Liczba Bernoulliego - Bernoulli number

Liczby Bernoulliego B±
n
n frakcja dziesiętny
0 1 +1.0000000000
1 ± 1/2 ±0,500000000
2 1/6 +0.166666666
3 0 +0.000000000
4 1/30 −0,033333333
5 0 +0.000000000
6 1/42 +0.023809523
7 0 +0.000000000
8 1/30 −0,033333333
9 0 +0.000000000
10 5/66 +0.075757575
11 0 +0.000000000
12 691/2730 −0.253113553
13 0 +0.000000000
14 7/6 +1.166666666
15 0 +0.000000000
16 3617/510 -7,092156862
17 0 +0.000000000
18 43867/798 +54,97117794
19 0 +0.000000000
20 174611/330 -529.1242424

W matematyce The numery Bernoulliego B n to sekwencja z liczb wymiernych , które występują często w teorii liczb . Liczby Bernoulliego pojawiają się w (i mogą być zdefiniowane przez) rozwinięcia szeregów Taylora funkcji stycznych i hiperbolicznych , we wzorze Faulhabera na sumę m-tych potęg pierwszych n liczb całkowitych dodatnich, we wzorze Eulera-Maclaurina oraz w wyrażeniach dla pewnych wartości funkcji zeta Riemanna .

Wartości pierwszych 20 liczb Bernoulliego podano w sąsiedniej tabeli. W literaturze stosowane są dwie konwencje, oznaczone tutaj przez i ; różnią się tylko dla n = 1 , gdzie i . Dla każdego nieparzystego n > 1 , B n = 0 . Dla każdego parzystego n > 0 , B n jest ujemne, jeśli n jest podzielne przez 4 i dodatnie w przeciwnym razie. Liczby Bernoulliego są specjalnymi wartościami wielomianów Bernoulliego , z i .

Liczby Bernoulliego zostały odkryte mniej więcej w tym samym czasie przez szwajcarskiego matematyka Jacoba Bernoulliego , od którego zostały nazwane, oraz niezależnie przez japońskiego matematyka Seki Takakazu . Odkrycie Seki zostało pośmiertnie opublikowane w 1712 w jego dziele Katsuyō Sanpō ; Bernoulliego, również pośmiertnie w jego Ars Conjectandi z 1713 r Ada Lovelace „s notatki G na temat silnika analitycznego z 1842 roku opisuje algorytm generowania liczb Bernoulliego z Babbage ” maszynie s. W rezultacie liczby Bernoulliego wyróżniają się tym, że są przedmiotem pierwszego opublikowanego złożonego programu komputerowego .

Notacja

Indeks górny ± użyty w tym artykule rozróżnia dwie konwencje znakowe dla liczb Bernoulliego. Tylko n = 1 termin wpływa:

  • b
    n
    z B
    1
    = −1/2
    ( OEISA027641 / OEISA027642 ) jest konwencją znaków zalecaną przez NIST i większość nowoczesnych podręczników.
  • b+
    n
    z B+
    1
    = +1/2
    ( OEISA164555 / OEISA027642 ) jest czasem używany w starszej literaturze.

W poniższych formułach można przełączyć się z jednej konwencji znaków na drugą z relacją , lub dla liczby całkowitej n = 2 lub większej po prostu ją zignorować.

Ponieważ B n = 0 dla wszystkich nieparzystych n > 1 , a wiele formuł obejmuje tylko liczby Bernoulliego o parzystym indeksie, kilku autorów pisze „ B n ” zamiast B 2 n  . Ten artykuł nie jest zgodny z tą notacją.

Historia

Wczesna historia

Liczby Bernoulliego są zakorzenione we wczesnej historii obliczania sum potęg całkowitych, które interesowały matematyków od starożytności.

Strona z Seki Takakazu za Katsuyō Sanpō (1712), zestawiająca współczynniki dwumianowe i liczby Bernoulliego

Znane były metody obliczania sumy pierwszych n dodatnich liczb całkowitych, sumy kwadratów i sześcianów pierwszych n dodatnich liczb całkowitych, ale nie było żadnych „wzorów” rzeczywistych, a jedynie opisy podane w całości słowami. Wśród wielkich matematyków starożytności, którzy rozważali ten problem, byli Pitagoras (ok. 572–497 pne, Grecja), Archimedes (287–212 pne, Włochy), Aryabhata (ur. 476, Indie), Abu Bakr al-Karaji (zm. 1019, Persja) i Abu Ali al-Hasan ibn al-Hasan ibn al-Haytham (965-1039, Irak).

Pod koniec XVI i na początku XVII wieku matematycy poczynili znaczne postępy. Na Zachodzie ważną rolę odegrali Thomas Harriot (1560–1621) z Anglii, Johann Faulhaber (1580–1635) z Niemiec, Pierre de Fermat (1601–1665) i kolega francuski matematyk Blaise Pascal (1623–1662).

Wydaje się, że Thomas Harriot był pierwszym, który wyprowadził i napisał formuły na sumy potęg przy użyciu notacji symbolicznej, ale nawet on obliczył tylko sumę czwartej potęgi. Johann Faulhaber podał w swojej Academia Algebrae z 1631 r. formuły na sumy potęg do potęgi siedemnastej , znacznie wyższe niż ktokolwiek przed nim, ale nie podał ogólnego wzoru.

Blaise Pascal w 1654 udowodnił tożsamość Pascala, łącząc sumy p-tych potęg pierwszych n dodatnich liczb całkowitych dla p = 0, 1, 2, ..., k .

Szwajcarski matematyk Jakob Bernoulli (1654–1705) jako pierwszy zdał sobie sprawę z istnienia pojedynczego ciągu stałych B 0 , B 1 , B 2 ,... które dostarczają jednolitego wzoru dla wszystkich sum potęg.

Radość, jakiej doświadczył Bernoulli, gdy trafił na wzór potrzebny do szybkiego i łatwego obliczenia współczynników jego wzoru na sumę c-tych potęg dla dowolnej dodatniej liczby całkowitej c, można zobaczyć w jego komentarzu. On napisał:

„Z pomocą tej tabeli zajęło mi mniej niż pół kwadransa, aby stwierdzić, że dziesiąte potęgi z pierwszych 1000 liczb dodanych razem da sumę 91 409 924 241 424 243 424 241 924 242500”.

