Zdejmowana osobliwość - Removable singularity

Wykres paraboli z usuwalną osobliwością przy  x  = 2

W złożonej analizy , A wyjmowane osobliwości o holomorficznej funkcją jest punktem, w którym ta funkcja jest zdefiniowana, ale możliwe jest ponowne określenie funkcji w tym punkcie w taki sposób, że uzyskana funkcja jest regularne w sąsiedztwie tego punktu.

Na przykład (nieznormalizowana) funkcja sinc

${\displaystyle {\text{sinc}}(z)={\frac {\sin z}{z}}}$

ma osobliwości w Z = 0. osobliwość można usunąć przez określenie , który jest ograniczenie z co oo tendencję do 0. Funkcja otrzymaną mieszaninę holomorficzny. W tym przypadku problem był spowodowany otrzymaniem nieokreślonej formy . Rozwinięcie serii potęg wokół punktu osobliwego pokazuje, że ${\displaystyle {\text{sinc}}(0):=1}$${\displaystyle {\text{sinc}}}$${\displaystyle {\text{sinc}}}$${\displaystyle {\frac {\sin(z)}{z}}}$

${\displaystyle {\text{sinc}}(z)={\frac {1}{z}}\left(\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}z^{2k+1}}{(2k+1)!}}\right)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}z^{2k}}{(2k+1)!}}=1-{\frac {z^{2}}{3!}}+{\frac {z^{4}}{5!}}-{\frac {z^{6}}{7!}}+\cdots .}$

Formalnie, jeśli jest otwarte podzestawu na płaszczyźnie zespolonej , punktu , a to holomorficzny funkcja , to nazywa się wymienny osobliwości o jeżeli istnieje holomorficznymi funkcja , która pokrywa się na . Mówimy, że jest holomorficznie rozszerzalny, jeśli taki istnieje. ${\displaystyle U\subset \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle a\in U}$${\displaystyle U}$${\displaystyle f:U\setminus \{a\}\rightarrow \mathbb {C} }$${\displaystyle a}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g:U\rightarrow \mathbb {C} }$${\displaystyle f}$${\displaystyle U\setminus \{a\}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle U}$${\displaystyle g}$

Twierdzenie Riemanna

Twierdzenie Riemanna o usuwalnych osobliwościach wygląda następująco:

Implikacje 1 ⇒ 2 ⇒ 3 ⇒ 4 są trywialne. Aby udowodnić 4 ⇒ 1, najpierw przypomnimy sobie, że holomorfia funkcji w jest równoważna jej analityczności w ( dowód ), tj. posiada reprezentację szeregu potęgowego. Definiować ${\displaystyle a}$${\displaystyle a}$

${\displaystyle h(z)={\begin{cases}(z-a)^{2}f(z)&z\neq a,\\0&z=a.\end{cases}}}$

Najwyraźniej h jest holomorficzny na , i istnieje ${\displaystyle D\setminus \{a\}}$

${\displaystyle h'(a)=\lim _{z\to a}{\frac {(z-a)^{2}f(z)-0}{z-a}}=\lim _{z\to a}(z-a)f(z)=0}$

przez 4, a więc H jest holomorficzny na D i ma szereg Taylora o :

${\displaystyle h(z)=c_{0}+c_{1}(z-a)+c_{2}(z-a)^{2}+c_{3}(z-a)^{3}+\cdots \,.}$

Mamy c ₀ = h ( a ) = 0 i c ₁ = h ' ( a ) = 0; W związku z tym

${\displaystyle h(z)=c_{2}(z-a)^{2}+c_{3}(z-a)^{3}+\cdots \,.}$

Stąd, gdzie z  ≠  a , mamy:

${\displaystyle f(z)={\frac {h(z)}{(z-a)^{2}}}=c_{2}+c_{3}(z-a)+\cdots \,.}$

Jednakże,

${\displaystyle g(z)=c_{2}+c_{3}(z-a)+\cdots \,.}$

jest holomorficzny na D , stąd rozszerzenie f .

Inne rodzaje osobliwości

W przeciwieństwie do funkcji zmiennej rzeczywistej, funkcje holomorficzne są wystarczająco sztywne, aby ich izolowane osobliwości można było całkowicie sklasyfikować. Osobliwość funkcji holomorficznej albo wcale nie jest osobliwością, tj. osobliwością usuwalną, albo jednym z dwóch następujących typów:

1. W świetle twierdzenia Riemanna, mając nieusuwalną osobliwość, można by zapytać, czy istnieje liczba naturalna taka, że . Jeśli tak, to nazywa się Polak od a najmniejszy taki jest rozkaz z . Tak więc usuwalne osobliwości są dokładnie biegunami rzędu 0. Funkcja holomorficzna wybucha równomiernie w pobliżu innych biegunów.${\displaystyle m}$${\displaystyle \lim _{z\rightarrow a}(z-a)^{m+1}f(z)=0}$${\displaystyle a}$${\displaystyle f}$${\displaystyle m}$${\displaystyle a}$
2. Jeśli odosobnionym osobliwość stanowi to ani zdejmowany, ani Polakiem, to nazywa się istotnie osobliwym . W Wielkiej Picard twierdzenie pokazuje, że takie Mapy co przebite otwarte otoczenie do całej płaszczyźnie zespolonej, z możliwym wyjątkiem co najwyżej jeden punkt.${\displaystyle a}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle U\setminus \{a\}}$

Zobacz też

• Pojemność analityczna
• Usuwalna nieciągłość

Linki zewnętrzne

• Zdejmowany punkt osobliwy w Encyklopedii Matematyki