Rozwiązania równań pola Einsteina - Solutions of the Einstein field equations

Tam, gdzie to stosowne, w tym artykule zostanie użyta notacja indeksu abstrakcyjnego .

Rozwiązania równań pola Einsteina są czasoprzestrzeniami, które wynikają z rozwiązania równań pola Einsteina (EFE) ogólnej teorii względności . Rozwiązanie równań pola daje rozmaitość Lorentza . Rozwiązania są ogólnie klasyfikowane jako dokładne lub niedokładne .

Równania pola Einsteina są

{\ Displaystyle G_ {ab} + \ Lambda g_ {ab} \, = \ kappa T_ {ab},}

gdzie jest tensor Einsteina , jest stałą kosmologiczną (czasami przyjmowaną jako zero dla uproszczenia), jest tensorem metrycznym , jest stałą i jest tensorem naprężenia i energii . ${\ displaystyle G_ {ab}}$ ${\ displaystyle \ Lambda}$ ${\ displaystyle g_ {ab}}$ ${\ displaystyle \ kappa}$ ${\ displaystyle T_ {ab}}$

Równania pola Einsteina wiążą tensor Einsteina z tensorem naprężenia-energii, który reprezentuje rozkład energii, pędu i naprężenia w rozmaitości czasoprzestrzeni. Tensor Einsteina jest zbudowany z tensora metrycznego i jego pochodnych cząstkowych; tak więc, biorąc pod uwagę tensor naprężenia i energii, równania pola Einsteina są układem dziesięciu równań różniczkowych cząstkowych, w których można rozwiązać tensor metryczny.

Rozwiązywanie równań

Ważne jest, aby zdać sobie sprawę, że same równania pola Einsteina nie wystarczają w wielu przypadkach do określenia ewolucji układu grawitacyjnego. Zależą one od tensora energii naprężenia , który zależy od dynamiki materii i energii (np. Trajektorii poruszających się cząstek), która z kolei zależy od pola grawitacyjnego. Jeśli interesuje nas tylko granica słabego pola teorii, dynamikę materii można obliczyć za pomocą specjalnych metod względności i / lub praw grawitacji Newtona, a następnie wynikający z tego tensor naprężenia i energii można podłączyć do równań pola Einsteina. Ale jeśli wymagane jest dokładne rozwiązanie lub rozwiązanie opisujące silne pola, ewolucję metryki i tensora energii naprężenia należy rozwiązać razem.

Aby otrzymać rozwiązania, odpowiednie równania to wyżej zacytowane EFE (w dowolnej postaci) plus równanie ciągłości (w celu określenia ewolucji tensora naprężenia i energii):

{\ Displaystyle T ^ {ab} {} _ {; b} \, = 0 \ ,.}

To zdecydowanie za mało, ponieważ istnieje tylko 14 równań (10 z równań pola i 4 z równania ciągłości) dla 20 niewiadomych (10 składowych metrycznych i 10 składowych tensorowych naprężeń i energii). Brak równań stanu . W najbardziej ogólnym przypadku łatwo zauważyć, że potrzeba jeszcze co najmniej 6 równań, prawdopodobnie więcej, jeśli istnieją wewnętrzne stopnie swobody (takie jak temperatura), które mogą się zmieniać w czasoprzestrzeni.

W praktyce zwykle można uprościć problem zastępując pełny zestaw równań stanu prostym przybliżeniem. Niektóre typowe przybliżenia to:

Próżnia :

{\ displaystyle T_ {ab} \, = 0}

Idealny płyn :

{\ Displaystyle T_ {ab} \, = (\ rho + p) u_ {a} u_ {b} + pg_ {ab}}

gdzie

{\ Displaystyle u ^ {a} u_ {a} = - 1 \!}

Tutaj jest gęstość masy i energii mierzona w chwilowym układzie współbieżnym, to pole wektorowe o 4 prędkościach płynu i to ciśnienie. ${\ displaystyle \ rho}$ ${\ displaystyle u_ {a}}$ ${\ displaystyle p}$

Pył nieoddziałujący (szczególny przypadek doskonałego płynu):

{\ displaystyle T_ {ab} \, = \ rho u_ {a} u_ {b}}

Aby uzyskać doskonały płyn, należy dodać inne równanie stanu dotyczące gęstości i ciśnienia . To równanie będzie często zależeć od temperatury, więc wymagane jest równanie dotyczące wymiany ciepła lub postulat, że przenoszenie ciepła można pominąć. ${\ displaystyle \ rho}$ ${\ displaystyle p}$

