Ukryta powierzchnia - Implicit surface

Ukryty torus powierzchniowy (R = 40, a = 15).

Ukryta powierzchnia rodzaju 2.

Ukryta powierzchnia niealgebraiczna ( kieliszek do wina ).

W matematyce An ukryte powierzchnia jest powierzchnią w euklidesowej przestrzeń określona przez równanie

{\ Displaystyle F (x, y, z) = 0.}

Ukryta powierzchnia to zbiór zer funkcji trzech zmiennych. Utajone sposób, że równanie nie jest rozwiązany przez X lub Y lub Z .

Wykres funkcji jest zwykle opisany równaniem i nazywany jest jawną reprezentacją. Trzecim zasadniczym opis powierzchni jest parametryczne pierwszy: , gdzie x -, Y - i z -coordinates punktów powierzchni są reprezentowane przez trzy funkcje w zależności od zwykłych parametrów . Ogólnie zmiana reprezentacji jest prosta tylko wtedy, gdy podano jawną reprezentację : (niejawna), (parametryczna). ${\ displaystyle z = f (x, y)}$ ${\ Displaystyle (x (s, t), r (s, t), z (s, t))}$ ${\ Displaystyle x (s, t) \ ,, r (s, t) \ ,, z (s, t)}$ ${\ Displaystyle s, t}$ ${\ displaystyle z = f (x, y)}$ ${\ displaystyle zf (x, y) = 0}$ ${\ Displaystyle (s, t, f (s, t))}$

Przykłady :

samolot ${\ Displaystyle x + 2y-3z + 1 = 0.}$
kula ${\ Displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} -4 = 0.}$
torus ${\ Displaystyle (x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} + R ^ {2} -a ^ {2}) ^ {2} -4R ^ {2} (x ^ {2} + y ^ {2}) = 0.}$
Powierzchnia rodzaju 2: (patrz schemat). ${\ Displaystyle 2y (r ^ {2} -3x ^ {2}) (1-z ^ {2}) + (x ^ {2} + y ^ {2}) ^ {2} - (9z ^ {2 } -1) (1-z ^ {2}) = 0}$
Powierzchnia obrotu (patrz wykres lampka ). ${\ Displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} - (\ ln (z + 3,2)) ^ {2} -0,02 = 0}$

Dla płaszczyzny, kuli i torusa istnieją proste reprezentacje parametryczne. Nie dotyczy to czwartego przykładu.

Funkcja ukryte twierdzenie opisuje warunki równanie może być rozwiązywane (przynajmniej pośrednio) do x , Y i Z . Ale ogólnie rozwiązanie nie może być jasno określone. To twierdzenie jest kluczem do obliczenia podstawowych cech geometrycznych powierzchni: płaszczyzn stycznych , normalnych powierzchni , krzywizn (patrz poniżej). Ale mają zasadniczą wadę: ich wizualizacja jest trudna. ${\ Displaystyle F (x, y, z) = 0}$

Jeśli jest wielomianem w x , y i z , powierzchnia nazywana jest algebraiczną . Związek według przykładu 5 nie -algebraic. ${\ Displaystyle F (x, y, z)}$

Pomimo trudności w wizualizacji, ukryte powierzchnie zapewniają stosunkowo proste techniki generowania teoretycznie (np. Powierzchnia Steinera ) i praktycznie (patrz poniżej) interesujących powierzchni.

Formuły

W poniższych rozważaniach ukryta powierzchnia jest reprezentowana przez równanie, w którym funkcja spełnia niezbędne warunki różniczkowalności. Te pochodne cząstkowe o to . ${\ Displaystyle F (x, y, z) = 0}$ ${\ displaystyle F}$ ${\ displaystyle F}$ ${\ Displaystyle F_ {x}, F_ {y}, F_ {z}, F_ {xx}, \ ldots}$

Płaszczyzna styczna i wektor normalny

Punkt powierzchnia nazywa regularny wtedy i tylko wtedy, gdy gradientu od co nie jest zerowy wektor , znaczenie ${\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})}$ ${\ displaystyle F}$ ${\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})}$ ${\ Displaystyle (0,0,0)}$

{\ displaystyle (F_ {x} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0}), F_ {y} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0}), F_ {z} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})) \ neq (0,0,0)}

.

