Współrzędne paraboliczne cylindryczne - Parabolic cylindrical coordinates

Powierzchnie współrzędnych parabolicznych współrzędnych walcowych. Czerwony walec paraboliczny odpowiada σ = 2, natomiast żółty walec paraboliczny odpowiada τ = 1. Niebieska płaszczyzna odpowiada z = 2. Powierzchnie te przecinają się w punkcie P (pokazanym jako czarna kula), który ma z grubsza współrzędne kartezjańskie (2, -1,5, 2).

W matematyce , paraboliczne współrzędnych walcowych są trójwymiarowe ortogonalnych układu współrzędnych , który jest wynikiem, wystających dwuwymiarowy parabolicznych układu współrzędnych w kierunku prostopadłym -direction. Stąd powierzchnie współrzędnych są konfokalnymi cylindrami parabolicznymi . Paraboliczne współrzędne walcowe znalazły wiele zastosowań, np. Potencjalna teoria krawędzi. ${\ displaystyle z}$

Podstawowa definicja

Paraboliczny układ współrzędnych przedstawiający krzywe o stałych σ i τ, osie pozioma i pionowa to odpowiednio współrzędne x i y. Te współrzędne są rzutowane wzdłuż osi z, więc ten diagram będzie zawierał dowolną wartość współrzędnej z.

Paraboliczne współrzędne walcowe ( σ , τ , z ) są określone w kategoriach współrzędnych kartezjańskich ( x , y , z ) przez:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} x & = \ sigma \ tau \\ y & = {\ Frac {1} {2}} \ lewo (\ tau ^ {2} - \ sigma ^ {2} \ prawej) \\ z & = z \ end {aligned}}}$

Powierzchnie stałego σ tworzą konfokalne cylindry paraboliczne

${\ Displaystyle 2y = {\ Frac {x ^ {2}} {\ sigma ^ {2}}} - \ sigma ^ {2}}$

które otwierają się w kierunku + y , podczas gdy powierzchnie o stałym τ tworzą konfokalne cylindry paraboliczne

${\ Displaystyle 2y = - {\ Frac {x ^ {2}} {\ tau ^ {2}}} + \ tau ^ {2}}$

które otwierają się w przeciwnym kierunku, tj. w kierunku - y . Ogniska wszystkich tych cylindrów parabolicznych znajdują się wzdłuż linii określonej przez x = y = 0 . Promień r również ma prostą formułę

${\ Displaystyle r = {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}} = {\ Frac {1} {2}} \ lewo (\ sigma ^ {2} + \ tau ^ {2} \ dobrze)}$

to okazuje się przydatne w rozwiązywaniu równania Hamiltona-Jacobiego we współrzędnych parabolicznych dla zagadnienia odwrotności kwadratów siły centralnej mechaniki ; dalsze szczegóły można znaleźć w artykule poświęconym wektorom Laplace'a – Runge – Lenza .

Czynniki skali

Współczynniki skali dla parabolicznych współrzędnych walcowych σ i τ są następujące:

${\ displaystyle {\ begin {aligned} h _ {\ sigma} & = h _ {\ tau} = {\ sqrt {\ sigma ^ {2} + \ tau ^ {2}}} \\ h_ {z} & = 1 \ end {aligned}}}$

Elementy różnicowe

Nieskończenie mały element objętości to

${\ Displaystyle dV = h _ {\ sigma} h _ {\ tau} h_ {z} d \ sigma d \ tau dz = (\ sigma ^ {2} + \ tau ^ {2}) d \ sigma \, d \ tau \, dz}$

Przesunięcie różnicowe jest określone wzorem:

${\ Displaystyle d \ mathbf {l} = {\ sqrt {\ sigma ^ {2} + \ tau ^ {2}}} \, d \ sigma \, {\ boldsymbol {\ hat {\ sigma}}} + { \ sqrt {\ sigma ^ {2} + \ tau ^ {2}}} \, d \ tau \, {\ boldsymbol {\ hat {\ tau}}} + dz \, \ mathbf {\ hat {z}} }$

Różniczkowy obszar normalny jest określony wzorem:

${\ Displaystyle d \ mathbf {S} = {\ sqrt {\ sigma ^ {2} + \ tau ^ {2}}} \, d \ tau \, dz {\ boldsymbol {\ hat {\ sigma}}} + {\ sqrt {\ sigma ^ {2} + \ tau ^ {2}}} \, d \ sigma \, dz {\ boldsymbol {\ hat {\ tau}}} + \ left (\ sigma ^ {2} + \ tau ^ {2} \ right) \, d \ sigma \, d \ tau \ mathbf {\ hat {z}}}$