Wynik Bernoulliego został opublikowany pośmiertnie w Ars Conjectandi w 1713 roku. Seki Takakazu niezależnie odkrył liczby Bernoulliego, a jego wynik został opublikowany rok wcześniej, również pośmiertnie, w 1712 roku. Jednak Seki nie przedstawił swojej metody jako wzoru opartego na sekwencji stałych .

Wzór Bernoulliego na sumy potęg jest jak dotąd najbardziej użytecznym i dającym się uogólnić sformułowaniem. Współczynniki we wzorze Bernoulliego są teraz nazywane liczbami Bernoulliego, zgodnie z sugestią Abrahama de Moivre .

Formuła Bernoulliego jest czasami nazywana formułą Faulhabera na cześć Johanna Faulhabera, który znalazł niezwykłe sposoby obliczania sumy potęg, ale nigdy nie podał formuły Bernoulliego. Według Knutha rygorystyczny dowód formuły Faulhabera został po raz pierwszy opublikowany przez Carla Jacobiego w 1834 roku. Dogłębne badanie formuły Faulhabera przeprowadzone przez Knutha podsumowuje (niestandardowy zapis na LHS jest wyjaśniony w dalszej części):

„Faulhaber nigdy nie odkrył liczb Bernoulliego; tj. nigdy nie zdawał sobie sprawy, że pojedynczy ciąg stałych B 0 , B 1 , B 2 , ... zapewni jednorodność
lub
dla wszystkich sum uprawnień. Nigdy nie wspomniał, na przykład, że prawie połowa współczynników okazała się równa zero po tym, jak przekształcił swoje wzory na Σ n m z wielomianów w N na wielomiany w n ”.

Rekonstrukcja „Summae Potestatum”

„Summae Potestatum” Jakoba Bernoulliego, 1713

Numery Bernoulliego OEISA164555 (n)/ OEISA027642 (n) zostały wprowadzone przez Jakoba Bernoulliego w książce Ars Conjectandi opublikowanej pośmiertnie w 1713 na stronie 97. Główną formułę można zobaczyć w drugiej połowie odpowiedniego faksymile. Stałe współczynniki oznaczone A , B , C i D przez Bernoulliego są odwzorowane na zapis, który jest obecnie powszechny jako A = B 2 , B = B 4 , C = B 6 , D = B 8 . Wyrażenie c · c −1· c −2· c −3 oznacza c ·( c −1)·( c −2)·( c −3) – małe kropki są używane jako symbole grupujące. Stosując dzisiejszą terminologię, wyrażenia te to potęgi czynnikowe spadające c k . Notacja silnia k ! jako skrót dla 1 × 2 × ... × k wprowadzono dopiero 100 lat później. Integralny symbol po lewej stronie pochodzi od Gottfrieda Wilhelma Leibniza w 1675 roku, który użył go jako długiej litery S dla „summa” (sumy). Litera n po lewej stronie nie jest indeksem sumowania, ale określa górną granicę zakresu sumowania, którą należy rozumieć jako 1, 2, ..., n . Łącząc wszystko razem, dla pozytywnego c , dzisiaj matematyk prawdopodobnie napisze formułę Bernoulliego jako:

Ten wzór sugeruje ustawienie B 1 =1/2przy przejściu z tzw. wyliczenia „archaicznego” wykorzystującego tylko indeksy parzyste 2, 4, 6... do formy nowoczesnej (o różnych konwencjach więcej w następnym akapicie). Najbardziej uderzający w tym kontekście jest fakt, że silnia opadająca c k −1 ma dla k = 0 wartość1/c + 1. W ten sposób można zapisać wzór Bernoulliego

jeśli B 1 = 1/2 , odzyskanie wartości, którą Bernoulli nadał współczynnikowi w tej pozycji.

Wzór na pierwszą połowę zawiera błąd w ostatnim semestrze; powinno być zamiast .

Definicje

W ciągu ostatnich 300 lat znaleziono wiele opisów liczb Bernoulliego i każda z nich może być wykorzystana do wprowadzenia tych liczb. Tutaj wymieniono tylko trzy najbardziej przydatne:

  • równanie rekurencyjne,
  • wyraźna formuła,
  • funkcja generująca.

Dla dowodu równoważności trzech podejść.

Definicja rekurencyjna

Liczby Bernoulliego są zgodne z formułami sum

gdzie i δ oznacza deltę Kroneckera . Rozwiązanie dla daje formuły rekurencyjne

Jawna definicja

W 1893 Louis Saalschütz wymienił w sumie 38 wyraźnych formuł liczb Bernoulliego, zwykle podając pewne odniesienia w starszej literaturze. Jeden z nich jest:

Funkcja generowania

Wykładnicze funkcje generujące to

gdzie jest podstawienie .

(Zwykła) funkcja generująca

jest serią asymptotyczną . Zawiera funkcję trigammy ψ 1 .

Liczby Bernoulliego i funkcja zeta Riemanna

Liczby Bernoulliego podane przez funkcję zeta Riemanna.

Liczby Bernoulliego można wyrazić za pomocą funkcji zeta Riemanna :

b+
n
= − (1 − n )
          dla n ≥ 1  .

Tutaj argumentem funkcji zeta jest 0 lub ujemna.

Za pomocą równania funkcyjnego zeta i wzoru na odbicie gamma można otrzymać następującą zależność:

dla n ≥ 1  .

Teraz argument funkcji zeta jest dodatni.

Z ζ → 1 ( n → ∞ ) i wzoru Stirlinga wynika, że

dla n → ∞  .

Efektywne obliczanie liczb Bernoulliego

W niektórych aplikacjach przydatna jest możliwość obliczenia liczb Bernoulliego od B 0 do B p - 3 modulo p , gdzie p jest liczbą pierwszą; na przykład, aby sprawdzić, czy hipoteza Vandivera jest słuszna dla p , lub nawet po prostu określić, czy p jest nieregularną liczbą pierwszą . Nie jest możliwe przeprowadzenie takiego obliczenia przy użyciu powyższych wzorów rekurencyjnych, ponieważ wymagana byłaby co najmniej (stała wielokrotność) p 2 operacji arytmetycznych. Na szczęście opracowano szybsze metody, które wymagają tylko operacji O ( p ( log p ) 2 ) (patrz notacja big O ).

