p -adyczny porządek - p-adic order

W podstawowych teorii liczb , na danej liczba pierwsza p The P -adic zamówienie z dodatniej liczby całkowitej n jest najwyższą wykładnik taki sposób, że dzieli n . Funkcja ta jest łatwo rozszerzona na dodatnie liczby wymierne r =${\ Displaystyle \ nu _ {p}}$${\displaystyle p^{\nu_{p}}}$ a/b za pomocą

${\ Displaystyle r = p_ {1} ^ {\ nu _ {p_ {1}}} p_ {2} ^ {\ nu _ {p_ {2}}} \ cdots p_ {k} ^ {\ nu _ {p_ {k}}}=\prod _{i=1}^{k}p_{i}^{\nu _{p_{i}}},}$

gdzie są liczby pierwsze, a są (unikalne) liczby całkowite (uważane za 0 dla wszystkich liczb pierwszych nie występujących w r tak, że ). ${\displaystyle p_{1}<p_{2}<\dotsb <p_{k}}$${\ Displaystyle \ nu _ {p_ {i}}}$${\ Displaystyle \ nu _ {p_ {i}} (r) = \ nu _ {p_ {i}} (a) - \ nu _ {p_ {i}} (b)}$

Ten porządek p- adyczny stanowi wycenę (zapisaną addytywnie) , tak zwaną wycenę p- adyczną , która po napisaniu multiplikatywnie jest odpowiednikiem dobrze znanej zwykłej wartości bezwzględnej . Obydwa rodzaje wartościowań można wykorzystać do uzupełnienia ciała liczb wymiernych, gdzie uzupełnienie wartościowaniem p -adycznym daje w wyniku ciało liczb p -adycznych ℚ _p (względem wybranej liczby pierwszej p ), natomiast uzupełnienie wartością p -adyczną zwykłe wyniki wartości bezwzględnej w polu liczb rzeczywistych ℝ .

Rozkład liczb naturalnych według ich porządku 2-addycznego, oznaczonych odpowiednimi potęgami dwójki w systemie dziesiętnym. Zero zawsze ma nieskończony porządek.

Definicja i właściwości

Niech p będzie liczbą pierwszą .

Liczby całkowite

P -adic zamówienie lub p -adic wartość dla ℤ jest funkcją

${\ Displaystyle \ nu _ {p}: \ mathbb {Z} \ do \ mathbb {N}}$

zdefiniowany przez

${\ Displaystyle \ nu _ {p} (n) = {\ zacząć {przypadki} \ operatorname {max} \ {k \ w \ mathbb {N}: p ^ {k} \ mid n \} i {\ tekst { if }}n\neq 0\\\infty &{\text{if }}n=0,\end{przypadki}}}$

gdzie oznacza liczby naturalne . ${\ Displaystyle \ mathbb {N}}$

Na przykład i od . ${\ Displaystyle \ nu _ {3}(-45) = 2}$${\ Displaystyle \ nu _ {5} (-45) = 1}$${\ Displaystyle | {-45} | = 45 = 3 ^ {2} \ cdot 5 ^ {1}}$

Notacja jest czasami używana w znaczeniu . ${\ Displaystyle p ^ {k} \ równoległe n}$${\ Displaystyle k = \ nu _ {p} (n)}$

Liczby wymierne

P -adic zamówienie może zostać przedłużony do liczb wymiernych jak funkcja

${\ Displaystyle \ nu _ {p}: \ mathbb {Q} \ do \ mathbb {Z}}$

zdefiniowany przez

${\ Displaystyle \ nu _ {p} \ lewo ({\ Frac {a} {b}} \ po prawej) = \ nu _ {p} (a) - \ nu _ {p} (b).}$

Na przykład i od . ${\ Displaystyle \ nu _ {2} {\ duży (}{\ tfrac {9} {8}} {\ duży )} = -3}$${\ Displaystyle \ nu _ {3} {\ duży (}{\ tfrac {9} {8}} {\ duży )} = 2}$${\ Displaystyle {\ tfrac {9} {8}} = {\ tfrac {3 ^ {2}} {2 ^ {3}}}}$