Del

Niech f będzie polem skalarnym. Gradientu jest przez

${\ Displaystyle \ nabla f = {\ Frac {1} {\ sqrt {\ sigma ^ {2} + \ tau ^ {2}}}} {\ częściowe f \ ponad \ częściowe \ sigma} {\ boldsymbol {\ kapelusz {\ sigma}}} + {\ frac {1} {\ sqrt {\ sigma ^ {2} + \ tau ^ {2}}}} {\ part f \ over \ part \ tau} {\ boldsymbol {\ hat {\ tau}}} + {\ częściowe f \ ponad \ częściowe z} \ mathbf {\ hat {z}}}$

Laplace'a jest dana przez

${\ Displaystyle \ nabla ^ {2} f = {\ Frac {1} {\ sigma ^ {2} + \ tau ^ {2}}} \ lewo ({\ Frac {\ częściowe ^ {2} f} {\ częściowe \ sigma ^ {2}}} + {\ frac {\ częściowe ^ {2} f} {\ części \ tau ^ {2}}} \ right) + {\ frac {\ części ^ {2} f} { \ częściowe z ^ {2}}}}$

Niech A będzie polem wektorowym postaci:

${\ displaystyle \ mathbf {A} = A _ {\ sigma} {\ boldsymbol {\ hat {\ sigma}}} + A _ {\ tau} {\ boldsymbol {\ hat {\ tau}}} + A_ {z} \ mathbf {\ hat {z}}}$

Rozbieżność jest dana przez

${\ Displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {A} = {\ Frac {1} {\ sigma ^ {2} + \ tau ^ {2}}} \ lewo ({\ częściowe ({\ sqrt {\ sigma ^ { 2} + \ tau ^ {2}}} A _ {\ sigma}) \ over \ części \ sigma} + {\ części ({\ sqrt {\ sigma ^ {2} + \ tau ^ {2}}} A_ { \ tau}) \ ponad \ częściowe \ tau} \ right) + {\ częściowe A_ {z} \ ponad \ częściowe z}}$

Curl jest dana przez

${\ Displaystyle \ nabla \ times \ mathbf {A} = \ lewo ({\ Frac {1} {\ sqrt {\ sigma ^ {2} + \ tau ^ {2}}}} {\ Frac {\ częściowe A_ { z}} {\ części \ tau}} - {\ frac {\ częściowy A _ {\ tau}} {\ częściowy z}} \ right) {\ boldsymbol {\ hat {\ sigma}}} - \ left ({\ frac {1} {\ sqrt {\ sigma ^ {2} + \ tau ^ {2}}}} {\ frac {\ części A_ {z}} {\ części \ sigma}} - {\ frac {\ części A_ {\ sigma}} {\ częściowe z}} \ right) {\ boldsymbol {\ hat {\ tau}}} + {\ frac {1} {\ sigma ^ {2} + \ tau ^ {2}}} \ left ({\ frac {\ Partial \ left ({\ sqrt {\ sigma ^ {2} + \ tau ^ {2}}} A _ {\ sigma} \ right)} {\ części \ tau}} - {\ frac {\ part \ left ({\ sqrt {\ sigma ^ {2} + \ tau ^ {2}}} A _ {\ tau} \ right)} {\ part \ sigma}} \ right) \ mathbf {\ hat { z}}}$

Inne operatory różniczkowe można wyrazić we współrzędnych ( σ , τ ) , podstawiając współczynniki skali do ogólnych wzorów we współrzędnych ortogonalnych .

Związek z innymi układami współrzędnych

Związek ze współrzędnymi cylindrycznymi ( ρ , φ , z ) :

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ rho \ cos \ varphi & = \ sigma \ tau \\\ rho \ sin \ varphi & = {\ Frac {1} {2}} \ lewo (\ tau ^ {2} - \ sigma ^ {2} \ right) \\ z & = z \ end {aligned}}}$

Paraboliczne wektory jednostkowe wyrażone w kartezjańskich wektorach jednostkowych:

${\ displaystyle {\ begin {aligned} {\ boldsymbol {\ hat {\ sigma}}} & = {\ frac {\ tau {\ hat {\ mathbf {x}}} - \ sigma {\ hat {\ mathbf { y}}}} {\ sqrt {\ tau ^ {2} + \ sigma ^ {2}}}} \\ {\ boldsymbol {\ hat {\ tau}}} & = {\ frac {\ sigma {\ hat {\ mathbf {x}}} + \ tau {\ hat {\ mathbf {y}}}} {\ sqrt {\ tau ^ {2} + \ sigma ^ {2}}}} \\\ mathbf {\ hat {z}} & = \ mathbf {\ hat {z}} \ end {aligned}}}$

Harmoniczne paraboliczne cylindrów

Ponieważ wszystkie powierzchnie o stałych σ , τ i z są stożkowatymi , równanie Laplace'a można rozdzielić w parabolicznych współrzędnych cylindrycznych. Wykorzystując technikę separacji zmiennych , można zapisać rozdzielone rozwiązanie równania Laplace'a:

