycznego systemu SISO w czasie ciągłym. System spełnia własność jednorodności lub jest jednorodny wtedy i tylko wtedy, gdy przez cały czas , dla wszystkich stałych rzeczywistych i dla wszystkich danych wejściowych . Kliknij obraz, aby go rozwinąć.${\ Displaystyle y_ {2} (t) = a \ y_ {1} (t)}$${\displaystyle t}$${\displaystyle a}$${\displaystyle x_{1}(t)}$

Schemat blokowy ilustrujący zasadę superpozycji dla deterministycznego systemu czasu ciągłego SISO. Do systemu spełnia zasadę superpozycji, a zatem jest liniowa tylko wtedy, gdy przez cały czas dla wszystkich rzeczywistych stałych i i dla wszystkich wejść i . Kliknij obraz, aby go rozwinąć.${\displaystyle y_{3}(t)=a_{1}\,y_{1}(t)+a_{2}\,y_{2}(t)}$${\displaystyle t}$${\displaystyle a_{1}}$${\displaystyle a_{2}}$${\displaystyle x_{1}(t)}$${\displaystyle x_{2}(t)}$

Ogólny układ deterministyczne może być opisana przez operatora, H , która odwzorowuje dane wejściowe, x ( t ) , w funkcji t do wyjścia, y ( t ) , typu czarna skrzynka opisem.

System jest liniowy wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia zasadę superpozycji lub równoważnie zarówno właściwości addytywności, jak i jednorodności, bez ograniczeń (to znaczy dla wszystkich danych wejściowych, wszystkich stałych skalowania i przez cały czas).

Zasada superpozycji oznacza, że ​​liniowa kombinacja wejść do systemu tworzy liniową kombinację poszczególnych wyjść stanu zerowego (tj. wyjść ustawiających warunki początkowe na zero) odpowiadającą poszczególnym wejściom.

W systemie, który spełnia właściwość jednorodności, skalowanie wejścia zawsze powoduje skalowanie odpowiedzi stanu zerowego o ten sam współczynnik. W systemie, który spełnia właściwość addytywności, dodanie dwóch wejść zawsze powoduje dodanie odpowiednich dwóch odpowiedzi stanu zerowego ze względu na poszczególne wejścia.

Matematycznie, dla systemu czasu ciągłego, biorąc pod uwagę dwa dowolne dane wejściowe

${\displaystyle x_{1}(t)}$

${\displaystyle x_{2}(t)}$

jak również ich odpowiednie wyjścia w stanie zerowym

${\ Displaystyle y_ {1} (t) = H \ lewo \ {x_ {1} (t) \ prawo \}}$

${\ Displaystyle y_ {2} (t) = H \ lewo \ {x_ {2} (t) \ prawo \}}$

wtedy układ liniowy musi spełniać

${\ Displaystyle \ alfa y_ {1} (t) + \ beta y_ {2} (t) = H \ lewo \ {\ alfa x_ {1} (t) + \ beta x_ {2} (t) \ prawo \ }}$

dla dowolnych wartości skalarnych α i β , dla dowolnych sygnałów wejściowych x ₁ (t) i x ₂ (t) oraz dla całego czasu t .

System jest następnie zdefiniowany równaniem H ( x ( t )) = y ( t ) , gdzie y ( t ) jest pewną arbitralną funkcją czasu, a x ( t ) jest stanem systemu. Mając y ( t ) i H , układ można rozwiązać dla x ( t ) .

Zachowanie powstałego systemu poddanego złożonym danym wejściowym można opisać jako sumę odpowiedzi na prostsze dane wejściowe. W układach nieliniowych nie ma takiej relacji. Ta matematyczna właściwość sprawia, że ​​rozwiązywanie równań modelowania jest prostsze niż wiele systemów nieliniowych. Dla systemów niezmiennych w czasie jest to podstawa odpowiedzi impulsowej lub metod odpowiedzi częstotliwościowej (patrz teoria systemu LTI ), które opisują ogólną funkcję wejściową x ( t ) w kategoriach impulsów jednostkowych lub składowych częstotliwości .

Typowe równania różniczkowe liniowych systemów niezmienniczych w czasie są dobrze przystosowane do analizy przy użyciu transformaty Laplace'a w przypadku ciągłym i transformaty Z w przypadku dyskretnym (zwłaszcza w implementacjach komputerowych).

Inną perspektywą jest to, że rozwiązania układów liniowych zawierają układ funkcji, które działają jak wektory w sensie geometrycznym.

