Rozdzielacz Poissona - Poisson manifold

W geometrii różniczkowej , A struktura Poissona na gładkiej kolektora jest wspornik Lie (zwany uchwyt Poissona w tym szczególnym przypadku) na Algebra z gładkimi funkcjami na , z zastrzeżeniem zasady Leibniza ${\ Displaystyle M}$ $\{\cdot,\cdot \}$ ${\ Displaystyle {C ^ {\ infty}} (M)}$ ${\ Displaystyle M}$

{\ Displaystyle \ {f, gh \} = \ {f, g \} h + g \ {f, h \}}

.

Równoważnie definiuje matematycznego Lie struktury na przestrzeni wektorowej z gładkimi funkcjami w taki sposób, że stanowi wektor pola dla każdego niezawodnego działania (tworząc w Algebra Poissona ). $\{\cdot,\cdot \}$ ${\ Displaystyle {C ^ {\ infty}} (M)}$ ${\ Displaystyle M}$ ${\ Displaystyle X_ {f}: = \ {f \ cdot \}: {C ^ {\ infty}} (M) \ do {C ^ {\ infty}} (M)}$ $f$ ${\ Displaystyle {C ^ {\ infty}} (M)}$

Struktury Poissona zostały wprowadzone przez André Lichnerowicza w 1977 roku. Były one dalej badane w klasycznej pracy Alana Weinsteina , w której po raz pierwszy udowodniono wiele podstawowych twierdzeń o strukturze, i które wywarły ogromny wpływ na rozwój geometrii Poissona — dziś głęboko uwikłanej. z nieprzemienną geometrią , układami całkowalnymi , topologicznymi teoriami pola i teorią reprezentacji , żeby wymienić tylko kilka.

Struktury Poissona zostały nazwane na cześć francuskiego matematyka Siméona Denisa Poissona .

Definicja

Istnieją dwa główne punkty widzenia na definiowanie struktur Poissona: zwyczajowo i wygodnie się między nimi przełączać, co zrobimy poniżej.

Jako wspornik

Niech będzie gładką rozmaitością i oznaczmy rzeczywistą algebrę gładkich funkcji rzeczywistych na , gdzie mnożenie jest określone punktowo. Nawias Poissona (lub struktura Poissona ) na to -bilinear mapa ${\ Displaystyle M}$ ${\ Displaystyle {C ^ {\ infty}} (M)}$ ${\ Displaystyle M}$ ${\ Displaystyle M}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$

{\ Displaystyle \ {\ cdot \ cdot \}: {C ^ {\ infty}} (M) \ razy {C ^ {\ infty}} (M) \ do {C ^ {\ infty}} (M) }

zdefiniowanie struktury algebry Poissona na , czyli spełniającej trzy warunki: ${\ Displaystyle {C ^ {\ infty}} (M)}$

Symetria skośna : . ${\ Displaystyle \ {f, g \} = - \ {g, f \}}$
Tożsamość Jacobiego : . ${\ Displaystyle \ {f, \ {g, h \} \} + \ {g, \ {h, f \} \} + \ {h, \ {f, g \} \} = 0}$
Reguła Leibniza : . ${\ Displaystyle \ {fg, h \} = f \ {g, h \} + g \ {f, h \}}$

Pierwsze dwa warunki zapewniają, że definiuje strukturę Lie-algebry on , podczas gdy trzeci gwarantuje, że dla każdego , odwzorowanie liniowe jest pochodną algebry , tj. definiuje pole wektorowe zwane polem wektorowym Hamiltona związane z . $\{\cdot,\cdot \}$ ${\ Displaystyle {C ^ {\ infty}} (M)}$ ${\ Displaystyle f \ w {C ^ {\ infty}} (M)}$ ${\ Displaystyle X_ {f}: = \ {f \ cdot \}: {C ^ {\ infty}} (M) \ do {C ^ {\ infty}} (M)}$ ${\ Displaystyle {C ^ {\ infty}} (M)}$ ${\ Displaystyle X_ {f} \ w {\ mathfrak {X}} (M)}$ $f$

Wybierając jakieś lokalne współrzędne , dowolny nawias Poissona jest podany przez ${\ Displaystyle (U, x ^ {i})}$

{\ Displaystyle \ {f, g \} _ {\ średni U} = \ suma _ {i, j} \ pi ^ {ij} {\ Frac {\ częściowy f} {\ częściowy x ^ {i}}} \frac {\częściowy g}{\częściowy x^{j}}},}

dla nawiasu Poissona funkcji współrzędnych.