David Harvey opisuje algorytm obliczania liczb Bernoulliego przez obliczenie B n modulo p dla wielu małych liczb pierwszych p , a następnie rekonstrukcję B n za pomocą chińskiego twierdzenia o resztach . Harvey pisze, że asymptotyczna złożoność czasowa tego algorytmu wynosi O ( n 2 log( n ) 2 + ε ) i twierdzi, że ta implementacja jest znacznie szybsza niż implementacje oparte na innych metodach. Korzystając z tej implementacji Harvey obliczył B n dla n = 10 8 . Implementacja Harveya została zawarta w SageMath od wersji 3.1. Wcześniej, Bernd Kellner obliczane B n do pełnej precyzji dla n = 10 6 w grudniu 2002 roku i Ołeksandr Pavlyk dla n = 10 7 z Mathematica w kwietniu 2008 roku.

Komputer Rok n Cyfry*
J. Bernoulli ~1689 10 1
L. Eulera 1748 30 8
JC Adams 1878 62 36
DE Knuth, TJ Buckholtz 1967 1 672 3 330
G. Fee, S. Plouffe 1996 10 000 27 677
G. Fee, S. Plouffe 1996 100 000 376 755
BC Kellner 2002 1 000 000 4 767 529
O. Pawłyk 2008 10 000 000 57 675 260
D. Harvey 2008 100 000 000 676 752 569
* Cyfry należy rozumieć jako wykładnik liczby 10, gdy B n jest zapisane jako liczba rzeczywista w znormalizowanej notacji naukowej .

Zastosowania liczb Bernoulliego

Analiza asymptotyczna

Prawdopodobnie najważniejszym zastosowaniem liczb Bernoulliego w matematyce jest ich użycie we wzorze Eulera-Maclaurina . Zakładając, że f jest wystarczająco często różniczkowalną funkcją, wzór Eulera-Maclaurina można zapisać jako

To sformułowanie zakłada konwencję B
1
= −1/2
. Stosując konwencję B+
1
= +1/2
formuła staje się

Tutaj (tzn. pochodna zerowego rzędu jest po prostu ). Ponadto pozwalają oznaczają pierwotna się . Zgodnie z podstawowym twierdzeniem rachunku różniczkowego ,

W ten sposób ostatni wzór można dalej uprościć do następującej zwięzłej postaci wzoru Eulera-Maclaurina

Ta forma jest na przykład źródłem ważnego rozwinięcia Eulera-Maclaurina funkcji zeta

Tutaj s k oznacza wzrost mocy silni .

Liczby Bernoulliego są również często używane w innych rodzajach rozwinięć asymptotycznych . Poniższy przykład jest klasycznym rozwinięciem asymptotycznym funkcji digammy ψ typu Poincarégo .

Suma uprawnień

Liczby Bernoulliego zajmują poczesne miejsce w formie zamkniętej wyrażenia sumy m-tych potęg pierwszych n dodatnich liczb całkowitych. Dla m , n ≥ 0 zdefiniuj

Wyrażenie to może zawsze być zapisane jako wielomian w n stopnia m + 1 . Te współczynniki tych wielomiany są związane z numerami Bernoulliego według wzoru Bernoulliego :

gdzie (m + 1
k
)
oznaczawspółczynnik dwumianowy.

Na przykład przyjęcie m jako 1 daje liczby trójkątne 0, 1, 3, 6, ... OEISA000217 .

Przyjęcie m jako 2 daje kwadratowe liczby ostrosłupowe 0, 1, 5, 14, ... OEISA000330 .

Niektórzy autorzy stosują alternatywną konwencję dla liczb Bernoulliego i formułują wzór Bernoulliego w następujący sposób:

Formuła Bernoulliego jest czasami nazywana formułą Faulhabera na cześć Johanna Faulhabera, który również znalazł niezwykłe sposoby obliczania sum potęg .

Wzór Faulhabera został uogólniony przez V. Guo i J. Zenga na q- analog .

Seria Taylora

Liczby Bernoulliego pojawiają się w rozwinięciu szeregu Taylora wielu funkcji trygonometrycznych i funkcji hiperbolicznych .

Tangens
Cotangens
Tangens hiperboliczny
Cotangens hiperboliczny

Seria Laurenta

Liczby Bernoulliego pojawiają się w następującej serii Laurenta :

Funkcja Digammy :

Użyj w topologii

Wzór Kervaire'a-Milnora na rząd cyklicznej grupy klas dyfeomorfizmu egzotycznych (4 n − 1) sfer, które wiążą rozmaitości paralelizowalne, obejmuje liczby Bernoulliego. Niech ES n będzie liczbą takich egzotycznych sfer dla n ≥ 2 , wtedy

Twierdzenie podpis Hirzebrucha dla L rodzaju o gładkich zorientowanej zamkniętym kolektora o wymiarze 4 n wymaga również numery Bernoulliego.

Połączenia z numerami kombinatorycznymi

Połączenie liczby Bernoulliego z różnymi rodzajami liczb kombinatorycznych opiera się na klasycznej teorii różnic skończonych i na kombinatorycznej interpretacji liczb Bernoulliego jako przykładu podstawowej zasady kombinatorycznej, zasady włączeń i wykluczeń .

Połączenie z numerami Worpitzky

Definicja, którą należy zastosować, została opracowana przez Juliusa Worpitzky'ego w 1883 roku. Oprócz arytmetyki elementarnej tylko funkcja silnia n ! a funkcja mocy k m jest stosowany. Bezznakowe liczby Worpitzky'ego są zdefiniowane jako

Można je również wyrazić za pomocą liczb Stirlinga drugiego rodzaju

Liczba Bernoulliego jest następnie wprowadzana jako suma włączenia i wykluczenia liczb Worpitzky'ego ważona przez sekwencję harmoniczną 1, 1/21/3, ...

B 0 = 1
B 1 = 1 −1/2
B 2 = 1 −3/2 + 2/3
B 3 = 1 −7/2 + 12/36/4
B 4 = 1 −15/2 + 50/360/4 + 24/5
B 5 = 1 −31/2 + 180/3390/4 + 360/5120/6
B 6 = 1 −63/2 + 602/32100/4 + 3360/52520/6 + 720/7

Ta reprezentacja ma B+
1
= +1/2
.

