Cohomology pierścień - Cohomology ring

W matematyce , zwłaszcza algebraicznej topologii The pierścień kohomologie z przestrzeni topologicznej X jest pierścień utworzony z kohomologii grupy X razem z produktem kubka służącą jako mnożenie pierścienia. Tutaj kohomologie "rozumie się zwykle jako pojedynczej kohomologiami , lecz struktura pierścieniowa jest również obecny w innych teorii, jak Kompleks de Rhama . Jest również functorial : dla ciągłego odwzorowania przestrzeni uzyskuje się homomorfizm pierścień na pierścieniach kohomologii, który kontrawariantny.

W szczególności, biorąc pod uwagę kolejność grup kohomologii H ^K ( X , R ) z X o współczynnikach w przemiennej pierścienia R (zwykle R jest Z _n , Z , Q , R , i C ) można określić produkt miseczki , który przyjmuje Formularz

${\ Displaystyle H ^ k} {x; (R) \ h czasu ^ {\ ell} (X, R) \ H ^ {k + \ ell} (X, R).}$

Produkt filiżanka daje mnożenia na sumę prostą grup kohomologii

${\ Displaystyle H ^ {\ pocisk} (X, R) = \ _ bigoplus {k \ w \ mathbb {N}} H ^ {k} (X, R).}$

Mnożenia obraca H ^• ( X , R ) na pierścieniu. W rzeczywistości, naturalnie jest N - klasyfikowane pierścień z dodatnią liczbą całkowitą K służy jako stopień. Produkt kubek szanuje tę klasyfikację.

Pierścień cohomology jest oceniana-przemienne w tym sensie, że produkt puchar dojeżdża się do znaku ustalonej przez stopniowania. W szczególności, dla czystych składników stopni K a £ -l; mamy

${\ Displaystyle (\ a ^ {k} \ uśmiechu \ p ^ {\ ell}) = (- 1) ^ {k \ ell} (\ p ^ {\ ell} \ uśmiechu \ a ^ {k}).}$

Niezmienna liczbowa pochodzący od pierścienia kohomologii jest kubek długości , co oznacza, że maksymalna liczba elementów sklasyfikowanych stopniu co najmniej 1, która po pomnożeniu dają wynik niezerową. Na przykład kompleks rzutowa przestrzeń ma kielich długości równej swojej złożonej wymiaru .

Przykłady

• ${\ Displaystyle \ OperatorName {H} ^ {*} (\ mathbb {R} P ^ {A}, \ mathbb {f} _ {2}) = \ mathbb {f} _ {2} [\ a] / ( \ a ^ {n + 1})}$gdzie .${\ Displaystyle | \ a | = 1}$
• ${\ Displaystyle \ OperatorName {H} ^ {*} (\ mathbb {R} P ^ {\ infty;} \ mathbb {f} _ {2}) = \ mathbb {f} _ {2} [\ a]}$gdzie .${\ Displaystyle | \ a | = 1}$
• Przez wzorze Künneth , kohomologii pierścień 2 mod n produktów jest wielomianem pierścień n zmiennymi współczynników .${\ Displaystyle \ mathbb {R} P ^ {\ infty}}$${\ Displaystyle \ mathbb {f} _ {2}}$

Zobacz też

• Quantum cohomology

Referencje

• Novikov, SP (1996). Topologia I, General Survey . Springer-Verlag. ISBN  7-03-016673-6 .
• Hatcher, Allen (2002), topologii algebraicznej , Cambridge: Cambridge University Press, ISBN  0-521-79540-0,