{\ Displaystyle \ pi ^ {ij} = \ {x ^ {i}, x ^ {j} \}}

Jako dwuwektor

Poissona bivector na gładkiej kolektorem się pole bivector spełniających nieliniowego równania różniczkowe częściowe , gdzie ${\ Displaystyle M}$ ${\ Displaystyle \ pi \ w {\ mathfrak {X}} ^ {2} (M): = \ Gamma {\ duży (} \ klin ^ {2} TM {\ duży)}}$ $[\pi,\pi]=0$

{\ Displaystyle [\ cdot, \ cdot]: {{\ mathfrak {X}} ^ {p}} (M) \ razy {{\ mathfrak {X}} ^ {q}} (M) \ do {{\ mathfrak {X}}^{p+q-1}}(M)}

oznacza nawias Schouten-Nijenhuis na polach wielowektorowych. Wybierając jakieś lokalne współrzędne , dowolny dwuwektor Poissona jest podany przez ${\ Displaystyle (U, x ^ {i})}$

{\ Displaystyle \ pi _ {\ średni U} = \ suma _ {i, j} \ pi ^ {ij} {\ Frac {\ częściowy} {\ częściowy x ^ {i}}} {\ Frac {\ częściowy} {\częściowy x^{j}}},}

dla funkcji skośno-symetrycznych płynnych na .

{\ Displaystyle \ pi ^ {ij}}

{\ Displaystyle U}

Równoważność definicji

Niech będzie dwuliniowym nawiasem skośno-symetrycznym spełniającym regułę Leibniza; wtedy funkcję można opisać jako $\{\cdot,\cdot \}$ ${\ Displaystyle \ {f, g \}}$

{\ Displaystyle \ {f, g \} = \ pi (df \ klin dg)}

,

dla unikalnego gładkiego pola dwuwektorowego . I odwrotnie, biorąc pod uwagę dowolne gładkie pole dwuwektorowe na , ten sam wzór definiuje dwuliniowy nawias skośno-symetryczny, który automatycznie spełnia regułę Leibniza. ${\ Displaystyle \ pi \ w {\ mathfrak {X}} ^ {2} (M)}$ $\pi$ ${\ Displaystyle M}$ ${\ Displaystyle \ {f, g \} = \ pi (df \ klin dg)}$ $\{\cdot,\cdot \}$

Wreszcie, następujące warunki są równoważne:

$\{\cdot,\cdot \}$ spełnia tożsamość Jacobiego (stąd jest to nawias Poissona)
$\pi$ spełnia (stąd dwuwektor Poissona) $[\pi,\pi]=0$
odwzorowanie jest homomorfizmem algebry Liego, tzn. pola wektorowe hamiltonianu spełniają ${\ Displaystyle {C ^ {\ infty}} (M) \ do {\ mathfrak {X}} (M), f \ mapsto X_ {f}}$ ${\ Displaystyle [X_ {f}, X_ {g}] = X_ {\ {f, g \}}}$
wykres definiuje strukturę Diraca, tj. podwiązkę Lagrange'a, która jest zamknięta pod standardowym nawiasem Couranta . ${\ Displaystyle Wykres (\ pi) \ podzbiór TM \ oplus T ^ {*} M}$ ${\ Displaystyle D \ podzbiór TM \ oplus T ^ {*} M}$

Liście symplektyczne

Rozmaitość Poissona jest naturalnie podzielona na regularnie zanurzone rozmaitości symplektyczne o możliwie różnych wymiarach, zwane jej liśćmi symplektycznymi . Powstają one jako maksymalne całkowe podrozmaitości całkowicie całkowalnej osobliwej foliacji rozpiętej przez pola wektorowe hamiltonianu.

Ranga struktury Poissona

Przypomnijmy, że każde pole dwuwektorowe można uznać za homomorfizm skośny . Obraz składa się zatem z wartości wszystkich pól wektorowych hamiltonowskich obliczonych co . ${\ Displaystyle \ pi ^ {\ ostry}: T ^ {*} M \ do TM \ alfa \ mapsto \ pi (\ alfa \ cdot)}$ ${\ Displaystyle {\ pi ^ {\ ostry}} (T ^ {*} M) \ podzbiór TM}$ ${\ Displaystyle {X_ {f}} (x)}$ $x\wm$

Stopień o w punkcie jest stopień indukowanego odwzorowania liniowego . Punkt nazywany jest regularny dla struktury Poissona na wtedy i tylko wtedy, gdy ranga jest stała na otwartej sąsiedztwie ; w przeciwnym razie nazywany jest punktem osobliwym . Punkty regularne tworzą otwartą gęstą podprzestrzeń ; gdy , tj. mapa ma stałą rangę, strukturę Poissona nazywamy regular . Przykłady regularnych struktur Poissona obejmują struktury trywialne i niezdegenerowane (patrz poniżej). $\pi$ $x\wm$ ${\ Displaystyle \ pi _ {x} ^ {\ ostry}}$ $x\wm$ $\pi$ ${\ Displaystyle M}$ $\pi$ $x\wm$ $M_{\mathrm {reg}}\subseteq M$ ${\ Displaystyle M_ {\ operator {reg}} = M}$ ${\ Displaystyle \ pi ^ {\ ostry}}$ $\pi$