Powszechnym zastosowaniem modeli liniowych jest opisywanie systemu nieliniowego przez linearyzację . Odbywa się to zwykle dla matematycznej wygody.

Poprzednia definicja systemu liniowego ma zastosowanie do systemów SISO (single-input single-output). Dla MIMO (multiple-output wiele wejść) systemach wejściowych i sygnałów wyjściowych (wektory , , , ) są uważane za zamiast sygnałów wejściowych i wyjściowych ( , , , ). ${\displaystyle {\mathbf {x}}_{1}(t)}$${\displaystyle {\mathbf {x}}_{2}(t)}$${\displaystyle {\mathbf {y}}_{1}(t)}$${\displaystyle {\mathbf {y}}_{2}(t)}$${\displaystyle x_{1}(t)}$${\displaystyle x_{2}(t)}$${\displaystyle Y_{1}(t)}$${\displaystyle y_{2}(t)}$

Definicja układu liniowego jest analogiczne do określenia z liniowego równania różniczkowego się kamienia nazębnego , a transformacji liniowej w liniowym Algebra .

Przykłady

Prosty oscylator harmoniczny przestrzega się równania różniczkowe:

${\ Displaystyle m {\ Frac {d ^ {2} (x)} {dt ^ {2}}} = - kx}$.

Gdyby

${\ Displaystyle H (x (t)) = m {\ Frac {d ^ {2} (x (t))} {dt ^ {2}}} + kx (t)}$,

wtedy H jest operatorem liniowym. Przyjmując y ( t )=0 , możemy przepisać równanie różniczkowe jako H ( x ( t ))= y ( t ) , co pokazuje, że prosty oscylator harmoniczny jest układem liniowym.

Inne przykłady układów liniowych należą te opisane przez , , i dowolnego układu opisanego zwykłych liniowych równań różniczkowych. Systemy opisane przez , , , , , , , oraz system o nieparzystej symetrii składający się z obszaru liniowego i obszaru nasycenia (stałego) są nieliniowe, ponieważ nie zawsze spełniają zasadę superpozycji. ${\ Displaystyle y (t) = k \ x (t)}$${\ Displaystyle y (t) = k \ {\ Frac {\ operatorname {d} x (t)} {\ operatorname {d} t}}}$${\ Displaystyle y (t) = k \ \ int _ {- \ infty} ^ {t} x (\ tau) \ operatorname {d} \ tau}$${\ Displaystyle y (t) = k}$${\ Displaystyle y (t) = k \ x (t) + k_ {0}}$${\ Displaystyle y (t) = \ grzech {[x (t)]}}$${\ Displaystyle y (t) = \ cos {[x (t)]}}$${\ Displaystyle y (t) = x ^ {2} (t)}$${\ Displaystyle y (t) = {\ sqrt {x (t)}}}$${\ Displaystyle y (t) = | x (t) |}$

Wykres wyjściowy w funkcji wejściowej systemu liniowego nie musi być linią prostą przechodzącą przez początek układu. Rozważmy na przykład system opisany przez (taki jak kondensator o stałej pojemności lub cewka o stałej indukcyjności ). Jest liniowy, ponieważ spełnia zasadę superpozycji. Jednak gdy wejście jest sinusoidą, wyjście jest również sinusoidą, a więc wykres wyjście-wejście jest elipsą wyśrodkowaną na początku, a nie linią prostą przechodzącą przez początek. ${\ Displaystyle y (t) = k \ {\ Frac {\ operatorname {d} x (t)} {\ operatorname {d} t}}}$

Ponadto wyjście systemu liniowego może zawierać harmoniczne (i mieć mniejszą częstotliwość podstawową niż wejście), nawet jeśli wejście jest sinusoidą. Rozważmy na przykład system opisany przez . Jest liniowy, ponieważ spełnia zasadę superpozycji. Jednakże, gdy wejście jest sinusoidą postaci , używając tożsamości trygonometrycznych iloczyn do sumy można łatwo wykazać, że wyjście jest , to znaczy, że wyjście nie składa się tylko z sinusoid o tej samej częstotliwości co wejście ( 3 rad/s ), ale zamiast sinusoid o częstotliwości 2 rad/s i 4 rad/s ; ponadto, biorąc najmniejszą wspólną wielokrotność podstawowego okresu sinusoid wyjścia, można wykazać, że podstawowa częstotliwość kątowa wyjścia wynosi 1 rad/s , co jest inne niż wejścia. ${\ Displaystyle y (t) = (1,5 + \ cos {(t)}) \ x (t)}$${\ Displaystyle x (t) = \ cos {(3 t)}}$${\ Displaystyle y (t) = 1,5 \ cos {(3 t)} + 0,5 \ cos {(2 t)} + 0,5 \ cos {(4 t)}}$

