Pole cyklotomiczne - Cyclotomic field
W teorii liczb , A pole cyclotomic to pole numeru otrzymać przez przylegający do złożonego pierwiastek jedności do Q , w zakresie liczb wymiernych .
Pola cyklotomiczne odegrały kluczową rolę w rozwoju współczesnej algebry i teorii liczb ze względu na ich związek z Wielkim Twierdzeniem Fermata . To właśnie w trakcie swoich głębokich badań arytmetyki tych pól (dla liczby pierwszej n ) – a dokładniej z powodu niepowodzenia unikalnej faktoryzacji w ich pierścieniach liczb całkowitych – Ernst Kummer po raz pierwszy wprowadził pojęcie liczby idealnej i udowodnił swoje słynne kongruencje .
Definicja
Dla n ≥ 1 , niech ζ n = e 2π i / n ∈ C ; jest to prymitywny n- ty korzeń jedności. Następnie n p pola cyclotomic jest rozszerzenie P (ζ n ) z Q wytwarzane przez ç n .
Nieruchomości
jest nierozkładalny , więc jest to minimalna wielomian z ç n nad Q .
- Te koniugaty z ç n w C, są zatem inne prymitywny n TH korzenie jedności: ζ n k o 1 ≤ k ≤ n z GCD ( k , n ) = 1 .
- Stopień z Q (ζ n ) zatem [ P (ζ n ) P ] = ° Φ n = φ ( n ) , gdzie φ jest funkcją totient Eulera .
- Pierwiastki x n − 1 są potęgami ζ n , więc Q (ζ n ) jest polem podziału x n − 1 (lub Φ( x ) ) przez Q .
- Dlatego P (ζ n ) jest rozszerzeniem Galois z Q .
- Grupa Galois jest naturalnie izomorficzna z grupą multiplikatywną , która składa się z odwracalnych reszt modulo n , które są resztami a mod n z 1 ≤ a ≤ n i gcd( a , n ) = 1 . Izomorfizmu wysyła każdy z a mod n , gdzie jest taką liczbą całkowitą, że σ (ζ n ) = ζ n .
- Pierścień liczb całkowitych od Q (ζ n ) jest Z [ζ n ] .
- Dla n > 2 The wyróżnik wydłużania Q (ζ n ) / P jest
- W szczególności, Q (ζ n )/ Q jest nierozgałęziony powyżej każdej liczby pierwszej q nie dzielącej n .
- Jeśli n jest potęgą liczby pierwszej p , to Q (ζ n )/ Q jest całkowicie rozgałęzione powyżej p .
- Jeśli q jest liczbą pierwszą nie dzielącą n , to element Frobeniusa odpowiada reszcie q w .
- Grupa pierwiastków jedności w Q (ζ n ) ma rząd n lub 2 n , w zależności od tego, czy n jest parzyste czy nieparzyste.
- Grupa jednostek Z [ζ n ] × jest skończenie generowaną grupą abelową rzędu φ ( n )/2 , dla dowolnego n > 2 , według twierdzenia Dirichleta o jednostkach . W szczególności grupa jednostek jest nieskończona, z wyjątkiem sytuacji, gdy n ∈ {1,2,3,4,6 }. Podgrupa skręcanie z Z. [ζ N ] x oznacza grupę pierwiastków jedności Q (ζ n ) , który został opisany w poprzednim akapicie. Jednostki cyklotomiczne tworzą wyraźną podgrupę o skończonym indeksie Z [ζ n ] × .
- Kronecker-Webera twierdzenie wskazuje, że każdy ograniczony abelowa przedłużenie o Q W C zawarty jest w Q (ζ n ) przez pewien n . Równoważnie suma wszystkich cyclotomic pola Q (ζ n ) jest maksymalną abelowa przedłużenie P AB z Q .