Rozważmy ciąg s n , n ≥ 0 . Z numerów Worpitzky'ego OEISA028246 , OEISA163626 zastosowane do s 0 , s 0 , s 1 , s 0 , s 1 , s 2 , s 0 , s 1 , s 2 , s 3 , ... są identyczne jak Akiyama – Transformacja Tanigawy zastosowana do s n (patrz Połączenie z liczbami Stirlinga pierwszego rodzaju ). Widać to po tabeli:

Tożsamość reprezentacji
Worpitzky'ego i przekształcenie Akiyamy-Tanigawy
1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1
1 -1 0 2 -2 0 0 3 -3 0 0 0 4 -4
1 -3 2 0 4 -10 6 0 0 9 −21 12
1 -7 12 -6 0 8 −38 54 −24
1 -15 50 -60 24

Pierwszy wiersz reprezentuje s 0 , s 1 , s 2 , s 3 , s 4 .

Stąd dla drugich ułamkowych liczb Eulera OEISA198631 ( n ) / OEISA006519 ( n + 1 ):

E 0 = 1
E 1 = 1 −1/2
E 2 = 1 −3/2 + 2/4
E 3 = 1 −7/2 + 12/46/8
E 4 = 1 −15/2 + 50/460/8 + 24/16
E 5 = 1 −31/2 + 180/4390/8 + 360/16120/32
E 6 = 1 −63/2 + 602/42100/8 + 3360/162520/32 + 720/64

Druga formuła reprezentująca liczby Bernoulliego przez liczby Worpitzky'ego jest dla n ≥ 1

Uproszczona reprezentacja drugiego Worpitzky'ego drugich liczb Bernoulliego to:

OEISA164555 ( n + 1 ) / OEISA027642 ( n + 1 ) =n + 1/2 n + 2 - 2× OEISA198631 ( n ) / OEISA006519 ( n + 1 )

który łączy drugie liczby Bernoulliego z drugimi ułamkowymi liczbami Eulera. Początek to:

1/2, 1/6, 0, −1/30, 0, 1/42, ... = (1/2, 1/3, 3/14, 2/15, 5/62, 1/21, ...) × (1, 1/2, 0, −1/4, 0, 1/2, ...)

Licznikami pierwszych nawiasów są OEISA111701 (patrz Połączenie z liczbami Stirlinga pierwszego rodzaju ).

Połączenie z liczbami Stirlinga drugiego rodzaju

Jeśli S ( k , m ) oznacza liczby Stirlinga drugiego rodzaju, to mamy:

gdzie j m oznacza silnię opadającą .

Jeśli zdefiniujemy wielomiany Bernoulliego B k ( j ) jako:

gdzie B k dla k = 0, 1, 2,... są liczbami Bernoulliego.

Następnie po następującej własności współczynnika dwumianowego :

jeden ma,

Jedno ma również następujące dla wielomianów Bernoulliego,

Współczynnik j w (j
m + 1
)
jest(-1) m/m + 1.

Porównując współczynnik j w dwóch wyrażeniach wielomianów Bernoulliego, mamy:

(w wyniku B 1 = +1/2), który jest wyraźnym wzorem na liczby Bernoulliego i może być użyty do udowodnienia twierdzenia Von-Staudta Clausena .

Połączenie z liczbami Stirlinga pierwszego rodzaju

Dwie główne formuły odnoszące się do liczb Stirlinga pierwszego rodzaju bez znaku [n
m
]
do liczb Bernoulliego (z B 1 = +1/2) są

i odwrócenie tej sumy (dla n ≥ 0 , m ≥ 0 )

Tutaj liczba n , m są liczbami wymiernymi Akiyama-Tanigawa, z których pierwsze kilka wyświetlane są w poniższej tabeli.

Numer Akiyama-Tanigawa
m
n
0 1 2 3 4
0 1 1/2 1/3 1/4 1/5
1 1/2 1/3 1/4 1/5 ...
2 1/6 1/6 3/20 ... ...
3 0 1/30 ... ... ...
4 1/30 ... ... ... ...

Liczby Akiyamy-Tanigawy spełniają prostą relację powtarzalności, którą można wykorzystać do iteracyjnego obliczania liczb Bernoulliego. Prowadzi to do algorytmu przedstawionego w sekcji „Opis algorytmu” powyżej. Patrz OEISA051714 / OEISA051715 .

Autosequence jest sekwencja, która ma swoją odwrotność dwumianowego przekształcenia równa podpisanej sekwencji. Jeżeli główna przekątna to zera = OEISA000004 , autosekwencja jest pierwszego rodzaju. Przykład: OEISA000045 , liczby Fibonacciego. Jeśli główna przekątna jest pierwszą górną przekątną pomnożoną przez 2, jest to drugi rodzaj. Przykład: OEISA164555 / OEISA027642 , drugie numery Bernoulliego (patrz OEISA190339 ). Transformacja Akiyama-Tanigawa zastosowana do 2 - n = 1 / OEISA000079 prowadzi do OEISA198631 ( n ) / OEISA06519 ( n + 1). Stąd:

Przekształcenie Akiyamy-Tanigawy dla drugich liczb Eulera
m
n
0 1 2 3 4
0 1 1/2 1/4 1/8 1/16
1 1/2 1/2 3/8 1/4 ...
2 0 1/4 3/8 ... ...
3 1/4 1/4 ... ... ...
4 0 ... ... ... ...

Patrz OEISA209308 i OEISA227577 . OEISA198631 ( n ) / OEISA006519 ( n + 1 ) to drugie (ułamkowe) liczby Eulera i autosekwencja drugiego rodzaju.

(OEISA164555 ( n + 2 )/OEISA027642 ( n + 2 ) = 1/6, 0, −1/30, 0, 1/42, ... ) × (2 n + 3 - 2/n + 2= 3,14/3, 15/2, 62/5, 21, ... ) =OEISA198631 ( n + 1 )/OEISA006519 ( n + 2 ) = 1/2, 0, −1/4, 0, 1/2, ... .

Cenne również dla OEISA027641 / OEISA027642 (patrz Połączenie z numerami Worpitzky ).

Połączenie z trójkątem Pascala

Istnieją wzory łączące trójkąt Pascala z liczbami Bernoulliego

gdzie jest wyznacznikiem części macierzowej n-na-n Hessenberga trójkąta Pascala, którego elementami są:

Przykład:

Połączenie z liczbami Eulera

Istnieją wzory łączące liczby Eulera n
m
do liczb Bernoulliego:

Obie formuły są ważne dla n ≥ 0, jeśli B 1 jest ustawione na1/2. Jeśli B 1 jest ustawione na −1/2są ważne tylko dla odpowiednio n ≥ 1 i n ≥ 2 .