Zmienna w czasie odpowiedź impulsowa

Impulsowy zmienny w czasie reakcji h ( T ₂ , T ₁ ) układu liniowego zdefiniowane jako odpowiedź systemu w czasie t = T ₂ do jednego impulsu stosowane w czasie t = T ₁ . Innymi słowy, jeśli wejście x ( t ) do układu liniowego to

${\ Displaystyle x (t) = \ delta (t-t_ {1})}$

gdzie δ( t ) reprezentuje funkcję delta Diraca , a odpowiadająca odpowiedź y ( t ) układu jest

${\ Displaystyle y (t) | _ {t = t_ {2}} = h (t_ {2}, t_ {1})}$

wtedy funkcja h ( t ₂ , t ₁ ) jest zmienną w czasie odpowiedzią impulsową układu. Ponieważ system nie może odpowiedzieć przed zastosowaniem danych wejściowych, musi być spełniony następujący warunek przyczynowości :

${\displaystyle h(t_{2},t_{1})=0,t_{2}<t_{1}}$

Całka splotowa

Wyjście dowolnego ogólnego układu liniowego w czasie ciągłym jest powiązane z wejściem przez całkę, która może być zapisana w podwójnie nieskończonym zakresie ze względu na warunek przyczynowości:

${\ Displaystyle y (t) = \ inft _ {- \ infty} ^ {t} h (t, t ') x (t ') dt '= \ inft _ {- \ infty} ^ {\ infty} h ( t,t')x(t')dt'}$

Jeśli właściwości systemu nie zależą od czasu, w którym działa, to mówi się, że jest on niezmienny w czasie, a h jest funkcją tylko różnicy czasu τ = t − t', która wynosi zero dla τ < 0 ( mianowicie t < t' ). Poprzez redefinicję h można wtedy zapisać relację input-output równoważnie w dowolny ze sposobów,

${\ Displaystyle y (t) = \ inft _ {- \ infty} ^ {t} h (t-t ') x (t ') dt '= \ inft _ {- \ infty} ^ {\ infty} h ( t-t')x(t')dt'=\int _{-\infty }^{\infty }h(\tau )x(t-\tau )d\tau =\int _{0}^{ \infty }h(\tau )x(t-\tau )d\tau }$

Liniowe systemy niezmiennicze w czasie charakteryzują się najczęściej transformatą Laplace'a funkcji odpowiedzi impulsowej zwanej transmitancją, która wynosi:

${\ Displaystyle H (s) = \ int _ {0} ^ {\ infty} h (t) e ^ {-st} \ dt.}$

W zastosowaniach jest to zwykle wymierna funkcja algebraiczna s . Ponieważ h ( t ) wynosi zero dla ujemnego t , całkę można w równym stopniu zapisać w zakresie podwójnie nieskończonym , a umieszczenie s = iω wynika ze wzoru na funkcję odpowiedzi częstotliwościowej :

${\ Displaystyle H (i \ omega ) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} h (t) e ^ {-i \ omega t} dt}$

Systemy czasu dyskretnego

Wyjście dowolnego dyskretnego systemu liniowego w czasie jest powiązane z wejściem przez zmienną w czasie sumę splotów:

${\ Displaystyle y [n] = \ suma _ {m = - \ infty} ^ {n} {h [n, m] x [m]} = \ suma _ {m = - \ infty} ^ {\ infty} {h[n,m]x[m]}}$

lub równoważnie dla systemu niezmiennego w czasie na przedefiniowaniu h(),

${\ Displaystyle y [n] = \ suma _ {k = 0} ^ {\ infty} {h [k] x [nk]} = \ suma _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} {h [ k]x[nk]}}$

gdzie

${\displaystyle k=nm\,}$

reprezentuje czas opóźnienia między bodźcem w czasie m a reakcją w czasie n .

Zobacz też

• Liniowy układ dzielników w geometrii algebraicznej
• Niezmienny system zmiany
• Liniowy system niezmienny w czasie
• System nieliniowy
• Analiza systemu
• Układ równań liniowych

Bibliografia