Disphenoid - Disphenoid
W geometrii , disphenoid (z greckiego sphenoeides, "wedgelike") to czworościan, którego cztery ściany są przystającymi trójkątami o ostrych kątach. Można go również opisać jako czworościan, w którym każde dwie przeciwległe krawędzie mają równą długość. Inne nazwy tego samego kształtu są klinowej , bisphenoid , równoramiennego czworościan , equifacial czworościan , prawie czworościanu foremnego i tetramonohedron .
Wszystkie kąty bryłowe i figury wierzchołków wyrostka zębodołowego są takie same, a suma kątów twarzy na każdym wierzchołku jest równa dwóm kątom prostym . Jednak disphenoid nie jest regularnym wielościanem , ponieważ na ogół jego ściany nie są regularnymi wielokątami , a jego krawędzie mają trzy różne długości.
Przypadki szczególne i uogólnienia
Jeśli ściany niefenoidy są trójkątami równobocznymi , jest to regularny czworościan o symetrii czworościennej T d , chociaż nie jest to zwykle nazywane disphenoidem. Kiedy twarze disphenoidu są trójkątami równoramiennymi , nazywa się to tetragonalnym disphenoidem . W tym przypadku ma symetrię dwuścienną D 2d . Klinowej z trójkątów różnoboczny jak jego powierzchni jest nazywana rombowy disphenoid i ma D 2 dwuścienny symetrię. W przeciwieństwie do tetragonalnego disphenoid, rombowy disphenoid nie ma symetrii odbicia , więc jest chiralny . Zarówno czworokątne, jak i rombowe, są izoedrami : oprócz tego, że są do siebie przystające, wszystkie ich twarze są względem siebie symetryczne.
Nie jest możliwe zbudowanie disphenoidu z prostokątnymi trójkątami lub rozwartymi ścianami trójkąta . Kiedy trójkąty prostokątne są sklejone ze sobą na wzór disphenoidu, tworzą płaską figurę (podwójnie zakryty prostokąt), która nie obejmuje żadnej objętości. Kiedy rozwarte trójkąty są sklejane w ten sposób, uzyskana powierzchnia może być złożona, aby utworzyć disphenoid (według twierdzenia Aleksandrowa o niepowtarzalności ), ale taki z ostrymi trójkątami i krawędziami, które na ogół nie leżą wzdłuż krawędzi danych trójkątów rozwartych.
Dwa kolejne typy czworościanów uogólniają disphenoid i mają podobne nazwy. Digonal disphenoid ma twarze z dwóch różnych kształtach, zarówno równoramienny trójkąt z dwoma powierzchniami każdego kształtu. Phyllic disphenoid podobnie ma dwie twarze z kształtach trójkątów różnoboczny.
Disphenoidy można również postrzegać jako antypryzmaty digonalne lub naprzemienne pryzmaty czworokątne .
Charakteryzacje
Czworościan jest disphenoidem wtedy i tylko wtedy, gdy jego ograniczony równoległościan jest prostokątny.
Mamy również, że czworościan jest wysepką wtedy i tylko wtedy, gdy środek w opisanej sferze i wpisanej sferze pokrywają się.
Kolejne stany charakteryzujące że jeśli d 1 , d 2 , a d 3 są wspólne pionowymi AB i CD ; AC i BD ; i AD i BC odpowiednio czworościanu ABCD , a następnie w Tetrahedron jest disphenoid wtedy i tylko wtedy, d 1 , d 2 , a d 3 są parami prostopadłe .
Disphenoidy są jedynymi wielościanami, które mają nieskończenie wiele nie przecinających się samych siebie zamkniętych geodezji . Na niefenoidzie wszystkie zamknięte geodezje nie przecinają się same.
Disphenoidy to czworościany, w których wszystkie cztery ściany mają ten sam obwód , czworościany, w których wszystkie cztery ściany mają tę samą powierzchnię, oraz czworościany, w których wady kątowe wszystkich czterech wierzchołków są równe π . Są to wielościany posiadające siatkę w kształcie trójkąta ostrego, podzieloną na cztery podobne trójkąty odcinkami łączącymi punkty środkowe krawędzi.
Formuły metryczne
Objętość z disphenoid z przeciwległymi krawędziami o długości l , m i n jest przez
Ograniczona kula ma promień (promień circumradius)
a wpisana kula ma promień
gdzie V to objętość disphenoidu, a T to powierzchnia dowolnej twarzy, którą określa wzór Herona . Istnieje również następująca interesująca zależność łącząca objętość i promień obwodu:
Kwadraty długości bimedian to
Inne właściwości
Jeśli cztery ściany czworościanu mają ten sam obwód, to czworościan jest niefenoidem.
Jeśli cztery ściany czworościanu mają tę samą powierzchnię, jest to disphenoid.
Środki w opisanych i wpisanych sferach pokrywają się z centroidem wyrostka zębodołowego.
Bimediany są prostopadłe do krawędzi, które łączą, i do siebie nawzajem.