Reprezentacja drzewa binarnego

Wielomiany Stirlinga σ n ( x ) są powiązane z liczbami Bernoulliego przez B n = n ! s n (1) . SC Woon opisał algorytm obliczania σ n (1) jako drzewa binarnego:

SCWoonTree.png

Rekurencyjny algorytm Woon'a (dla n ≥ 1 ) rozpoczyna się od przypisania do węzła głównego N = [1,2] . Mając węzeł N = [ a 1 , a 2 , ..., a k ] drzewa, lewe dziecko węzła to L ( N ) = [− a 1 , a 2 + 1, a 3 , .. ., a k ] i prawe dziecko R ( N ) = [ a 1 , 2 , a 2 , ..., a k ] . Węzeł N = [ a 1 , a 2 , ..., a k ] zapisujemy jako ±[ a 2 , ..., a k ] w początkowej części reprezentowanego powyżej drzewa z ± oznaczającym znak a 1 .

Biorąc pod uwagę węzeł N, silnia N jest zdefiniowana jako

Ograniczony do węzłów N stałego poziomu drzewa n suma1/N !jest σ n (1) , zatem

Na przykład:

B 1 = 1! (1/2!)
B 2 = 2! (−1/3! + 1/2!2!)
B 3 = 3! (1/4!1/2!3!1/3!2! + 1/2!2!2!)

Integralna reprezentacja i kontynuacja

integralną

ma specjalne wartości b (2 n ) = B 2 n dla n > 0 .

Na przykład b (3) =3/2ζ (3) π -3 i oraz b (5) = −15/2ζ (5) π -5 i . Tutaj ζ jest funkcją zeta Riemanna , a i jest jednostką urojoną . Leonhard Euler ( Opera Omnia , Ser. 1, Vol. 10, s. 351) rozważył te liczby i obliczył

Stosunek do liczb Eulera i π

Te numery Eulera to sekwencja liczb ściśle związane z numerami Bernoulliego. Porównanie asymptotycznych rozwinięć liczb Bernoulliego i Eulera pokazuje, że liczby Eulera E 2 n mają wielkość w przybliżeniu2/π(4 2 n − 2 2 n ) razy większe niż liczby Bernoulliego B 2 n . W konsekwencji:

To asymptotyczne równanie pokazuje, że π leży we wspólnym pierwiastku zarówno liczb Bernoulliego, jak i Eulera. W rzeczywistości π można obliczyć z tych racjonalnych przybliżeń.

Liczby Bernoulliego można wyrazić za pomocą liczb Eulera i odwrotnie. Ponieważ dla nieparzystego n , B n = E n = 0 (z wyjątkiem B 1 ), wystarczy rozważyć przypadek, gdy n jest parzyste.

Te wzory konwersji wyrażają związek między liczbami Bernoulliego i Eulera. Ale co ważniejsze, istnieje głęboki rdzeń arytmetyczny wspólny dla obu rodzajów liczb, który można wyrazić za pomocą bardziej fundamentalnego ciągu liczb, również ściśle związanego z π . Liczby te są zdefiniowane dla n > 1 jako

i S 1 = 1 umownie. Magia tych liczb polega na tym, że okazują się one liczbami wymiernymi. Po raz pierwszy udowodnił to Leonhard Euler w przełomowej pracy De summis serierum reciprocarum (O sumach szeregu odwrotności) i od tego czasu fascynuje matematyków. Pierwsze kilka z tych liczb to

( OEISA099612 / OEISA099617 )

Są to współczynniki w rozwinięciu sec x + tan x .

Liczby Bernoulliego i liczby Eulera najlepiej rozumieć jako specjalne widoki tych liczb, wybranych z sekwencji S n i przeskalowanych do wykorzystania w specjalnych zastosowaniach.

Wyrażenie [ n parzyste] ma wartość 1, jeśli n jest parzyste, a 0 w przeciwnym razie ( nawias Iversona ).

Tożsamości te pokazują, że iloraz liczb Bernoulliego i Eulera na początku tego rozdziału jest tylko szczególnym przypadkiem R n =2 S n/S N + 1gdy n jest parzyste. R n jest racjonalne przybliżeń gatunku i dwa kolejne okresy otaczają zawsze prawdziwa wartość Õ . Zaczynając od n = 1 rozpoczyna się sekwencja ( OEISA132049 / OEISA132050 ):

Te liczby wymierne pojawiają się również w ostatnim akapicie cytowanej powyżej pracy Eulera.

Rozważmy transformację Akiyamy-Tanigawy dla sekwencji OEISA046978 ( n + 2 ) / OEISA016116 ( n + 1 ):

0 1 1/2 0 1/4 1/4 1/8 0
1 1/2 1 3/4 0 5/8 3/4
2 1/2 1/2 9/4 5/2 5/8
3 -1 7/2 3/4 15/2
4 5/2 11/2 99/4
5 8 77/2
6 61/2

Od drugiej, liczniki pierwszej kolumny są mianownikami wzoru Eulera. Pierwsza kolumna to −1/2× OEISA163982 .

Widok algorytmiczny: trójkąt Seidela

Sekwencja S n ma inną nieoczekiwaną, ale ważną właściwość: mianowniki S n dzielą silnię ( n  − 1)! . Innymi słowy: liczby T n  =  S n ( n  − 1)! , czasami nazywane liczbami zygzakowatymi Eulera , są liczbami całkowitymi.

( OEISA000111 ). Patrz ( OEISA253671 ).

Zatem powyższe reprezentacje liczb Bernoulliego i Eulera można przepisać w postaci tego ciągu jako

Tożsamości te ułatwiają obliczenie liczb Bernoulliego i Eulera: liczby Eulera E n są dane bezpośrednio przez T 2 n + 1, a liczby Bernoulliego B 2 n są otrzymywane z T 2 n przez pewne łatwe przesunięcie, unikając arytmetyki racjonalnej.

Pozostaje znaleźć wygodny sposób obliczania liczb T n . Jednak już w 1877 roku Philipp Ludwig von Seidel opublikował genialny algorytm, który ułatwia obliczenie T n .