Jeśli punkt powierzchni nie jest regularny, nazywa się go liczbą pojedynczą . ${\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})}$

Równanie płaszczyzny stycznej w regularnym punkcie to ${\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})}$

{\ Displaystyle F_ {x} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0}) (x-x_ {0}) + F_ {y} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0 }) (y-y_ {0}) + F_ {z} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0}) (z-z_ {0}) = 0,}

a wektor normalny to

{\ Displaystyle \ mathbf {n} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0}) = (F_ {x} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0}), F_ {y } (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0}), F_ {z} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})) ^ {T}.}

Normalna krzywizna

Aby formuła była prosta, argumenty są pomijane: ${\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})}$

{\ Displaystyle \ kappa _ {n} = {\ Frac {\ mathbf {v} ^ {\ top} H_ {F} \ mathbf {v}} {\ | \ operatorname {grad} F \ |}}}

jest normalną krzywizną powierzchni w regularnym punkcie dla jednostkowego kierunku stycznej . jest Heskie matrycy z (osnowa drugiej pochodnej). ${\ displaystyle \ mathbf {v}}$ ${\ displaystyle H_ {F}}$ ${\ displaystyle F}$

Dowód tego wzoru opiera się (jak w przypadku krzywej niejawnej) na twierdzeniu o funkcji niejawnej i wzorze na krzywiznę normalną powierzchni parametrycznej .

Zastosowania niejawnych powierzchni

Podobnie jak w przypadku krzywych niejawnych, łatwo jest wygenerować niejawne powierzchnie o pożądanych kształtach, stosując operacje algebraiczne (dodawanie, mnożenie) na prostych elementach pierwotnych.

Powierzchnia ekwipotencjalna 4 ładunków punktowych

Powierzchnia ekwipotencjalna ładunków punktowych

Potencjał elektryczny ładunku punktowego w punkcie generuje w punkcie potencjał (pomijając stałe fizyczne) ${\ displaystyle q_ {i}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {p} _ {i} = (x_ {i}, y_ {i}, z_ {i})}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {p} = (x, y, z)}$

{\ Displaystyle F_ {i} (x, y, z) = {\ Frac {q_ {i}} {\ | \ mathbf {p} - \ mathbf {p} _ {i} \ |}}.}

Ekwipotencjalna powierzchnia dla wartości potencjału to ukryta powierzchnia, która jest kulą ze środkiem w punkcie . ${\ displaystyle c}$ ${\ Displaystyle F_ {i} (x, y, z) -c = 0}$ ${\ displaystyle \ mathbf {p} _ {i}}$

Potencjał opłat punktowych reprezentuje ${\ displaystyle 4}$

{\ Displaystyle F (x, y, z) = {\ Frac {q_ {1}} {\ | \ mathbf {p} - \ mathbf {p} _ {1} \ |}} + {\ Frac {q_ { 2}} {\ | \ mathbf {p} - \ mathbf {p} _ {2} \ |}} + {\ frac {q_ {3}} {\ | \ mathbf {p} - \ mathbf {p} _ {3} \ |}} + {\ frac {q_ {4}} {\ | \ mathbf {p} - \ mathbf {p} _ {4} \ |}}.}

Na rysunku cztery ładunki są równe 1 i znajdują się w punktach . Wyświetlana powierzchnia jest powierzchnią ekwipotencjalną (powierzchnią domniemaną) . ${\ displaystyle (\ pm 1, \ pm 1,0)}$ ${\ Displaystyle F (x, y, z) -2,8 = 0}$

Powierzchnia produktu o stałej odległości

Owal Cassiniego można zdefiniować jako zbiór punktów, dla których iloczyn odległości do dwóch podanych punktów jest stały (w przeciwieństwie do elipsy suma jest stała). W podobny sposób niejawne powierzchnie można zdefiniować za pomocą iloczynu stałej odległości do kilku stałych punktów.