Zwykła sprawa

Dla zwykłej rozmaitości Poissona obraz jest rozkładem regularnym ; to łatwo sprawdzić, że jest involutive zatem przez Frobenius twierdzenia , przyznaje partycję do liści. Co więcej, dwuwektor Poissona ładnie ogranicza się do każdego liścia, co staje się zatem rozmaitościami symplektycznymi. ${\ Displaystyle {\ pi ^ {\ ostry}} (T ^ {*} M) \ podzbiór TM}$ ${\ Displaystyle M}$

Nietypowy przypadek

Dla nieregularnej rozmaitości Poissona sytuacja jest bardziej skomplikowana, ponieważ rozkład jest osobliwy, tzn. podprzestrzenie wektorowe mają różne wymiary. ${\ Displaystyle {\ pi ^ {\ ostry}} (T ^ {*} M) \ podzbiór TM}$ ${\ Displaystyle {\ pi ^ {\ ostry}} (T_ {x} ^ {*} M) \ podzbiór T_ {x} M}$

Integralną podrozmaitością do ścieżka połączone podrozmaitością spełniająca dla wszystkich . Integral podrozmaitości z są automatycznie regularnie zanurzone kolektory i maksymalny integralne podrozmaitości z nazywane są liśćmi o . ${\ Displaystyle {\ pi ^ {\ ostry}} (T ^ {*} M)}$ $S\subseteq M$ ${\ Displaystyle T_ {x} S = {\ pi ^ {\ ostry}} (T_ {x} ^ {\ ast} M)}$ ${\ Displaystyle x \ w S}$ $\pi$ $\pi$ $\pi$

Co więcej, każdy liść ma naturalną formę symplektyczną, określoną przez stan wszystkich i . Odpowiednio, jeden mówi o symplektycznych liści z . Co więcej, zarówno przestrzeń punktów regularnych, jak i jej dopełnienie, nasycone są liśćmi symplektycznymi, więc liście symplektyczne mogą być regularne lub pojedyncze. $S$ ${\ Displaystyle \ omega _ {S} \ w {\ Omega ^ {2}} (S)}$ ${\ Displaystyle [{\ omega _ {S}} (X_ {f}, X_ {g})] (x) = - \ {f, g \} (x)}$ ${\ Displaystyle f, g \ w {C ^ {\ infty}} (M)}$ ${\ Displaystyle x \ w S}$ $\pi$ $M_{\mathrm {reg}}$

Twierdzenie o dzieleniu Weinsteina

Aby pokazać istnienie liści symplektycznych również w przypadku nieregularnym, można posłużyć się twierdzeniem Weinsteina o dzieleniu (lub twierdzeniu Darboux-Weinsteina). Stwierdza, że każda rozmaitość Poissona rozszczepia się lokalnie wokół punktu jako iloczyn rozmaitości symplektycznej i poprzecznej podrozmaitości Poissona znikającej w . Dokładniej, jeśli , istnieją współrzędne lokalne takie, że dwuwektor Poissona dzieli się jako suma ${\ Displaystyle (M ^ {n}, \ pi)}$ $x_{0}\w m$ ${\ Displaystyle (S ^ {2k}, \ omega)}$ ${\ Displaystyle (T ^ {n-2k}, \ pi _ {T})}$ $x_{0}$ ${\ Displaystyle \ operatorname {ranga} (\ pi _ {x_ {0}}) = 2 k}$ ${\ Displaystyle (U, p_ {1}, \ ldots, p_ {n}, q ^ {1}, \ ldots, q ^ {n}, x ^ {1}, \ ldots, x ^ { n-2 k} )}$ $\pi$

{\ Displaystyle \ pi _ {\ średni U} = \ suma _ {i = 1} ^ {n} {\ Frac {\ częściowy} {\ częściowy q ^ {i}}} {\ Frac {\ częściowy} {\ częściowe p_{i}}}+{\frac {1}{2}}\sum _{i,j=1}^{n-2k}\phi ^{ij}(x){\frac {\częściowy } {\częściowy x^{i}}}{\frac {\częściowy }{\częściowy x^{j}}},}

gdzie . Zauważ, że gdy rząd jest maksymalny (np. struktura Poissona jest niezdegenerowana), można odzyskać klasyczne twierdzenie Darboux dla struktur symplektycznych.

{\ Displaystyle \ phi ^ {ij} (x) = 0}

\pi

Przykłady

Trywialne struktury Poissona

Każda rozmaitość niesie

trywialną strukturę Poissona , równoważnie opisaną przez dwuwektor . Każdy punkt jest zatem zerowymiarowym liściem symplektycznym.

{\ Displaystyle M}

{\ Displaystyle \ {f, g \} = 0}

{\ Displaystyle \ pi = 0}

{\ Displaystyle M}

Niezdegenerowane struktury Poissona

Pole

dwuwektorowe nazywa się niezdegenerowanym, jeśli jest izomorfizmem wiązki wektorowej. Niezdegenerowane pola dwuwektorowe Poissona są w rzeczywistości tym samym, co rozmaitości symplektyczne .

