Regularna liczba pierwsza - Regular prime

Nierozwiązany problem w matematyce :

Czy istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych regularnych, a jeśli tak, to czy ich gęstość względna ? ${\ Displaystyle e ^ {-1/2}}$

(więcej nierozwiązanych problemów z matematyki)

W teorii liczb , o regularnym prime jest szczególnym rodzajem liczby pierwszej , zdefiniowane przez Ernst Kummer w 1850 roku w celu udowodnienia pewnych przypadkach Wielkie Twierdzenie Fermata . Regularne bodźce mogą być określone poprzez podzielności którejkolwiek numerów klasowych lub liczb Bernoulliego .

Kilka pierwszych regularnych liczb pierwszych nieparzystych to:

3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 41, 43, 47, 53, 61, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 107, 109, 113, 127, 137, 139, 151, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, ... (sekwencja A007703 w OEIS ).

Historia i motywacja

W 1850 Kummer udowodnił, że ostatnie twierdzenie Fermata jest prawdziwe dla wykładnika pierwszego p, jeśli p jest regularne. Skupiło to uwagę na nieregularnych liczbach pierwszych. W 1852 Genocchi był w stanie udowodnić, że pierwszy przypadek Wielkiego Twierdzenia Fermata jest prawdziwy dla wykładnika p , jeśli ( p , p − 3) nie jest parą nieregularną. Kummer poprawił to dalej w 1857 roku, pokazując, że w „pierwszym przypadku” Wielkiego Twierdzenia Fermata (patrz twierdzenie Sophie Germain ) wystarczy ustalić, że albo ( p , p - 3) albo ( p , p - 5) nie jest nieregularna para.

Kummer znalazł liczby nieregularne mniejsze niż 165. W 1963 r. Lehmer zgłosił wyniki do 10000, a Selfridge i Pollack ogłosili w 1964 r., że uzupełnili tabelę nieregularnych liczb pierwszych do 25000. Chociaż dwie ostatnie tabele nie pojawiły się w druku, Johnson odkrył że ( p , p − 3) jest w rzeczywistości parą nieregularną dla p = 16843 i że jest to pierwszy i jedyny przypadek dla p < 30000 . Stwierdzono w 1993 roku, że następnym razem to się dzieje dla p = 2124679 ; patrz liczba pierwsza Wolstenholme .

Definicja

Kryterium numeru klasy

Nieparzysta liczba pierwsza p określa się jako regularny, jeżeli nie dzieli numeru klasy o w p -tego cyclotomic pola Q ( ζ _p ), gdzie ζ _P prymitywny p -tego głównego jedności, jest ona wyświetlana na OEIS : A000927 . Liczba pierwsza 2 jest również często uważana za regularną.

Numer klasy pola cyclotomic oznacza liczbę idei z pierścieniem liczb całkowitych Z (ç _P ) do równoważności. Dwa ideały I , J są uważane za równoważne , jeśli istnieje niezerowe u w Q ( ζ _p ) , tak że I = uJ .

Kryterium Kummera

Ernst Kummer ( Kummer 1850 ) wykazał, że równoważnym kryterium regularności jest to, że p nie dzieli licznika żadnej z liczb Bernoulliego B _k dla k = 2, 4, 6, ..., p − 3 .

Dowód Kummera, że jest to równoważne definicji liczby klasy, jest wzmocniony przez twierdzenie Herbranda-Ribeta , które stwierdza pewne konsekwencje dzielenia p jednej z tych liczb Bernoulliego.

przypuszczenie Siegela

Został on przypuszczał , że istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych regularnych. Dokładniej Carl Ludwig Siegel ( 1964 ) przypuszczał, że e-^1/2 , czyli około 60,65% wszystkich liczb pierwszych jest regularnych, w asymptotycznym sensie gęstości naturalnej . Żadne z przypuszczeń nie zostało do tej pory udowodnione.