Algorytm Seidela dla T n
  1. Zacznij od wpisania 1 w wierszu 0 i niech k oznacza numer wiersza, który jest aktualnie wypełniany
  2. Jeśli k jest nieparzyste, umieść liczbę po lewej stronie wiersza k − 1 na pierwszej pozycji wiersza k i wypełnij wiersz od lewej do prawej, przy czym każdy wpis jest sumą liczby do w lewo, a liczba w górę
  3. Na końcu rzędu zduplikuj ostatnią liczbę.
  4. Jeśli k jest parzyste, postępuj podobnie w przeciwnym kierunku.

Algorytm Seidela jest w rzeczywistości znacznie bardziej ogólny (patrz wykład Dominique'a Dumonta) i został później wielokrotnie odkryty.

Podobnie do podejścia Seidela, DE Knuth i TJ Buckholtz podali równanie rekurencyjne dla liczb T 2 n i zalecili tę metodę do obliczania B 2 n i E 2 n 'na komputerach elektronicznych przy użyciu tylko prostych operacji na liczbach całkowitych'.

VI Arnold na nowo odkrył algorytm Seidela, a później Millar, Sloane i Young spopularyzowali algorytm Seidela pod nazwą transformata bustrofedonowa .

Forma trójkątna:

1
1 1
2 2 1
2 4 5 5
16 16 14 10 5
16 32 46 56 61 61
272 272 256 224 178 122 61

Tylko OEISA000657 , z jedną jedynką i OEISA214267 , z dwoma jedynkami , znajdują się w OEIS.

Rozkład z dodatkowym 1 i jednym 0 w następujących wierszach:

1
0 1
-1 -1 0
0 -1 -2 -2
5 5 4 2 0
0 5 10 14 16 16
−61 −61 −56 −46 −32 −16 0

To jest OEISA239005 , podpisana wersja OEISA008280 . Głównym andagonal jest OEISA122045 . Główna przekątna to OEISA155585 . Środkowa kolumna to OEISA099023 . Sumy wierszy: 1, 1, -2, -5, 16, 61.... Patrz OEISA163747 . Zobacz tablicę zaczynającą się od 1, 1, 0, -2, 0, 16, 0 poniżej.

Algorytm Akiyama-Tanigawa zastosowany do OEISA046978 ( n + 1 ) / OEISA016116 ( n ) daje:

1 1 1/2 0 1/4 1/4 1/8
0 1 3/2 1 0 3/4
-1 -1 3/2 4 15/4
0 -5 15/2 1
5 5 51/2
0 61
−61

1. Pierwsza kolumna to OEISA122045 . Jego dwumianowa transformacja prowadzi do:

1 1 0 -2 0 16 0
0 -1 -2 2 16 −16
-1 -1 4 14 −32
0 5 10 −46
5 5 −56
0 −61
−61

Pierwszy wiersz tej tablicy to OEISA155585 . Wartości bezwzględne rosnących przekątnych to OEISA008280 . Suma antyprzekątnych wynosi OEISA163747 ( n + 1 ).

2. Druga kolumna to 1 1 -1 -5 5 61 -61 -1385 1385... . Jego dwumianowe przekształcenie daje:

1 2 2 -4 −16 32 272
1 0 -6 −12 48 240
-1 -6 -6 60 192
-5 0 66 32
5 66 66
61 0
−61

Pierwszy wiersz tej tablicy to 1 2 2 -4 -16 32 272 544 -7936 15872 353792 -707584... . Wartości bezwzględne drugiej bisekcji są dwukrotnością wartości bezwzględnych pierwszej bisekcji.

Rozważmy algorytm Akiyama-Tanigawy zastosowany do OEISA046978 ( n ) / ( OEISA158780 ( n + 1 ) = abs( OEISA117575 ( n )) + 1 = 1, 2, 2,3/2, 1, 3/4, 3/4, 7/8, 1, 17/16, 17/16, 33/32... .

1 2 2 3/2 1 3/4 3/4
-1 0 3/2 2 5/4 0
-1 -3 3/2 3 25/4
2 -3 27/2 −13
5 21 3/2
−16 45
−61

Pierwsza kolumna, której wartości bezwzględne to OEISA000111 może być licznikiem funkcji trygonometrycznej.

OEISA163747 to autosekwencja pierwszego rodzaju (główna przekątna to OEISA000004 ). Odpowiednia tablica to:

0 -1 -1 2 5 −16 −61
-1 0 3 3 −21 −45
1 3 0 −24 −24
2 -3 −24 0
-5 −21 24
−16 45
−61

Pierwsze dwie górne przekątne to -1 3 -24 402... = (-1) n + 1  ×  OEISA002832 . Suma antyprzekątnych wynosi 0 -2 0 10... = 2 ×  OEISA122045 ( n  + 1).

OEISA163982 to autosekwencja drugiego rodzaju, jak na przykład OEISA164555 / OEISA027642 . Stąd tablica:

2 1 -1 -2 5 16 −61
-1 -2 -1 7 11 −77
-1 1 8 4 −88
2 7 -4 −92
5 −11 −88
−16 −77
−61

Główna przekątna, tutaj 2 -2 8 -92... , jest podwojeniem pierwszej górnej, tutaj OEISA099023 . Suma antyprzekątnych wynosi 2 0 -4 0... = 2 ×  OEISA155585 ( n + 1). OEISA163747  −  OEISA163982 = 2 ×  OEISA122045 .

Widok kombinatoryczny: naprzemienne permutacje

Około 1880 roku, trzy lata po opublikowaniu algorytmu Seidela, Désiré André udowodnił klasyczny dziś wynik analizy kombinatorycznej. Przyglądając się pierwszym członom rozwinięcia Taylora funkcji trygonometrycznych tan x i sec x, André dokonał zaskakującego odkrycia.

Współczynniki są odpowiednio liczbami Eulera indeksu nieparzystego i parzystego. W konsekwencji rozwinięcie zwyczajne tan x + sec x ma jako współczynniki liczby wymierne S n .

André następnie udało się za pomocą argumentu powtarzania pokazać, że naprzemienne permutacje nieparzystego rozmiaru są wyliczane przez liczby Eulera o nieparzystym indeksie (zwane również liczbami stycznymi) i przemienne permutacje o parzystym rozmiarze przez liczby Eulera o parzystym indeksie (zwane również siecznych liczb).