\pi

{\ Displaystyle \ pi ^ {\ ostry}: T ^ {*} M \ do TM}

{\ Displaystyle (M \ omega )}

Rzeczywiście, istnieje bijektywny odpowiednik między niezdegenerowanymi polami

dwuwektorowymi a niezdegenerowanymi 2-formami , podany przez

\pi

{\ Displaystyle \ omega}

{\ Displaystyle \ pi ^ {\ ostry} = (\ omega ^ {\ płaskie}) ^ {-1}}

gdzie jest zakodowany przez . Co więcej, czy Poisson jest dokładnie wtedy i tylko wtedy, gdy jest zamknięty; w takim przypadku nawias staje się kanonicznym nawiasem Poissona z mechaniki hamiltonowskiej:

{\ Displaystyle \ omega}

{\ Displaystyle \ omega ^ {\ płaskie}: TM \ do T ^ {*} M \ quad v \ mapsto \ omega (v \ cdot)}

\pi

{\ Displaystyle \ omega}

{\ Displaystyle \ {f, g \}: = \ omega (X_ {f}, X_ {g}).}

Niezdegenerowane struktury Poissona mają tylko jeden liść symplektyczny, a mianowicie siebie, a ich algebra Poissona staje się pierścieniem Poissona .

{\ Displaystyle M}

{\ Displaystyle ({\ mathcal {C}} ^ {\ infty} (M), \ {\ cdot, \ cdot \})}

Liniowe struktury Poissona

Strukturę Poissona w przestrzeni wektorowej nazywamy

liniową, gdy nawias dwóch funkcji liniowych jest nadal liniowy. Klasa przestrzeni wektorowych o liniowych strukturach Poissona pokrywa się właściwie z klasą (dual of) algebr Liego.

\{\cdot,\cdot \}

{\ Displaystyle V}

Rzeczywiście, dwójka dowolnej skończenie wymiarowej algebry Liego zawiera liniowy nawias Poissona, znany w literaturze pod nazwami Lie-Poissona, Kirillova-Poissona lub KKS (

Kostant - Kirillov - Souriau ):

{\ Displaystyle {\ mathfrak {g}} ^ {*}}

({\mathfrak {g}},[\cdot,\cdot])

${\ Displaystyle \ {f, g \} (\ xi): = \ xi ([d_ {\ xi} f, d_ {\ xi} g] _ {\ mathfrak {g}})}$ ,

gdzie i instrumenty pochodne są interpretowane jako elementy bidual . Równoważnie dwuwektor Poissona może być lokalnie wyrażony jako ${\ Displaystyle f, g \ w {\ mathcal {C}} ^ {\ infty} ({\ mathfrak {g}} ^ {*}), \ xi \ w {\ mathfrak {g}} ^ {*}}$ ${\ Displaystyle d_ {\ xi } f, d_ {\ xi } g: T_ {\ xi }{\ mathfrak {g}} ^ {*} \ do \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}} ^ {**} \ cong {\ mathfrak {g}}}$

{\ Displaystyle \ pi = \ suma _ {i, j, k} c_ {k} ^ {ij} x ^ {k} {\ Frac {\ częściowy} {\ częściowy x ^ {i}}} {\ Frac { \częściowa }{\częściowa x^{j}}},}

gdzie są współrzędnymi na i są związane z nimi stałe struktury z ,

{\ Displaystyle x ^ {i}}

{\ Displaystyle {\ mathfrak {g}} ^ {*}}

{\ Displaystyle c_ {k} ^ {ij}}

{\mathfrak {g}}

Natomiast każda liniowa struktura Poissona w muszą być tej postaci, to znaczy nie występuje naturalnie Lie strukturę matematycznego generowanych w których Lie-Poissona odzyskuje wspornika . $\{\cdot,\cdot \}$ ${\ Displaystyle V}$ ${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}}: = V ^ {*}}$ $\{\cdot,\cdot \}$

W symplektyczne liście struktury Lie-Poissona na to orbity

działania coadjoint z na .