Nieregularne liczby pierwsze

Nieparzysta liczba pierwsza, która nie jest regularna, jest liczbą pierwszą nieregularną (lub nieregularną Bernoulliego lub nieregularną B, aby odróżnić od innych typów lub nieregularności omówionych poniżej). Kilka pierwszych nieregularnych liczb pierwszych to:

37, 59, 67, 101, 103, 131, 149, 157, 233, 257, 263, 271, 283, 293, 307, 311, 347, 353, 379, 389, 401, 409, 421, 433, 461, 463, 467, 491, 523, 541, 547, 557, 577, 587, 593, ... (sekwencja A000928 w OEIS )

Bezgraniczność

KL Jensen (nieznany skądinąd uczeń Nielsena ) udowodnił w 1915 roku, że istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych nieregularnych o postaci 4 n + 3 . W 1954 Carlitz dał prosty dowód słabszego wyniku, że ogólnie istnieje nieskończenie wiele nieregularnych liczb pierwszych.

Metsänkylä udowodnił, że dla dowolnej liczby całkowitej T > 6 , istnieje nieskończenie wiele nieregularnych liczb pierwszych nie w postaci mT + 1 lub mT − 1 , a później ją uogólnił.

Pary nieregularne

Jeśli p jest nieregularną liczbą pierwszą i p dzieli licznik liczby Bernoulliego B _{2 k} przez 0 < 2 k < p − 1 , wtedy ( p , 2 k ) nazywamy parą nieregularną . Innymi słowy, nieregularna para jest urządzeniem księgowym do rejestrowania, dla nieregularnej liczby pierwszej p , poszczególnych indeksów liczb Bernoulliego, przy których zawodzi regularność. Pierwsze kilka par nieregularnych (w kolejności k ) to:

(691, 12), (3617, 16), (43867, 18), (283, 20), (617, 20), (131, 22), (593, 22), (103, 24), (2294797 , 24), (657931, 26), (9349, 28), (362903, 28), ... (sekwencja A189683 w OEIS ).

Najmniejsze parzyste k takie, że n- te nieregularne dzielniki liczby pierwszej B _k są

32, 44, 58, 68, 24, 22, 130, 62, 84, 164, 100, 84, 20, 156, 88, 292, 280, 186, 100, 200, 382, 126, 240, 366, 196, 130, 94, 292, 400, 86, 270, 222, 52, 90, 22, ... (sekwencja A035112 w OEIS )

Dla danego głównego p liczba tych par jest zwany indeks nieprawidłowości w p . Stąd liczba pierwsza jest regularna wtedy i tylko wtedy, gdy jej indeks nieregularności wynosi zero. Podobnie liczba pierwsza jest nieregularna wtedy i tylko wtedy, gdy jej indeks nieregularności jest dodatni.

Odkryto, że ( p , p − 3) jest w rzeczywistości parą nieregularną zarówno dla p = 16843 , jak i dla p = 2124679 . Nie ma więcej wystąpień dla p < 10 ⁹ .

Indeks nieregularny

Nieparzysta liczba pierwsza p ma nieregularny indeks n wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje n wartości k, dla których p dzieli B _2k i te k s są mniejsze niż ( p − 1)/2 . Pierwsza nieregularna liczba pierwsza z nieregularnym indeksem większym niż 1 to 157 , co dzieli B ₆₂ i B ₁₁₀ , więc ma nieregularny indeks 2. Oczywiście nieregularny indeks regularnej liczby pierwszej wynosi 0.

Nieregularny indeks n- tej liczby pierwszej to

0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 2, 0, ... (Zacznij od n = 2 lub liczba pierwsza = 3) (sekwencja A091888 w OEIS )

Nieregularny indeks n- tej nieregularnej liczby pierwszej to

1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 3, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 3, 1, 2, 3, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 1, ... (sekwencja A091887 w OEIS )

Liczby pierwsze o nieregularnym indeksie 1 to

37, 59, 67, 101, 103, 131, 149, 233, 257, 263, 271, 283, 293, 307, 311, 347, 389, 401, 409, 421, 433, 461, 463, 523, 541, 557, 577, 593, 607, 613, 619, 653, 659, 677, 683, 727, 751, 757, 761, 773, 797, 811, 821, 827, 839, 877, 881, 887, 953, 971, ... (sekwencja A073276 w OEIS )

Liczby pierwsze o indeksie nieregularnym 2 to

157, 353, 379, 467, 547, 587, 631, 673, 691, 809, 929, 1291, 1297, 1307, 1663, 1669, 1733, 1789, 1933, 1997, 2003, 2087, 2273, 2309, 2371, 2383, 2423, 2441, 2591, 2671, 2789, 2909, 2957, ... (sekwencja A073277 w OEIS )