Powiązane sekwencje

Średnia arytmetyczna pierwszej i drugiej liczby Bernoulliego to skojarzone liczby Bernoulliego: B 0 = 1 , B 1 = 0 , B 2 =1/6, B 3 = 0 , B 4 = −1/30, OEISA176327 / OEISA027642 . Poprzez drugi rząd jego odwrotnej transformacji Akiyama-Tanigawa OEISA177427 , prowadzą one do serii Balmera OEISA061037 / OEISA061038 .

Algorytm Akiyama-Tanigawa stosowane do OEISA060819 ( n + 4 ) / OEISA145979 ( n ) prowadzi do liczby Bernoulliego OEISA027641 / OEISA027642 , OEISA164555 / OEISA027642 , lub OEISA176327 OEISA176289 bez B 1 , nazwane wewnętrznymi liczbami Bernoulliego B i ( n ) .

1 5/6 3/4 7/10 2/3
1/6 1/6 3/20 2/15 5/42
0 1/30 1/20 2/35 5/84
1/30 1/30 3/140 1/105 0
0 1/42 1/28 4/105 1/28

Stąd kolejny związek między wewnętrznymi liczbami Bernoulliego a serią Balmera za pośrednictwem OEISA145979 ( n ).

OEISA145979 ( n − 2 ) = 0, 2, 1, 6,... jest permutacją liczb nieujemnych.

Warunki pierwszego rzędu to f(n) = 1/2 + 1/n + 2. 2, f(n) jest autosekwencją drugiego rodzaju. 3/2, f(n) prowadzi przez swoją odwrotną transformację dwumianową do 3/2 -1/2 1/3 -1/4 1/5 ... = 1/2 + log 2.

Rozważ g(n) = 1/2 - 1 / (n+2) = 0, 1/6, 1/4, 3/10, 1/3. Przekształcenia Akiyama-Tanagiwy dają:

0 1/6 1/4 3/10 1/3 5/14 ...
1/6 1/6 3/20 2/15 5/42 3/28 ...
0 1/30 1/20 2/35 5/84 5/84 ...
1/30 1/30 3/140 1/105 0 1/140 ...

0, g(n), jest autosekwencją drugiego rodzaju.

Euler OEISA198631 ( n ) / OEISA006519 ( n + 1 ) bez drugiego członu (1/2) to ułamkowe wewnętrzne liczby Eulera E i ( n ) = 1, 0, −1/4, 0, 1/2, 0, −17/8, 0, ... Odpowiednia transformata Akiyama to:

1 1 7/8 3/4 21/32
0 1/4 3/8 3/8 5/16
1/4 1/4 0 1/4 25/64
0 1/2 3/4 9/16 5/32
1/2 1/2 9/16 13/8 125/64

Pierwsza linia to Eu ( n ) . Eu ( n ) poprzedzone zerem jest autosekwencją pierwszego rodzaju. Jest powiązany z numerami Oresme. Licznikami drugiego wiersza są OEISA069834 poprzedzone 0. Tabela różnic to:

0 1 1 7/8 3/4 21/32 19/32
1 0 1/8 1/8 3/32 1/16 5/128
-1 1/8 0 1/32 1/32 3/128 1/64

Własności arytmetyczne liczb Bernoulliego

Liczby Bernoulliego można wyrazić za pomocą funkcji zeta Riemanna jako B n = − (1 − n ) dla liczb całkowitych n ≥ 0 pod warunkiem, że dla n = 0 wyrażenie (1 − n ) rozumiane jest jako wartość graniczna i konwencja B 1 =1/2jest używany. To ściśle wiąże je z wartościami funkcji zeta w ujemnych liczbach całkowitych. W związku z tym można by oczekiwać, że mają i mają głębokie właściwości arytmetyczne. Na przykład hipoteza Agoh-Giuga postuluje, że p jest liczbą pierwszą wtedy i tylko wtedy, gdy pB p − 1 jest przystające do −1 modulo p . Właściwości podzielności liczb Bernoulliego są związane z grup klasowych idealny na polach cyclotomic przez twierdzenia Kummer i jej wzmocnienia w twierdzeniu Herbrand-Ribet oraz liczb rzeczywistych klasy kwadratowych pól przez Ankeny-Artin-Chowla .

Twierdzenia Kummera

Liczby Bernoulliego są powiązane z Wielkim Twierdzeniem Fermata (FLT) przez twierdzenie Kummera , które mówi:

Jeśli nieparzysta liczba pierwsza p nie dzieli żadnego z liczników liczb Bernoulliego B 2 , B 4 , ..., B p − 3 to x p + y p + z p = 0 nie ma rozwiązań w niezerowych liczbach całkowitych.

Liczby pierwsze z tą właściwością nazywane są liczbami pierwszymi regularnymi . Innym klasycznym wynikiem Kummera są następujące kongruencje .

Niech p będzie liczbą pierwszą nieparzystą, a b liczbą parzystą taką, że p  − 1 nie dzieli b . Następnie dla dowolnej nieujemnej liczby całkowitej k

Uogólnienie tych kongruencji nosi nazwę p -adycznej ciągłości.

p -adyczna ciągłość

Jeśli b , m i n są dodatnimi liczbami całkowitymi takimi, że m i n nie są podzielne przez p − 1 i mn (mod p b − 1 ( p − 1)) , wtedy

Ponieważ B n = − (1 − n ) , można to również zapisać

gdzie U = 1 - m i v = 1, - n , tak że U i V są nonpositive nie przystaje do 1 modulo p - 1 . To mówi nam, że funkcja zeta Riemanna, z 1 − p s wziętą ze wzoru iloczynu Eulera, jest ciągła w liczbach p- adycznych na nieparzystych ujemnych liczbach całkowitych przystająca modulo p − 1 do konkretnego a ≢ 1 mod ( p − 1) , a więc może być przedłużony do funkcji ciągłej ç P ( y ) dla każdego p -adic całkowite P -adic funkcji zeta .

kongruencje Ramanujana

Poniższe relacje, dzięki Ramanujanowi , dostarczają metody obliczania liczb Bernoulliego, która jest bardziej wydajna niż ta podana przez ich oryginalną rekurencyjną definicję:

Twierdzenie von Staudta-Clausena

Twierdzenie von Staudt-Clausena zostało podane niezależnie przez Karla Georga Christiana von Staudta i Thomasa Clausena w 1840 roku. Twierdzenie to mówi, że dla każdego n > 0 ,

jest liczbą całkowitą. Suma rozciąga się na wszystkie liczby pierwsze p, dla których p − 1 dzieli 2 n .