Następnie zauważ, że tylko 10 z pierwotnych 14 równań jest niezależnych, ponieważ równanie ciągłości jest konsekwencją równań Einsteina. Odzwierciedla to fakt, że system jest niezmienniczy dla skrajni (generalnie, przy braku pewnej symetrii, jakikolwiek wybór sieci współrzędnych krzywoliniowych w tym samym układzie odpowiadałby numerycznie różnemu rozwiązaniu). Potrzebne jest „ustalenie skrajni”, tj. Musimy nałożyć 4 (dowolne) ograniczenia na układ współrzędnych w celu uzyskania jednoznacznych wyników. Te ograniczenia są znane jako warunki współrzędnych . ${\ Displaystyle T ^ {ab} {} _ {; b} = 0}$

Popularny wybór miernika jest tak zwany „miernik De Donder”, znany również jako harmonicznego stanu lub harmonicznej skrajni

{\ Displaystyle g ^ {\ mu \ nu} \ Gamma _ {\ mu \ nu} ^ {\ sigma} = 0 \ ,.}

W numerycznej teorii względności preferowanym miernikiem jest tak zwana „dekompozycja 3 + 1”, oparta na formalizmie ADM . W tym rozkładzie metryka jest zapisywana w formie

{\ Displaystyle ds ^ {2} \, = (- N + N ^ {i} N ^ {j} \ gamma _ {ij}) dt ^ {2} + 2N ^ {i} \ gamma _ {ij} dtdx ^ {j} + \ gamma _ {ij} dx ^ {i} dx ^ {j}}

, gdzie

{\ displaystyle i, j = 1 \ kropki 3 \ ,.}

${\ displaystyle N}$ i są funkcjami współrzędnych czasoprzestrzeni i mogą być dowolnie wybierane w każdym punkcie. Pozostałe fizyczne stopnie swobody są zawarte w programie , który reprezentuje metrykę Riemanna na 3-hiperpowierzchniach . Na przykład, naiwny wybór , odpowiadałby tak zwanemu synchronicznemu układowi współrzędnych: takim, w którym współrzędna t pokrywa się z odpowiednim czasem dla każdego obserwatora (cząstka poruszająca się po ustalonej trajektorii). ${\ Displaystyle N ^ {i}}$ ${\ displaystyle \ gamma _ {ij}}$ ${\ displaystyle t = const}$ ${\ Displaystyle N = 1}$ ${\ Displaystyle N_ {i} = 0}$ ${\ displaystyle x ^ {i}}$

Po wybraniu równań stanu i ustaleniu miernika można rozwiązać cały zestaw równań. Niestety, nawet w najprostszym przypadku pola grawitacyjnego w próżni (zanikający tensor naprężenia – energii), problem okazuje się zbyt złożony, aby można go było dokładnie rozwiązać. Aby uzyskać fizyczne wyniki, możemy skorzystać z metod numerycznych ; próbować znaleźć dokładne rozwiązania , narzucając symetrie ; lub spróbuj podejść pośrednich, takich jak metody zaburzeń lub liniowe przybliżenia tensora Einsteina .

Dokładne rozwiązania

Dokładne rozwiązania to metryki Lorentza, które są zgodne z fizycznie realistycznym tensorem energii naprężenia i które są otrzymywane przez rozwiązanie EFE dokładnie w postaci zamkniętej .

Zewnętrzne odniesienia

Artykuł Scholarpedia na ten temat napisany przez Malcolma MacCalluma

Niedokładne rozwiązania

Rozwiązania, które nie są dokładne, nazywane są rozwiązaniami niedokładnymi . Takie rozwiązania wynikają głównie z trudności rozwiązania EFE w formie zamkniętej i często przybierają postać przybliżeń do układów idealnych. Wiele niedokładnych rozwiązań może być pozbawionych fizycznej treści, ale służą jako użyteczne kontrprzykłady do przypuszczeń teoretycznych.

Al Momin argumentuje, że rozwiązanie tych równań Kurta Gödla nie opisuje naszego Wszechświata i dlatego jest przybliżeniem.

Aplikacje

Istnieją praktyczne i teoretyczne powody badania rozwiązań równań pola Einsteina.

Z czysto matematycznego punktu widzenia interesująca jest znajomość zestawu rozwiązań równań pola Einsteina. Niektóre z tych rozwiązań są parametryzowane przez jeden lub więcej parametrów.

Zobacz też

Bibliografia

JA Wheeler; C. Misner; KS Thorne (1973). Grawitacja . ISBN WH Freeman & Co. 0-7167-0344-0 .
JA Wheeler; I. Ciufolini (1995). Grawitacja i bezwładność . Princeton University Press . ISBN 978-0-691-03323-5 .
RJA Lambourne (2010). Względność, grawitacja i kosmologia . The Open University , Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-13138-4 .

Languages

In other projects