Relacja z wielokątami foremnymi
Gauss dokonał wcześniejszych postępy w teorii pól cyclotomic, w związku z problemem budowy do regularnego n gon z kompasem i liniału . Jego zaskakujący wynik, który umknął jego poprzednikom, polegał na tym, że można było tak skonstruować zwykły 17-gon . Bardziej ogólnie, dla dowolnej liczby całkowitej n ≥ 3 , następujące są równoważne:
- regularny n -gon jest konstruowalny;
- istnieje ciąg pól, zaczynając od Q i kończąc na Q (ζ n ) , taki, że każde z nich jest kwadratowym rozszerzeniem poprzedniego ciała;
- φ ( n ) jest potęgą liczby 2 ;
- dla niektórych liczb całkowitych a , r ≥ 0 i liczb pierwszych Fermata . (Liczba pierwsza Fermata jest nieparzystą liczbą pierwszą p taką, że p − 1 jest potęgą 2. Znane liczby pierwsze Fermata to 3 , 5 , 17 , 257 , 65537 , i prawdopodobnie nie ma innych.)
Małe przykłady
- n = 3 i n = 6 : Równaniaipokazują , że Q ( 3 ) = Q ( 6 ) = Q ( √ -3 ) , co jest kwadratowym rozszerzeniem Q . Odpowiednio, można zbudować regularny 3-gon i regularny 6-gon.
- n = 4 : Podobnie, ζ 4 = i , więc Q (ζ 4 ) = Q ( i ) , a regularny czterokąt jest konstruowalny.
- n = 5 : Ciało Q (ζ 5 ) nie jest kwadratowym rozszerzeniem Q , ale jest kwadratowym rozszerzeniem kwadratowego rozszerzenia Q ( √ 5 ) , więc można skonstruować regularny 5-kąt.
Związek z Wielkim Twierdzeniem Fermata
Naturalnym podejściem do udowodnienia Wielkiego Twierdzenia Fermata jest rozłożenie na czynniki dwumianu x n + y n , gdzie n jest nieparzystą liczbą pierwszą, występującą po jednej stronie równania Fermata
następująco:
Tutaj x i y są zwykłymi liczbami całkowitymi, podczas gdy czynniki są algebraicznymi liczbami całkowitymi w polu cyklotomicznym Q ( ζ n ) . Jeżeli w cyklotomicznych liczbach całkowitych Z [ ζ n ] zachodzi jednoznaczna faktoryzacja , to można jej użyć do wykluczenia istnienia nietrywialnych rozwiązań równania Fermata.
Kilka prób rozwiązania Wielkiego Twierdzenia Fermata przebiegało w tym kierunku i zarówno dowód Fermata dla n = 4, jak i dowód Eulera dla n = 3 można przeformułować w tych warunkach. Pełna lista n, dla których Q ( ζ n ) ma unikalny rozkład na czynniki to
- 1 do 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 38, 40, 42, 44, 45, 48, 50, 54, 60, 66, 70, 84, 90.
Kummer znalazł sposób na poradzenie sobie z niepowodzeniem unikalnej faktoryzacji. Wprowadził zamiennik dla liczb w cyclotomic liczb całkowitych Z [ ζ n ] , zmierzony niepowodzenie unikalny faktoryzacji pomocą numeru klasy h n i okazało się, że jeśli H P nie jest podzielna przez źródło p (np P są nazywane regularnych liczb pierwszych ) wtedy twierdzenie Fermata jest prawdziwe dla wykładnika n = p . Ponadto podał kryterium do określenia, które liczby pierwsze są regularne i ustalił twierdzenie Fermata dla wszystkich wykładników pierwszych p mniejszych niż 100, z wyjątkiem liczb pierwszych nieregularnych 37 , 59 i 67 . Praca Kummera na temat zgodności liczb klas pól cyklotomicznych została uogólniona w XX wieku przez Iwasawę w teorii Iwasawa oraz przez Kubota i Leopoldta w ich teorii p-adycznych funkcji zeta .