{\ Displaystyle {\ mathfrak {g}} ^ {*}}

{\ Displaystyle G}

{\ Displaystyle {\ mathfrak {g}} ^ {*}}

Inne przykłady i konstrukcje

Każde stałe pole dwuwektorowe na przestrzeni wektorowej jest automatycznie strukturą Poissona; w rzeczywistości wszystkie trzy wyrazy w Jacobiatorze wynoszą zero, będąc nawiasem ze stałą funkcją.
Każde pole dwuwektorowe na dwuwymiarowej rozmaitości jest automatycznie strukturą Poissona; w rzeczywistości jest polem 3-wektorowym, które zawsze ma wartość zero w wymiarze 2. $[\pi ,\pi ]$
Iloczyn kartezjański dwóch rozmaitości Poissona i ponownie jest rozmaitością Poissona. ${\ Displaystyle (M_ {0} \ razy M_ {1} \ pi _ {0} \ razy \ pi _ {1})}$ ${\ Displaystyle (M_ {0}, \ pi _ {0})}$ ${\ Displaystyle (M_ {1}, \ pi _ {1})}$
Niech będzie (regularna) foliacja wymiaru na i foliacja zamknięta dwupostaciowa, dla której moc nigdzie nie zanika. To jednoznacznie określa regularną strukturę Poissona w wymagając że symplektyczne pozostawia się liście z wyposażony indukowanego postaci symplektyczna . ${\mathcal {F}}$ $2r$ ${\ Displaystyle M}$ ${\ Displaystyle \ omega \ w {\ Omega ^ {2}} ({\ mathcal {F}})}$ ${\ Displaystyle \ omega ^ {r}}$ ${\ Displaystyle M}$ $\pi$ $S$ ${\mathcal {F}}$ ${\ Displaystyle \ omega | _ {S}}$
Niech będzie grupą Liego

działającą na rozmaitości Poissona przez dyfeomorfizmy Poissona. Jeśli działanie jest wolny i odpowiednie iloraz kolektora dziedziczy struktura Poissona z (a mianowicie nie jest to tylko jeden taki, że głębokość zanurzenia jest mapą Poissona).

{\ Displaystyle G}

(M,\pi)

{\ Displaystyle M/G}

{\ Displaystyle \ pi _ {M/G}}

\pi

{\ Displaystyle (M \ pi) \ do (M / G \ pi _ {M / G})}

kohomologia Poissona

W Poissona grupy kohomologii rozgałęźną Poissona są grupy kohomologii kompleksu cochain ${\ Displaystyle H ^ {k} (M \ pi)}$

{\ Displaystyle \ ldots \ xrightarrow {d_ {\ pi}} {\ mathfrak {X}} ^ {\ pocisk} (M) \ xrightarrow {d_ {\ pi}} {\ mathfrak {X}} ^ {\ pocisk + 1}(M)\xrightarrow {d_{\pi }} \ldots \color {white}{\sum ^{i}}}

gdzie jest nawias Schouten-Nijenhuis z . Zauważ, że taki ciąg można zdefiniować dla każdego dwuwektora na ; warunek jest równoważny , tj. jest Poissonem.

d_{\pi}=[\pi,-]

\pi

{\ Displaystyle M}

d_{\pi}\circ d_{\pi}=0

[\pi,\pi]=0

{\ Displaystyle M}

Używając morfizmu , otrzymuje się morfizm od kompleksu de Rama do kompleksu Poissona , indukując homomorfizm grupy . W przypadku niezdegenerowanym staje się to izomorfizmem, tak że kohomologia Poissona rozmaitości symplektycznej w pełni odzyskuje swoją

kohomologię de Rhama .

{\ Displaystyle \ pi ^ {\ ostry}: T ^ {*} M \ do TM}

{\ Displaystyle (\ Omega ^ {\ pocisk} (M), d_ {DR})}

{\ Displaystyle ({\ mathfrak {X}} ^ {\ pocisk} (M), d_ {\ pi})}

{\ Displaystyle H_ {DR} ^ {\ pocisk} (M) \ do H ^ {\ pocisk} (M \ pi)}

Ogólnie rzecz biorąc, kohomologia Poissona jest trudna do obliczenia, ale grupy niskiego stopnia zawierają ważne informacje geometryczne dotyczące struktury Poissona:

${\ Displaystyle H ^ {0} (M \ pi)}$ jest przestrzenią funkcji Casimira , tj. funkcji gładkich z dojazdami Poissona ze wszystkimi innymi (lub równoważnie funkcji gładkich stałych na liściach symplektycznych)
${\ Displaystyle H ^ {1} (M \ pi )}$ jest przestrzenią pól wektorowych Poissona modulo pola wektorowe hamiltonowskie
${\ Displaystyle H ^ {2} (M \ pi )}$ jest przestrzenią nieskończenie małych deformacji struktury Poissona modulo trivial deformations
${\ Displaystyle H ^ {3} (M \ pi )}$ jest przestrzenią przeszkód rozszerzającą nieskończenie małe deformacje do rzeczywistych deformacji.