Liczby pierwsze o indeksie nieregularnym 3 to

491, 617, 647, 1151, 1217, 1811, 1847, 2939, 3833, 4003, 4657, 4951, 6763, 7687, 8831, 9011, 10463, 10589, 12073, 13217, 14533, 14737, 14957, 15287, 15787, 15823, 16007, 17681, 17863, 18713, 18869, ... (sekwencja A060975 w OEIS )

Najmniejsze liczby pierwsze o nieregularnym indeksie n to

2, 3, 37, 157, 491, 12613, 78233, 527377, 3238481, ... (sekwencja A061576 w OEIS ) (Ta sekwencja definiuje „nieregularny indeks 2” jako -1, a także zaczyna się od n = - 1. )

Uogólnienia

Nieregularne liczby pierwsze Eulera

Podobnie, możemy zdefiniować nieregularną liczbę pierwszą Eulera (lub E-nieregularną) jako liczbę pierwszą p, która dzieli co najmniej jedną liczbę Eulera E _2n z 0 < 2 n ≤ p − 3 . Pierwsze kilka nieregularnych liczb pierwszych Eulera to

19, 31, 43, 47, 61, 67, 71, 79, 101, 137, 139, 149, 193, 223, 241, 251, 263, 277, 307, 311, 349, 353, 359, 373, 379, 419, 433, 461, 463, 491, 509, 541, 563, 571, 577, 587, ... (sekwencja A120337 w OEIS )

Nieregularne pary Eulera to

(61, 6), (277, 8), (19, 10), (2659, 10), (43, 12), (967, 12), (47, 14), (4241723, 14), (228135437 , 16), (79, 18), (349, 18), (84224971, 18), (41737, 20), (354957173, 20), (31, 22), (1567103, 22), (1427513357, 22 ), (2137, 24), (111691689741601, 24), (67, 26), (61001082228255580483, 26), (71, 28), (30211, 28), (2717447, 28), (77980901, 28), ...

Vandiver udowodnił, że Wielkie Twierdzenie Fermata ( x ^p + y ^p = z ^p ) nie ma rozwiązania dla liczb całkowitych x , y , z przy gcd( xyz , p ) = 1, jeśli p jest regularne według Eulera. Gut udowodnił, że x ^{2 p} + y ^{2 p} = z ^{2 p} nie ma rozwiązania, jeśli p ma wskaźnik E-nieregularności mniejszy niż 5.

Udowodniono, że istnieje nieskończoność liczb pierwszych E-nieregularnych. Uzyskano mocniejszy wynik: istnieje nieskończoność liczb pierwszych E-nieregularnych przystających do 1 modułu 8. Podobnie jak w przypadku B-regularnych liczb pierwszych Kummera, nie ma jeszcze dowodu na to, że istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych E-regularnych, chociaż wydaje się być prawdą.

Silne nieregularne liczby pierwsze

Liczba pierwsza p nazywana jest silnie nieregularną, jeśli jest zarówno B-nieregularna, jak i E-nieregularna (indeksy liczb Bernoulliego i Eulera, które są podzielne przez p, mogą być takie same lub różne). Kilka pierwszych silnych nieregularnych liczb pierwszych to

67, 101, 149, 263, 307, 311, 353, 379, 433, 461, 463, 491, 541, 577, 587, 619, 677, 691, 751, 761, 773, 811, 821, 877, 887, 929, 971, 1151, 1229, 1279, 1283, 1291, 1307, 1319, 1381, 1409, 1429, 1439, ... (sekwencja A128197 w OEIS )

Udowodnienie Wielkiego Twierdzenia Fermata dla silnej nieregularnej liczby pierwszej p jest trudniejsze (ponieważ Kummer udowodnił pierwszy przypadek Wielkiego Twierdzenia Fermata dla B-regularnych liczb pierwszych, Vandiver udowodnił pierwszy przypadek Wielkiego Twierdzenia Fermata dla E-regularnych liczb pierwszych), najbardziej trudne jest to, że p jest nie tylko silną nieregularną liczbą pierwszą, ale 2 p + 1 , 4 p + 1 , 8 p + 1 , 10 p + 1 , 14 p + 1 i 16 p + 1 są również wszystkie złożone ( Legendre udowodnił pierwszy przypadek Wielkiego Twierdzenia Fermata dla liczb pierwszych p takich, że przynajmniej jedna z 2 p + 1 , 4 p + 1 , 8 p + 1 , 10 p + 1 , 14 p + 1 i 16 p + 1 jest liczbą pierwszą), pierwsze kilka takich p to

263, 311, 379, 461, 463, 541, 751, 773, 887, 971, 1283, ...