Lista numerów klas pól cyklotomicznych
(sekwencja A061653 w OEIS ) lub OEIS : A055513 lub OEIS : A000927 dla części - (dla pierwszej n )
- 1-22: 1
- 23:3
- 24-28: 1
- 29:8
- 30:1
- 31: 9
- 32-36: 1
- 37: 37
- 38: 1
- 39:2
- 40:1
- 41: 121
- 42: 1
- 43: 211
- 44: 1
- 45: 1
- 46:3
- 47: 695
- 48:1
- 49: 43
- 50:1
- 51:5
- 52:3
- 53: 4889
- 54: 1
- 55:10
- 56:2
- 57: 9
- 58:8
- 59: 41241
- 60:1
- 61: 76301
- 62: 9
- 63:7
- 64:17
- 65: 64
- 66: 1
- 67: 853513
- 68:8
- 69: 69
- 70: 1
- 71: 3882809
- 72:3
- 73: 11957417
- 74: 37
- 75:11
- 76: 19
- 77: 1280
- 78: 2
- 79: 100146415
- 80:5
- 81: 2593
- 82: 121
- 83: 838216959
- 84:1
- 85: 6205
- 86:211
- 87: 1536
- 88: 55
- 89: 13379363737
- 90: 1
- 91: 53872
- 92: 201
- 93: 6795
- 94: 695
- 95: 107692
- 96: 9
- 97: 411322824001
- 98: 43
- 99:2883
- 100: 55
- 101: 3547404378125
- 102:5
- 103: 9069094643165
- 104: 351
- 105:13
- 106: 4889
- 107: 63434933542623
- 108: 19
- 109: 161784800122409
- 110:10
- 111: 480852
- 112: 468
- 113: 1612072001362952
- 114: 9
- 115: 44697909
- 116: 10752
- 117: 132678
- 118: 41241
- 119: 1238459625
- 120:4
- 121: 12188792628211
- 122: 76301
- 123: 8425472
- 124: 45756
- 125: 57708445601
- 126: 7
- 127: 2604529186263992195
- 128: 359057
- 129: 37821539
- 130: 64
- 131: 28496379729272136525
- 132:11
- 133: 157577452812
- 134: 853513
- 135: 75961
- 136: 111744
- 137: 646901570175200968153
- 138: 69
- 139: 1753848916484925681747
- 140: 39
- 141: 1257700495
- 142: 3882809
- 143: 36027143124175
- 144: 507
- 145: 1467250393088
- 146: 11957417
- 147: 5874617
- 148: 4827501
- 149: 687887859687174720123201
- 150:11
- 151: 2333546653547742584439257
- 152: 1666737
- 153: 2416282880
- 154: 1280
- 155: 84473643916800
- 156: 156
- 157: 56234327700401832767069245
- 158: 100146415
- 159: 223233182255
- 160: 31365
Zobacz też
Bibliografia
Źródła
- Bryan Birch , „Pola cyklotomiczne i rozszerzenia Kummera”, w JWS Cassels i A. Frohlich (red.), Teoria liczb algebraicznych , Academic Press , 1973. Rozdział III, s. 45-93.
- Daniel A. Marcus, Pola liczbowe , wydanie trzecie, Springer-Verlag, 1977
- Washington, Lawrence C. (1997), Wprowadzenie do pól cyklotomicznych , Graduate Texts in Mathematics, 83 (2 wyd.), New York: Springer-Verlag, doi : 10.1007/978-1-4612-1934-7 , ISBN 0-387-94762-0, MR 1421575
- Serge Lang , Pola cyklotomiczne I i II , Połączone wydanie drugie. Z załącznikiem autorstwa Karla Rubina . Teksty magisterskie z matematyki , 121. Springer-Verlag, New York, 1990. ISBN 0-387-96671-4
Dalsza lektura
- Coates, John ; Sujatha, R. (2006). Pola cyklotomiczne i wartości Zeta . Monografie Springera w matematyce. Springer-Verlag . Numer ISBN 3-540-33068-2. Zbl 1100.11002 .
- Weisstein, Eric W. „Pole Cyklotomiczne” . MatematykaŚwiat .
- „Pole cyklotomiczne” , Encyklopedia Matematyki , EMS Press , 2001 [1994]
- Na pierścieniu liczb całkowitych rzeczywistych pól cyklotomicznych. Koji Yamagata i Masakazu Yamagishi: Proc,Japońska Akademia, 92. Ser a (2016)