Typ zamówienia - Order type

W matematyce , zwłaszcza w teorii mnogości , mówi się , że dwa uporządkowane zbiory X i Y mają ten sam typ uporządkowania, jeśli są one izomorficzne , to znaczy, jeśli istnieje bijekcja (każdy element pasuje dokładnie do jednego z drugiego zbioru) taka, że ​​oba f i jego odwrotność są monotoniczne (zachowując porządek elementów). W szczególnym przypadku, gdy X jest całkowicie uporządkowane , monotoniczność f implikuje monotoniczność jego odwrotności. ${\ Displaystyle f \ dwukropek X \ do Y}$

Na przykład, zestaw z liczb całkowitych i zbiór parzystych liczb całkowitych mają ten sam typ zlecenia, ponieważ mapowanie jest bijection że zachowuje kolejność. Ale zbiór liczb całkowitych i zbiór liczb wymiernych (ze standardowym uporządkowaniem) nie mają tego samego typu porządku, ponieważ chociaż zbiory mają ten sam rozmiar (oba są przeliczalnie nieskończone ), nie ma bijektu zachowującego porządek mapowanie między nimi. Do tych dwóch typów porządków możemy dodać jeszcze dwa: zbiór dodatnich liczb całkowitych (który ma najmniejszy element) oraz ujemnych liczb całkowitych (który ma największy element). Otwarty przedział (0, 1) wymiernych jest porządkiem izomorficznym względem wymiernych (ponieważ na przykład jest ściśle rosnącą bijecją od pierwszego do drugiego); wymierne zawarte w przedziałach półdomkniętych [0,1) i (0,1] oraz przedział domknięty [0,1] to trzy dodatkowe przykłady typu porządkowego. ${\displaystyle n\mapsto 2n}$${\ Displaystyle f (x) = {\ tfrac {2x-1} {1-\ vert {2x-1} \ vert}}}$

Ponieważ kolejność równoważności jest relacją równoważności , to dzieli się klasę wszystkich zamówionych zestawów do klas równoważności .

Typ zamówienia dobrze-zamówień

Trzy porządki w zbiorze liczb naturalnych z różnymi typami porządków (od góry do dołu ): , , i .${\ Displaystyle \ omega}$${\ Displaystyle \ omega + 5}$${\ Displaystyle \ omega + \ omega}$

Każdy dobrze uporządkowany zbiór jest z definicji równoważny porządkowi dokładnie jednej liczbie porządkowej . Liczby porządkowe są uważane za kanonicznych reprezentantów ich klas, a więc typ porządku dobrze uporządkowanego zbioru jest zwykle utożsamiany z odpowiednią liczbą porządkową. Na przykład typ porządku zbioru liczb naturalnych to ω .

Typ porządku dobrze uporządkowanego zbioru V jest czasami wyrażany jako ord( V ) .

Na przykład, rozważmy zbiór V z nawet porządkowych mniej niż Ohm ⋅ 2 + 7 :

${\ Displaystyle V = \ {0,2,4, \ ldots; \ omega, \ omega +2, \ omega + 4, \ ldots; \ omega \ cdot 2, \ omega \ cdot 2 + 2, \ omega \ cdot 2+4,\omega \cdot 2+6\}.}$

Jego typ zamówienia to:

${\ Displaystyle \ Operatorname {ord} (V) = \ omega \ cdot 2 + 4 = \ {0,1,2, \ ldots; \ omega, \ omega +1, \ omega +2, \ ldots; \ omega \ cdot 2,\omega \cdot 2+1,\omega \cdot 2+2,\omega \cdot 2+3\},}$

ponieważ są 2 oddzielne listy liczenia i 4 w kolejności na końcu.

Liczby wymierne

Każdy policzalny, całkowicie uporządkowany zbiór może być odwzorowany iniekcyjnie na liczby wymierne w sposób zachowujący porządek. Dowolny gęsty, policzalny, całkowicie uporządkowany zbiór bez najwyższego i najniższego elementu może być mapowany bijektywnie na liczby wymierne w sposób zachowujący porządek.

Notacja

Typ kolejności wymiernych jest zwykle oznaczany . Jeśli zestaw S ma typ zamówienia , typ zamówienia dual S (kolejność odwrócona) jest oznaczony . ${\displaystyle \eta}$${\displaystyle \sigma}$${\ Displaystyle \ sigma ^ {*}}$

Zobacz też

• Dobrze uporządkowany

Linki zewnętrzne

• Weisstein, Eric W. „Typ zamówienia” . MatematykaŚwiat .

Bibliografia