Słabe nieregularne liczby pierwsze

Liczba pierwsza p jest słabo nieregularna, jeśli jest albo B-nieregularna, albo E-nieregularna (lub jedno i drugie). Kilka pierwszych słabych liczb pierwszych nieregularnych to

19, 31, 37, 43, 47, 59, 61, 67, 71, 79, 101, 103, 131, 137, 139, 149, 157, 193, 223, 233, 241, 251, 257, 263, 271, 277, 283, 293, 307, 311, 347, 349, 353, 373, 379, 389, 401, 409, 419, 421, 433, 461, 463, 491, 509, 523, 541, 547, 557, 563, 571, 577, 587, 593, ... (sekwencja A250216 w OEIS )

Podobnie jak nieregularność Bernoulliego, słaba prawidłowość odnosi się do podzielności liczb klas pól cyklotomicznych . W rzeczywistości głównym P jest słaba nieregularny tylko wtedy, gdy p dzieli numer klasy pochodnych 4 p -tego cyclotomic pola Q ( ζ _4p ).

Słabe nieregularne pary

W tej sekcji „ a _n ” oznacza licznik n- tej liczby Bernoulliego, jeśli n jest parzyste, „ a _n ” oznacza ( n − 1) liczbę Eulera, jeśli n jest nieparzyste (sekwencja A246006 w OEIS ).

Ponieważ dla każdej nieparzystej prime p , p dzieli _p wtedy i tylko wtedy, gdy p jest przystający do 1 mod 4, a od p dzieli mianowniku ( p - 1) th Liczby Bernoulliego dla każdej nieparzystej prime p , więc dla każdej nieparzystej prime p , s nie można podzielić na _str_-1 . Poza tym, wtedy i tylko wtedy, gdy nieparzysta liczba pierwsza p dzieli a _n (a 2 p nie dzieli n ), wtedy p dzieli również a _n₊_k₍_p₋₁₎ (jeśli 2 p dzieli n , to zdanie powinno zostać zmienione na " P również dzieli się _n₊₂_kp " W rzeczywistości, jeżeli 2, p podziałów n i p ( P - 1) nie dzieli n , a następnie p podziałów _n ), dla każdej liczby całkowitej. k (warunek jest n + k ( p − 1) musi być > 1). Na przykład, od 19 dzieli ₁₁ i 2 x 19 = 38 nie podziału 11, tak 19 podziałów ₁₈_K₊₁₁ dla wszystkich k . Zatem definicja pary nieregularnej ( p , n ) , n powinna wynosić co najwyżej p − 2 .

Poniższa tabela pokazuje wszystkie nieregularne pary z nieparzystą liczbą pierwszą p ≤ 661 :

p	całkowitymi 0 ≤ n ≤ p - 2 , tak że p podziałów _N	p	całkowitymi 0 ≤ n ≤ p - 2 , tak że p podziałów _N	p	całkowitymi 0 ≤ n ≤ p - 2 , tak że p podziałów _N	p	całkowitymi 0 ≤ n ≤ p - 2 , tak że p podziałów _N	p	całkowitymi 0 ≤ n ≤ p - 2 , tak że p podziałów _N	p	całkowitymi 0 ≤ n ≤ p - 2 , tak że p podziałów _N
3		79	19	181		293	156	421	240	557	222
5		83		191		307	88, 91, 137	431		563	175, 261
7		89		193	75	311	87, 193, 292	433	215, 366	569
11		97		197		313		439		571	389
13		101	63, 68	199		317		443		577	52, 209, 427
17		103	24	211		331		449		587	45, 90, 92
19	11	107		223	133	337		457		593	22
23		109		227		347	280	461	196, 427	599
29		113		229		349	19, 257	463	130, 229	601
31	23	127		233	84	353	71, 186, 300	467	94, 194	607	592
37	32	131	22	239		359	125	479		613	522
41		137	43	241	211, 239	367		487		617	20, 174, 338
43	13	139	129	251	127	373	163	491	292, 336, 338, 429	619	371, 428, 543
47	15	149	130, 147	257	164	379	100, 174, 317	499		631	80, 226
53		151		263	100, 213	383		503		641
59	44	157	62, 110	269		389	200	509	141	643
61	7	163		271	84	397		521		647	236, 242, 554
67	27, 58	167		277	9	401	382	523	400	653	48
71	29	173		281		409	126	541	86, 465	659	224
73		179		283	20	419	159	547	270, 486	661