Niektóre właściwości to:

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} \ nu _ {p} (m \ cdot n) i = \ nu _ {p} (m) + \ nu _ {p} (n) \ \ [5px] \ nu _ {p}(m+n)&\geq \min {\bigl \{}\nu _{p}(m),\nu _{p}(n){\bigr \}}.\end{wyrównany} }}$

Co więcej, jeśli , to ${\ Displaystyle \ nu _ {p} (m) \ neq \ nu _ {p} (n)}$

${\ Displaystyle \ nu _ {p} (m + n) = \ min {\ bigl \ {} \ nu _ {p} (m), \ nu _ {p} (n) {\ duży \}}}$

gdzie min to minimum (tj. mniejszy z dwóch).

p -adyczna wartość bezwzględna

Wartość bezwzględna p -adyczna na ℚ to funkcja

${\ Displaystyle | \ cdot | _ {p} \ dwukropek \ mathbb {Q} \ do \ mathbb {R} _ {\ geq 0}}$

zdefiniowany przez

${\ Displaystyle | r | _ {p} = p ^ {- \ nu _ {p} (r)}.}$

Na przykład i${\ Displaystyle | {-45} | _ {3} = {\ tfrac {1} {9}}}$${\ Displaystyle {\ duży |} {\ tfrac {9} {8}} {\ duży |} _ {2} = 8.}$

P -adic spełnia wartości bezwzględnych następujących właściwości.

Nienegatywność	${\ Displaystyle | a | _ {p} \ geq 0}$
Pozytyw-określoność	${\ Displaystyle | a | _ {p} = 0 \ jeśli a = 0}$
Multiplikatywność	${\ Displaystyle | ab | _ {p} = | a | _ {p} | b | _ {p}}$
Niearchimedesa	${\ Displaystyle | a + b | _ {p} \ leq \ max \ lewo (| a | _ {p}, | b | _ {p} \ po prawej)}$

Symetria wynika z multiplicativity i subadditivity z nie Archimedesa nierówności trójkąta . ${\ Displaystyle | {-a} | _ {p} = | a | _ {p}}$ ${\ Displaystyle | ab | _ {p} = | a | _ {p} | b | _ {p}}$ ${\ Displaystyle | a + b | _ {p} \ leq | a | _ {p} + | b | _ {p}}$ ${\ Displaystyle | a + b | _ {p} \ leq \ max \ lewo (| a | _ {p}, | b | _ {p} \ po prawej)}$

Wybór podstawy p w potęgowaniu nie ma znaczenia dla większości właściwości, ale wspiera formułę produktu: ${\ Displaystyle p ^ {- \ nu _ {p} (r)}}$

${\ Displaystyle \ prod _ {0, p} | x | _ {p} = 1}$

gdzie iloczyn jest przejmowany przez wszystkie liczby pierwsze p i zwykłą wartość bezwzględną, oznaczoną . Wynika to z prostego rozłożenia na czynniki pierwsze : każdy pierwszy czynnik mocy przyczynia się do swojej odwrotności do swojej bezwzględnej wartości p- adycznej, a następnie zwykła wartość bezwzględna Archimedesa anuluje je wszystkie. ${\displaystyle |x|_{0}}$${\ Displaystyle p ^ {k}}$

Wartość bezwzględna p -adyczna jest czasami nazywana " normą p -adyczną", chociaż w rzeczywistości nie jest normą, ponieważ nie spełnia wymogu jednorodności .

Metryczny przestrzeń może być utworzona na zbiorze ℚ z ( non-Archimedesa , tłumaczeń niezmienny ) metryczny

${\ Displaystyle d \ dwukropek \ mathbb {Q} \ razy \ mathbb {Q} \ do \ mathbb {R} _ {\ geq 0}}$

zdefiniowany przez

${\ Displaystyle d (x, y) = | xy | _ {p}.}$

Ukończenie z ℚ względem tej metrycznych prowadzi do pola ℚ _p o p liczb -adic.

Zobacz też

• p -liczba adic
• Własność Archimedesa
• Wielość (matematyka)
• Twierdzenie Ostrowskiego

Bibliografia