Mapy Poissona

Gładkie odwzorowanie między rozmaitościami Poissona nazywa się a ${\ Displaystyle \ varphi: M \ do N}$ Mapa Poissona, jeśli uwzględnia struktury Poissona, tj. spełniony jest jeden z następujących równoważnych warunków (patrz różne definicje struktur Poissona powyżej):

wsporniki Poissona i spełniają wszystkie i płynne funkcje ${\ Displaystyle \ {\ cdot \ cdot \} _ {M}}$ ${\ Displaystyle \ {\ cdot \ cdot \} _ {N}}$ ${\ Displaystyle {\ {f, g \} _ {N}} (\ varphi (x)) = {\ {f \ circ \ varphi, g \ circ \ varphi \} _ {M}} (x)}$ $x\wm$ ${\ Displaystyle f, g \ w {C ^ {\ infty}} (N)}$
pola dwuwektorowe i są -powiązane, tj. ${\ Displaystyle \ pi _ {M}}$ ${\ Displaystyle \ pi _ {N}}$ $\varphi$ ${\ Displaystyle \ pi _ {N} = \ varphi _ {*} \ pi _ {M}}$

pola wektorowe hamiltonowskie związane z każdą funkcją gładką są -powiązane, tj. ${\ Displaystyle H \ w {\ mathcal {C}} ^ {\ infty} (N)}$ $\varphi$ ${\ Displaystyle X_ {H} = \ varphi _ {*} X_ {H \ circ \ phi}}$
różniczką jest morfizm Diraca. ${\ Displaystyle d \ varphi : (TM, wykres (\ pi _ {M})) \ do (TN, wykres (\ pi _ {N}))}$

Mapa anty-Poissona spełnia analogiczne warunki ze znakiem minus po jednej stronie.

Rozmaitości Poissona są obiektami kategorii z mapami Poissona jako morfizmami. Jeśli mapa Poissona jest również dyfeomorfizmu, to nazywamy to

Poissona dyfeomorfizmu .

{\mathfrak {Poiss}}

{\ Displaystyle \ varphi: M \ do N}

\varphi

Przykłady

Biorąc pod uwagę iloczyn Rozmaitości Poissona , rzuty kanoniczne , dla , są odwzorowaniami Poissona. ${\ Displaystyle (M_ {0} \ razy M_ {1} \ pi _ {0} \ razy \ pi _ {1})}$ ${\ Displaystyle \ operatorname {pr} _ {i}: M_ {0} \ razy M_ {1} \ do M_ {i}}$ ${\ Displaystyle i \ w \ {0,1 \}}$
Mapowanie inkluzji liścia symplektycznego lub otwartej podprzestrzeni jest mapą Poissona.
Biorąc pod uwagę dwie algebry Liego i , dualność dowolnego homomorfizmu algebr Liego indukuje odwzorowanie Poissona między liniowymi strukturami Poissona. ${\mathfrak {g}}$ ${\mathfrak {h}}$ ${\mathfrak {g}}\do {\mathfrak {h}}$ ${\ Displaystyle {\ mathfrak {h}} ^ {*} \ do {\ mathfrak {g}} ^ {*}}$

Należy zauważyć, że pojęcie odwzorowania Poissona różni się zasadniczo od pojęcia odwzorowania symplektycznego . Na przykład ze standardowymi strukturami symplektycznymi nie istnieją mapy Poissona , podczas gdy mapy symplektyczne obfitują. ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2} \ do \ mathbb {R} ^ {4}}$

Realizacje symplektyczne

Symplektycznych realizacja na Poissona rozdzielacza M składa się z kolektora symplektyczna Wraz z mapą Poissona , który jest suriekcją zanurzenie. Z grubsza rzecz biorąc, rolą realizacji symplektycznej jest „desingularyzacja” skomplikowanej (zdegenerowanej) rozmaitości Poissona poprzez przejście do większej, ale łatwiejszej (niezdegenerowanej). $(P,\omega)$ ${\ Displaystyle \ phi : (P \ omega ) \ do (M \ pi )}$

Zauważ, że niektórzy autorzy definiują realizacje symplektyczne bez tego ostatniego warunku (tak, że na przykład włączenie liścia symplektycznego do rozmaitości symplektycznej jest przykładem) i nazywają pełną realizację symplektyczną, w której jest zanurzenie suriektywne. Przykłady (pełnych) realizacji symplektycznych obejmują: $\phi$

W przypadku trywialnej struktury Poissona bierze się wiązkę kotangensową z jej

kanoniczną strukturą symplektyczną oraz rzutowanie .

{\ Displaystyle (M,0)}

{\ Displaystyle T ^ {*} M}

{\ Displaystyle T ^ {*} M \ do M}

Dla niezdegenerowanej struktury Poissona bierze się siebie i tożsamość .

{\ Displaystyle (M \ omega )}

{\ Displaystyle M}

{\ Displaystyle M \ do M}

W przypadku struktury Liego-Poissona na , bierze się wiązkę kostyczną integrującej grupy Liego i podwójną mapę różniczki w tożsamości (lewego lub prawego) translacji . ${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}} ^ {*}}$ ${\ Displaystyle T ^ {*} G}$ ${\ Displaystyle G}$ ${\mathfrak {g}}$ ${\ Displaystyle \ phi: T ^ {*} G \ do {\ mathfrak {g}} ^ {*}}$ ${\ Displaystyle G \ do G}$

Realizację symplektyczną nazywamy

zupełną, jeśli dla dowolnego zupełnego pola wektorowego hamiltona , również pole wektorowe jest zupełne. Podczas gdy realizacje symplektyczne zawsze istnieją dla każdej rozmaitości Poissona (dostępnych jest kilka różnych dowodów), zupełne realizacje odgrywają fundamentalną rolę w problemie całkowalności dla rozmaitości Poissona (patrz niżej).