Konsekwencją tego jest to, że mianownik B 2 n jest określony przez iloczyn wszystkich liczb pierwszych p, dla których p − 1 dzieli 2 n . W szczególności te mianowniki są bezkwadratowe i podzielne przez 6.

Dlaczego nieparzyste liczby Bernoulliego znikają?

Suma

można ocenić dla ujemnych wartości wskaźnika n . Takie postępowanie pokaże, że jest to funkcja nieparzysta dla parzystych wartości k , co oznacza, że ​​suma ma tylko składniki nieparzyste. To i wzór na sumę Bernoulliego implikują, że B 2 k + 1 − m wynosi 0 dla parzystego m i 2 k + 1 − m > 1 ; i że określenie B 1 jest anulowana przez odejmowanie. Twierdzenie von Staudt-Clausena w połączeniu z reprezentacją Worpitzky'ego również daje kombinatoryczną odpowiedź na to pytanie (ważne dla n > 1).

Z twierdzenia von Staudta–Clausena wiadomo, że dla nieparzystego n > 1 liczba 2 B n jest liczbą całkowitą. Wydaje się to trywialne, jeśli z góry wiadomo, że dana liczba całkowita wynosi zero. Jednak stosując reprezentację Worpitzky'ego otrzymujemy

jako suma liczb całkowitych , co nie jest trywialne. Tutaj wyłania się kombinatoryczny fakt, który wyjaśnia znikanie liczb Bernoulliego w indeksie nieparzystym. Niech S n , m będzie liczbą odwzorowań surjektywnych od {1, 2, ..., n } do {1, 2, ..., m }, a następnie S n , m = m ! {n
m
}
. Ostatnie równanie może obowiązywać tylko wtedy, gdy

Równanie to można udowodnić indukcją. Pierwsze dwa przykłady tego równania to

n = 4: 2 + 8 = 7 + 3 ,
n = 6: 2 + 120 + 144 = 31 + 195 + 40 .

W ten sposób liczby Bernoulliego znikają w indeksie nieparzystym, ponieważ niektóre nieoczywiste tożsamości kombinatoryczne są zawarte w liczbach Bernoulliego.

Ponowne sformułowanie hipotezy Riemanna

Związek między liczbami Bernoulliego i funkcją zeta Riemanna jest wystarczająco silny, aby zapewnić alternatywne sformułowanie hipotezy Riemanna (RH), która wykorzystuje tylko liczbę Bernoulliego. W rzeczywistości Marcel Riesz udowodnił, że PR jest równoważne z następującym twierdzeniem:

Dla każdego ε >1/4istnieje stała C ε > 0 (w zależności od ε ) taka, że | R ( x ) | < C ε x ε jako x → ∞ .

Tutaj R ( x ) jest funkcją Riesza

n k oznacza rosnącą potęgę silni w zapisie DE Knutha . Liczby β n =B n/nwystępują często w badaniu funkcji zeta i są istotne, ponieważ β n jest liczbą całkowitą p dla liczb pierwszych p , gdzie p − 1 nie dzieli n . Β n nazywane są podzielone liczby Bernoulliego .

Uogólnione liczby Bernoulliego

W uogólnione numery Bernoulliego pewne liczby algebraiczne zdefiniowane podobnie do numerów Bernoulliego, które są podobne do specjalnych wartości od Dirichlet L działanie funkcji w ten sam sposób, że liczba Bernoulliego związane są szczególne wartości funkcji zeta Riemanna.

Niech χ będzie znakiem Dirichleta modulo f . Uogólniony numery Bernoulliego związane Ď są zdefiniowane

Oprócz wyjątkowego B 1,1 =1/2, mamy, dla każdego znaku Dirichleta χ , że B k , χ = 0 jeśli χ (−1) ≠ (−1) k .

Uogólniając związek między liczbami Bernoulliego a wartościami funkcji zeta Riemanna na niedodatnie liczby całkowite, mamy dla wszystkich liczb całkowitych k ≥ 1 :

gdzie L ( s , χ ) jest Dirichlet L -function z Ď .

dodatek

Różne tożsamości

  • Rachunek umbralny daje zwartą formę wzoru Bernoulliego za pomocą abstrakcyjnego symbolu B :

    gdzie symbol B k, który pojawia się podczas rozwinięcia dwumianowego wyrazu w nawiasie, ma być zastąpiony liczbą Bernoulliego B k (a B 1 = +1/2). Bardziej sugestywnie i mnemonicznie można to zapisać jako całkę oznaczoną:

    Wiele innych tożsamości Bernoulliego można zapisać zwięźle za pomocą tego symbolu, np.

  • Niech n będzie nieujemne, a nawet
  • N p półniezmiennika o jednolitym rozkładzie prawdopodobieństwa w przedziale [1, 0]B n/n.
  • Niech n ? =1/n !i n ≥ 1 . Wtedy B n jest następującą ( n + 1) × ( n + 1) wyznacznikiem:
    Zatem wyznacznikiem jest σ n (1) , wielomian Stirlinga przy x = 1 .
  • Dla parzystych liczb Bernoulliego, B 2 p jest określone przez wyznacznik ( p + 1) × ( p + 1) ::
  • Niech n ≥ 1 . Wtedy ( Leonhard Euler )
  • Niech n ≥ 1 . Następnie
  • Niech n ≥ 0 . Wtedy ( Leopold Kronecker 1883 )
  • Niech n ≥ 1 i m ≥ 1 . Następnie
  • Niech n ≥ 4 i
    numer harmonicznej . Wtedy (H. Miki 1978)
  • Niech n ≥ 4 . Jurij Matiyasevich znaleziony (1997)
  • Faber– PandharipandeZagier– Gessel tożsamość : dla n ≥ 1 ,
    Wybranie x = 0 lub x = 1 skutkuje identycznością liczby Bernoulliego w takiej czy innej konwencji.
  • Następny wzór jest prawdziwy dla n ≥ 0, jeśli B 1 = B 1 (1) =1/2, ale tylko dla n ≥ 1, jeśli B 1 = B 1 (0) = −1/2.
  • Niech n ≥ 0 . Następnie
    oraz
  • Relacja wzajemności MB Gelfanda:

Zobacz też

Uwagi

Bibliografia

Przypisy

Zewnętrzne linki