${\ Displaystyle V = S (\ sigma) T (\ tau) Z (z)}$

a równanie Laplace'a, podzielone przez V , jest napisane:

${\ Displaystyle {\ Frac {1} {\ sigma ^ {2} + \ tau ^ {2}}} \ lewo [{\ Frac {\ ddot {S}} {S}} + {\ Frac {\ ddot { T}} {T}} \ right] + {\ frac {\ ddot {Z}} {Z}} = 0}$

Ponieważ równanie Z jest oddzielone od reszty, możemy napisać

${\ Displaystyle {\ Frac {\ ddot {Z}} {Z}} = - m ^ {2}}$

gdzie m jest stałe. Z ( z ) ma rozwiązanie:

${\ Displaystyle Z_ {m} (z) = A_ {1} \, e ^ {imz} + A_ {2} \, e ^ {- imz}}$

Podstawiając - m ² dla , równanie Laplace'a można teraz zapisać: ${\ displaystyle {\ ddot {Z}} / Z}$

${\ Displaystyle \ lewo [{\ Frac {\ ddot {S}} {S}} + {\ Frac {\ ddot {T}} {T}} \ prawej] = m ^ {2} (\ sigma ^ {2 } + \ tau ^ {2})}$

Możemy teraz oddzielić funkcje S i T i wprowadzić inną stałą n ^2, aby otrzymać:

${\ Displaystyle {\ ddot {S}} - (m ^ {2} \ sigma ^ {2} + n ^ {2}) S = 0}$

${\ Displaystyle {\ ddot {T}} - (m ^ {2} \ tau ^ {2} -n ^ {2}) T = 0}$

Rozwiązaniem tych równań są paraboliczne funkcje walcowe

${\ Displaystyle S_ {mn} (\ sigma) = A_ {3} y_ {1} (n ^ {2} / 2m, \ sigma {\ sqrt {2m}}) + A_ {4} y_ {2} (n ^ {2} / 2m, \ sigma {\ sqrt {2m}})}$

${\ Displaystyle T_ {mn} (\ tau) = A_ {5} y_ {1} (n ^ {2} / 2m, ja \ tau {\ sqrt {2m}}) + A_ {6} y_ {2} ( n ^ {2} / 2m, i \ tau {\ sqrt {2m}})}$

Paraboliczne harmoniczne cylindra dla ( m , n ) są teraz iloczynem rozwiązań. Ta kombinacja zmniejszy liczbę stałych, a ogólne rozwiązanie równania Laplace'a można zapisać:

${\ Displaystyle V (\ sigma, \ tau, z) = \ suma _ {m, n} A_ {mn} S_ {mn} T_ {mn} Z_ {m.}}$

Aplikacje

Klasyczne zastosowania parabolicznych współrzędnych cylindrycznych polegają na rozwiązywaniu równań różniczkowych cząstkowych , np . Równania Laplace'a lub równania Helmholtza , dla których takie współrzędne pozwalają na rozdzielenie zmiennych . Typowym przykładem może być pole elektryczne otaczające płaską pół-nieskończoną płytkę przewodzącą.

Zobacz też

• Współrzędne paraboliczne
• Układ współrzędnych ortogonalnych
• Współrzędne krzywoliniowe

Bibliografia

• Morse PM , Feshbach H (1953). Metody Fizyki Teoretycznej, część I . Nowy Jork: McGraw-Hill. p. 658. ISBN   0-07-043316-X . LCCN   52011515 .
• Margenau H , Murphy GM (1956). Matematyka fizyki i chemii . Nowy Jork: D. van Nostrand. s.  186 -187. LCCN   55010911 .
• Korn GA, Korn TM (1961). Podręcznik matematyczny dla naukowców i inżynierów . Nowy Jork: McGraw-Hill. p. 181. LCCN   59014456 . ASIN B0000CKZX7.
• Sauer R, Szabó I (1967). Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs . Nowy Jork: Springer Verlag. p. 96. LCCN   67025285 .
• Zwillinger D (1992). Podręcznik integracji . Boston, MA: Jones i Bartlett. p. 114. ISBN   0-86720-293-9 . To samo co Morse i Feshbach (1953), podstawiając u _k zamiast ξ _k .
• Moon P, Spencer DE (1988). „Współrzędne cylindra parabolicznego (μ, ν, z)”. Podręcznik teorii pola, w tym układy współrzędnych, równania różniczkowe i ich rozwiązania (poprawione wydanie drugie, wydanie trzecie wydanie). Nowy Jork: Springer-Verlag. s. 21–24 (tabela 1.04). ISBN   978-0-387-18430-2 .

Linki zewnętrzne

• MathWorld opis parabolicznych współrzędnych walcowych