\phi

{\ Displaystyle X_ {H}}

{\ Displaystyle X_ {H \ circ \ phi}}

Całkowanie rozmaitości Poissona

Każda rozmaitość Poissona indukuje strukturę

algebroidu Liego na jego wiązce cotangensa . Mapa kotwicy jest podana przez, podczas gdy nawias Lie jest zdefiniowany jako

(M,\pi)

{\ Displaystyle T ^ {*} M \ do M}

{\ Displaystyle \ pi ^ {\ ostry}: T ^ {*} M \ do TM}

{\ Displaystyle \ Gamma (T ^ {*} M) = \ Omega ^ {1} (M)}

{\ Displaystyle [\ alfa, \ beta]: = {\ mathcal {L}} _ {\ pi ^ {\ ostry} (\ alfa)} (\ beta) - \ iota _ {\ pi ^ {\ ostry} ( \beta )}d\alpha ={\mathcal {L}}_{\pi ^{\sharp }(\alpha )}(\beta )-{\mathcal {L}}_{\pi ^{\sharp } (\beta )}(\alpha )-d\pi (\alpha ,\beta ).}

Kilka pojęć zdefiniowanych dla rozmaitości Poissona można zinterpretować poprzez jego algebroid Liego :

{\ Displaystyle T ^ {*} M}

foliacja symplektyczna jest zwykłą (pojedynczą) foliacją indukowaną przez kotwicę algebroidu Liego
liście symplektyczne są orbitami algebroida Liego
struktura Poissona na jest regularna dokładnie wtedy, gdy powiązany algebroid Liego jest ${\ Displaystyle M}$ ${\ Displaystyle T ^ {*} M}$
grupy kohomologii Poissona pokrywają się z grupami kohomologii algebroidu Liego o współczynnikach w reprezentacji trywialnej. ${\ Displaystyle T ^ {*} M}$

Należy zauważyć, że algebroid Liego nie zawsze jest całkowalny z groupoidem Liego. ${\ Displaystyle T ^ {*} M}$

Grupoidy symplektyczne

A Grupaoid symplektyczny to

grupaoid Liego wraz z formą symplektyczną,która jest również multiplikatywna (tj. zgodna ze strukturą groupoidu). Równoważnie, wykresjest proszony byćLagrange'a podrozmaitościąod.

{\mathcal {G}}\rightrightarrows M

{\ Displaystyle \ omega \ w \ Omega ^ {2} ({\ mathcal {G}})}

{\ Displaystyle \ omega}

{\ Displaystyle ({\ mathcal {G}} \ razy {\ mathcal {G}} \ razy {\ mathcal {G}}, \ omega \ oplus \ omega \ oplus - \ omega )}

Podstawowe twierdzenie mówi, że przestrzeń bazowa każdej symplektycznej grupoidy dopuszcza unikalną strukturę Poissona, tak że mapa źródłowa i mapa docelowa są odpowiednio mapą Poissona i mapą anty-Poissona. Co więcej, algebroid Liego jest izomorficzny z algebroidem cotangensa związanym z rozmaitością Poissona . Odwrotnie, jeśli wiązka cotangensa rozmaitości Poissona jest całkowalna z pewną grupoidą Liego , to automatycznie jest to groupoid symplektyczny. $\pi$ ${\ Displaystyle s: ({\ mathcal {G}}, \ omega ) \ do (M \ pi)}$ ${\ Displaystyle t: ({\ mathcal {G}}, \ omega ) \ do (M \ pi)}$ ${\ Displaystyle Kłamstwo ({\ Mathcal {G}})}$ ${\ Displaystyle T ^ {*} M}$ $(M,\pi)$ ${\ Displaystyle T ^ {*} M}$ ${\mathcal {G}}\rightrightarrows M$ ${\ Displaystyle {\ Mathcal {G}}}$

W związku z tym problem całkowalności dla rozmaitości Poissona polega na znalezieniu symplektycznej groupoidy, która integruje swój algebroid cotangens; kiedy tak się dzieje, mówimy, że struktura Poissona jest całkowalna .

Podczas gdy dowolna rozmaitość Poissona dopuszcza całkowanie lokalne (tj. symplektyczną grupoidę, w której mnożenie jest zdefiniowane tylko lokalnie), istnieją ogólne przeszkody topologiczne w jej całkowalności, pochodzące z teorii całkowalności dla algebroidów Liego. Korzystając z takich przeszkód, można wykazać, że rozmaitość Poissona jest całkowalna wtedy i tylko wtedy, gdy dopuszcza pełną realizację symplektyczną.