Jedyne liczby pierwsze poniżej 1000 ze słabym nieregularnym indeksem 3 to 307, 311, 353, 379, 577, 587, 617, 619, 647, 691, 751 i 929. Poza tym 491 jest jedyną liczbą pierwszą poniżej 1000 ze słabym nieregularnym indeksem 4 i wszystkie inne bodźce nieparzyste poniżej 1000 ze słabym nieregularnym indeksie 0, 1 lub 2. ( słaby wskaźnik nieregularny jest zdefiniowana jako „liczby całkowite 0 ≤ n ≤ p - 2 , takiego, że p podziałów _n ).

Poniższa tabela przedstawia wszystkie pary nieregularne z n ≤ 63. (W celu uzyskania tych par nieregularne, musimy tylko na czynniki do _N , np. ₃₄ = 17 x 151628697551 , a 17 <34 + 2 , a więc tylko parę z nieregularny n = 34 jest (151628697551, 34) ), (dla dalszych informacji (nawet n s do 300 i nieparzyste n s do 201), patrz).

nie	liczby pierwsze p ≥ n + 2 takie, że p dzieli a _n	nie	liczby pierwsze p ≥ n + 2 takie, że p dzieli a _n
0		32	37, 683, 305065927
1		33	930157, 42737921, 52536026741617
2		34	151628697551
3		35	4153, 8429689, 2305820097576334676593
4		36	263152715530534777373
5		37	9257, 73026287, 25355088490684770871
6		38	154210205991661
7	61	39	23489580527043108252017828576198947741
8		40	137616929, 1897170067619
9	277	41	763601, 52778129, 359513962188687126618793
10		42	1520097643918070802691
11	19, 2659	43	137, 5563, 13599529127564174819549339030619651971
12	691	44	59, 8089, 2947939, 1798482437
13	43, 967	45	587, 32027, 9728167327, 36408069989737, 238716161191111
14		46	383799511, 67568238839737
15	47, 4241723	47	285528427091, 1229030085617829967076190070873124909
16	3617	48	653, 56039, 153289748932447906241
17	228135437	49	5516994249383296071214195242422482492286460673697
18	43867	50	417202699, 47464429777438199
19	79, 349, 87224971	51	5639, 1508047, 10546435076057211497, 67494515552598479622918721
20	283, 617	52	577, 58741, 401029177, 4534045619429
21	41737, 354957173	53	1601, 2144617, 537569557577904730817, 429083282746263743638619
22	131, 593	54	39409, 660183281, 1120412849144121779
23	31, 1567103, 1427513357	55	2749, 3886651, 78383747632327, 209560784826737564385795230911608079
24	103, 2294797	56	113161, 163979, 19088082706840550550313
25	2137, 111691689741601	57	5303, 7256152441, 52327916441, 2551319957161, 12646529075062293075738167
26	657931	58	67, 186707, 6235242049, 37349583369104129
27	67, 61001082228255580483	59	1459879476771247347961031445001033, 8645932388694028255845384768828577
28	9349, 362903	60	2003, 5549927, 109317926249509865753025015237911
29	71, 30211, 2717447, 77980901	61	6821509, 14922423647156041, 190924415797997235233811858285255904935247
30	1721, 1001259881	62	157, 266689, 329447317, 28765594733083851481
31	15669721, 28178159218598921101	63	101, 6863, 418739, 1042901, 91696392173931715546458327937225591842756597414460291393

Poniższa tabela pokazuje pary nieregularne ( p , p − n ) ( n ≥ 2 ), jest to przypuszczenie, że istnieje nieskończenie wiele par nieregularnych ( p , p − n ) dla każdej liczby naturalnej n ≥ 2 , ale znaleziono tylko kilka dla ustalonego n . Dla niektórych wartości n nawet nie jest znana taka liczba pierwsza p .