Plaster miodu i kryształy
Niektóre tetragonalne disphenoidy utworzą plastry miodu . Disphenoid, którego cztery wierzchołki to (-1, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 1) i (0, 1, -1), jest takim disphenoidem. Każdy z czterech ścian jest trójkąt równoramienny o krawędzi długości √ 3 , √ 3 i 2. Może mozaikowo przestrzeń tworzą disphenoid tetraedrycznymi plastra miodu . Jak opisuje Gibb (1990) , można go złożyć bez cięcia lub nakładania z pojedynczego arkusza papieru A4 .
„Dispenoid” jest również używany do opisania dwóch form kryształu :
- Forma krystaliczna w kształcie klina układu tetragonalnego lub rombowego . Ma cztery trójkątne ściany, które są jednakowe i które odpowiadają swoim położeniom naprzemiennym ścianom dwupiramidy czworokątnej lub rombowej . Jest symetryczny względem każdej z trzech wzajemnie prostopadłych diad osi symetrii we wszystkich klasach z wyjątkiem tetragonalnej-disfenoidalnej, w której forma jest generowana przez odwrotną tetradową oś symetrii.
- Forma krystaliczna ograniczona ośmioma trójkątami skalenicznymi ułożonymi w pary, tworzącymi czworokątny skalenoedr .
Inne zastosowania
Sześć tetragonalnych disphenoidów połączonych od końca do końca w pierścień tworzy kalejdocykl , papierową zabawkę, która może obracać się na 4 zestawach twarzy w sześciokącie.
Zobacz też
- Czworościan ortocentryczny
- Snub disphenoid - bryła Johnsona z 12 ścianami trójkąta równobocznego i symetrią D 2d .
- Trójkątny czworościan
Bibliografia
- ^ Coxeter, HSM (1973), Regular Polytopes (3rd ed.), Dover Publications, str. 15 , ISBN 0-486-61480-8 CS1 maint: zniechęcony parametr ( link )
- ^ a b Whittaker, EJW (2013), Crystallography: An Introduction for Earth Science (and other Solid State) Students , Elsevier, s. 89, ISBN 9781483285566 .
- ^ a b Leech, John (1950), „Some properties of the isosceles tetrahedron”, The Mathematical Gazette , 34 (310): 269–271, doi : 10.2307 / 3611029 , JSTOR 3611029 , MR 0038667 CS1 maint: zniechęcony parametr ( link ) .
- ^ Hajja, Mowaffaq; Walker, Peter (2001), „Equifacial tetrahedra”, International Journal of Mathematical Education in Science and Technology , 32 (4): 501–508, doi : 10.1080 / 00207390110038231 , MR 1847966 , S2CID 218495301 .
- ^ a b Akiyama, Jin (2007), "Tile-makers and semi-tile-makers", American Mathematical Monthly , 114 (7): 602–609, doi : 10.1080 / 00029890.2007.11920450 , JSTOR 27642275 , MR 2341323 , S2CID 32897155 CS1 maint: zniechęcony parametr ( link ) .
- ^ Demaine Erik ; O'Rourke, Joseph (2007), Geometric Folding Algorithms , Cambridge University Press, s. 424, ISBN 978-0-521-71522-5 CS1 maint: zniechęcony parametr ( link ) .
- ^ a b Petitjean, Michel (2015), „Najbardziej chiralny disphenoid” (PDF) , MATCH Communications in Mathematical and in Computer Chemistry , 73 (2): 375–384, MR 3242747 .
- ^ a b c Andreescu, Titu; Gelca, Razvan (2009), Mathematical Olympiad Challenges (2nd ed.), Birkhäuser, s. 30–31 .
- ^ a b c d Brown, BH (kwiecień 1926), „Theorem of Bang. Isosceles tetrahedra”, Undergraduate Mathematics Clubs: Club Topics, American Mathematical Monthly , 33 (4): 224–226, doi : 10.1080 / 00029890.1926.11986564 , JSTOR 2299548 .
- ^ Fuchs, Dmitry ; Fuchs, Ekaterina (2007), „Closed geodesics on regular polyhedra” (PDF) , Moscow Mathematical Journal , 7 (2): 265–279, 350, doi : 10.17323 / 1609-4514-2007-7-2-265-279 , MR 2337883 CS1 maint: zniechęcony parametr ( link ) .
- ^ a b c d e f g Leech, John (1950), „Some properties of the isosceles tetrahedron”, Mathematical Gazette , 34 (310): 269–271, doi : 10.2307 / 3611029 , JSTOR 3611029 .
- ^ Coxeter (1973 , s. 71–72).
- ^ Senechal, Marjorie (1981), „Which tetrahedra fill space?”, Mathematics Magazine , 54 (5): 227–243, doi : 10.2307 / 2689983 , JSTOR 2689983 , MR 0644075 CS1 maint: zniechęcony parametr ( link )
- ^ Gibb, William (1990), „Wzory papieru: solidne kształty z papieru metrycznego”, Mathematics in School , 19 (3): 2–4 Przedrukowano w Pritchard, Chris, wyd. (2003), The Changing Shape of Geometry: Celebrating a Century of Geometry and Geometry Teaching , Cambridge University Press, str. 363–366, ISBN 0-521-53162-4