Podrozmaitości

Poissona podrozmaitością od jest

zanurzony podrozmaitością tak, że na mapie zanurzeniowy jest mapą Poissona. Równoważnie załóżmy, że każde hamiltonowskie pole wektorowe , dla , jest styczne do .

(M,\pi)

N\subseteq M

{\ Displaystyle (N \ pi _ {\ średni N}) \ hookrightarrow (M \ pi)}

{\ Displaystyle X_ {f}}

{\ Displaystyle f \ w {\ mathcal {C}} ^ {\ infty} (M)}

{\ Displaystyle N}

Ta definicja jest bardzo naturalna i spełnia kilka dobrych właściwości, np. poprzeczne przecięcie dwóch podrozmaitości Poissona jest znowu podrozmaitością Poissona. Jednak ma też kilka problemów:

Podrozmaitości Poissona są rzadkie: na przykład jedynymi podrozmaitościami Poissona rozmaitości symplektycznej są zbiory otwarte;
definicja nie zachowuje functorially: jeśli jest mapa Poissona poprzecznie do Poissona podrozmaitością z The podrozmaitością z niekoniecznie jest Poissona. ${\ Displaystyle \ Phi: (M \ pi _ {M}) \ do (N \ pi _ {N})}$ $Q$ ${\ Displaystyle N}$ ${\ Displaystyle \ Phi ^ {-1} (Q)}$ ${\ Displaystyle M}$

Aby przezwyciężyć te problemy, często używa się pojęcia poprzecznego Poissona (pierwotnie nazywanego podrozmaitością kosymplektyczną). Można to zdefiniować jako podrozmaitość, która jest poprzeczna do każdego liścia symplektycznego i taka, że przecięcie jest podrozmaitością symplektyczną . Wynika z tego, że każda poprzeczka Poissona dziedziczy kanoniczną strukturę Poissona z . W przypadku niezdegenerowanej rozmaitości Poissona (której jest tylko liść symplektyczny ), rozmaitości Poissona są tym samym, co podrozmaitości symplektyczne. $X\subseteq M$ $S$ ${\ Displaystyle X \ czapka S}$ ${\ Displaystyle (S \ omega _ {S})}$ ${\ Displaystyle X \ subseteq (M \ pi )}$ ${\ Displaystyle \ pi _ {X}}$ $\pi$ $(M,\pi)$ ${\ Displaystyle M}$

Bardziej ogólne klasy podrozmaitości odgrywają ważną rolę w geometrii Poissona, w tym podrozmaitości Lie-Diraca, podrozmaitości Poissona-Diraca, podrozmaitości koizotropowe i podrozmaitości sprzed Poissona.

Zobacz też

Bibliografia

Książki i ankiety

Bhaskara, KH; Viswanath, K. (1988). Algebry Poissona i rozmaitości Poissona . Longmana. Numer ISBN 0-582-01989-3.
Cannas da Silva, Ana ; Weinstein, Alan (1999). Modele geometryczne dla algebr nieprzemiennych . Notatki do wykładu z matematyki AMS Berkeley, 10.
Dufour, J.-P.; Zung, NT (2005). Struktury Poissona i ich formy normalne . 242 . Birkhäuser Postępy w matematyce.
Crainic, Mariusz ; Loja Fernandes, Rui ; Murcu, Ioan (2021). Wykłady z geometrii Poissona (PDF) . Studia magisterskie z matematyki . Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne (do pojawienia się).Poprzednia wersja dostępna na [1] .
Guillemin, Wiktor ; Sternberg, Szlomo (1984). Techniki symplektyczne w fizyce . Nowy Jork: Cambridge University Press . Numer ISBN 0-521-24866-3.
Libermann, Paulette ; Marle, CM. (1987). Geometria symplektyczna i mechanika analityczna . Dordrecht: Reidel. Numer ISBN 90-277-2438-5.
Vaisman, Izu (1994). Wykłady z geometrii rozmaitości Poissona . Birkhäuser.Zobacz także recenzję Ping Xu w Biuletynie AMS.
Weinstein, Alan (1998). "Geometria Poissona" . Geometria różniczkowa i jej zastosowania . 9 (1–2): 213–238. doi : 10.1016/S0926-2245(98)00022-9 .

Languages

In other projects

Rozdzielacz Poissona - Poisson manifold

Zawartość

Definicja

Jako wspornik

Jako dwuwektor

Równoważność definicji

Liście symplektyczne

Ranga struktury Poissona

Zwykła sprawa

Nietypowy przypadek

Twierdzenie o dzieleniu Weinsteina

Przykłady

Trywialne struktury Poissona

Niezdegenerowane struktury Poissona

Liniowe struktury Poissona

Inne przykłady i konstrukcje

kohomologia Poissona

Mapy Poissona

Przykłady

Realizacje symplektyczne

Całkowanie rozmaitości Poissona

Grupoidy symplektyczne

Podrozmaitości

Zobacz też

Bibliografia

Książki i ankiety