nie	liczby pierwsze p takie, że p dzieli a _{p − n} (te p są sprawdzane do 20000)	Sekwencja OEIS
2	149, 241, 2946901, 16467631, 17613227, 327784727, 426369739, 1062232319, ...	A198245
3	16843, 2124679, ...	A088164
4	...
5	37, ...
6	...
7	...
8	19, 31, 3701, ...
9	67, 877, ...	A212557
10	139, ...
11	9311, ...
12	...
13	...
14	...
15	59, 607, ...
16	1427, 6473, ...
17	2591, ...
18	...
19	149, 311, 401, 10133, ...
20	9643, ...
21	8369, ...
22	...
23	...
24	17011, ...
25	...
26	...
27	...
28	...
29	4219, 9133, ...
30	43, 241, ...
31	3323, ...
32	47, ...
33	101, 2267, ...
34	461, ...
35	...
36	1663, ...
37	...
38	101, 5147, ...
39	3181, 3529, ...
40	67, 751, 16007, ...
41	773, ...

Zobacz też

Liczba pierwsza w Wolstenholme

Bibliografia

Dalsza lektura

Kummer, EE (1850), „Allgemeiner Beweis des Fermat'schen Satzes, dass die Gleichung x ^λ + y ^λ = z ^λ durch ganze Zahlen unlösbar ist, für alle diejenigen Potenz-Exponenten λ , welche ungerade Primzahlen sind und ersten ( λ -3)/2 Bernoulli'schen Zahlen als Factoren nicht vorkommen" , J. Reine Angew. Matematyka. , 40 : 131–138
Siegel, Carl Ludwig (1964), "Zu zwei Bemerkungen Kummers", Nachrichten der Akademie der Wissenschaften w Getyndze , 1964 : 51-57, MR 0163899
Iwasawa, K.; Sims, CC (1966), „Obliczanie niezmienników w teorii pól cyklotomicznych” , Journal of the Mathematical Society of Japan , 18 (1): 86-96, doi : 10.2969/jmsj/01810086
Wagstaff, Jr., SS (1978), „Nieregularne liczby pierwsze do 125000” , Matematyka obliczeń , 32 (142): 583-591, doi : 10.2307/2006167 , JSTOR 2006167
Granville, A.; Monagan, MB (1988), „Pierwszy przypadek ostatniego twierdzenia Fermata jest prawdziwy dla wszystkich pierwszych wykładników do 714 591 416 091 389”, Transakcje Amerykańskiego Towarzystwa Matematycznego , 306 (1): 329-359, doi : 10.1090/S0002-9947- 1988-0927694-5 , MR 0927694
Gardiner, A. (1988), „Cztery problemy dotyczące podzielności mocy pierwotnej”, American Mathematical Monthly , 95 (10): 926-931, doi : 10.2307/2322386 , JSTOR 2322386
Ernvall, R.; Metsänkylä, T. (1991), „Cyklotomiczne niezmienniki dla liczb pierwszych od 125000 do 150000” , Matematyka obliczeń , 56 (194): 851-858, doi : 10.2307/2008413
Ernvall, R.; Metsänkylä, T. (1992), „Cyklotomiczne niezmienniki dla liczb pierwszych do jednego miliona” (PDF) , Matematyka obliczeń , 59 (199): 249-250, doi : 10.2307/2152994
Buhler, JP; Crandall, RE; Sompolski, RW (1992), "Nieregularne liczby pierwsze do jednego miliona" , Matematyka obliczeń , 59 (200): 717-722, doi : 10.2307/2153086
Boyd, DW (1994), "A p -adyczne studium sum częściowych serii harmonicznych" , Matematyka eksperymentalna , 3 (4): 287-302, doi : 10.1080/10586458.1994.10504298 , Zbl 0838.11015
Shokrollahi, MA (1996), Obliczanie nieregularnych liczb pierwszych do ośmiu milionów (raport wstępny) , raport techniczny ICSI, TR-96-002
Buhler, J.; Crandall, R.; Ernvall, R.; Metsänkyla, T.; Shokrollahi, MA (2001), "Nieregularne liczby pierwsze i niezmienniki cyklotomiczne do 12 milionów", Journal of Symbolic Computation , 31 (1-2): 89-96, doi : 10.1006/jsco.1999.1011
Richard K. Guy (2004), "Sekcja D2. Problem Fermata", nierozwiązane problemy w teorii liczb (3rd ed.), Springer Verlag , ISBN 0-387-20860-7
Villegas, FR (2007), Eksperymentalna Teoria Liczb , New York: Oxford University Press, s. 166-167, ISBN 978-0-19-852822-7

Languages

In other projects