W diagramie metamorfozach lewa górna powierzchnia jest generowana według tej reguły: Z

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} F (x, y, z) = {} i {\ Big (} {\ sqrt {(x-1) ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2) }}} \ cdot {\ sqrt {(x + 1) ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}}} \\ & \ qquad \ cdot {\ sqrt {x ^ {2} + ( y-1) ^ {2} + z ^ {2}}} \ cdot {\ sqrt {x ^ {2} + (y + 1) ^ {2} + z ^ {2}}} {\ Big)} \ end {aligned}}}

wyświetlana jest powierzchnia produktu o stałej odległości . ${\ Displaystyle F (x, y, z) -1,1 = 0}$

Metamorfozy między dwiema ukrytymi powierzchniami: torusem i powierzchnią produktu o stałej odległości.

Metamorfozy ukrytych powierzchni

Kolejną prostą metodą generowania nowych niejawnych powierzchni jest metamorfoza niejawnych powierzchni:

Dla dwóch niejawnych powierzchni (na diagramie: powierzchnia produktu o stałej odległości i torus) definiuje się nowe powierzchnie za pomocą parametru projektowego : ${\ Displaystyle F_ {1} (x, y, z) = 0, F_ {2} (x, y, z) = 0}$ ${\ displaystyle \ mu \ in [0,1]}$

{\ Displaystyle F (x, r, z) = \ mu F_ {1} (x, y, z) + (1- \ mu) F_ {2} (x, y, z) = 0}

Na diagramie parametr projektowy jest sukcesywnie . ${\ Displaystyle \ mu = 0 \ 0,33 \ \ 0,66 \ \, 1}$

Przybliżenie trzech torusów ( rzut równoległy )

Obraz POV-Ray (projekcja środkowa) przybliżenia trzech torusów.

Gładkie przybliżenia kilku niejawnych powierzchni

${\ displaystyle \ Pi}$ -surfaces można użyć do przybliżenia dowolnego gładkiego i ograniczonego obiektu, którego powierzchnia jest zdefiniowana przez pojedynczy wielomian jako iloczyn pomocniczych wielomianów. Innymi słowy, możemy zaprojektować dowolny gładki obiekt z pojedynczą powierzchnią algebraiczną. Oznaczmy definiujące wielomiany jako . Następnie aproksymowany obiekt jest definiowany przez wielomian ${\ displaystyle R ^ {3}}$ ${\ displaystyle f_ {i} \ in \ mathbb {R} [x_ {1}, \ ldots, x_ {n}] (i = 1, \ ldots, k)}$

{\ Displaystyle F (x, y, z) = \ prod _ {i} f_ {i} (x, y, z) -r}

gdzie oznacza parametr mieszania, który kontroluje błąd aproksymacji. ${\ displaystyle r \ in \ mathbb {R}}$

Analogicznie do gładkiego przybliżenia krzywymi niejawnymi, równanie

{\ Displaystyle F (x, y, z) = F_ {1} (x, y, z) \ cdot F_ {2} (x, y, z) \ cdot F_ {3} (x, y, z) - r = 0}

reprezentuje dla odpowiednich parametrów gładkie przybliżenia trzech przecinających się torusów z równaniami ${\ displaystyle c}$

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} F_ {1} = (x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} + R ^ {2} -a ^ {2}) ^ {2} - 4R ^ {2} (x ^ {2} + y ^ {2}) = 0, \\ [3pt] F_ {2} = (x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} + R ^ {2} -a ^ {2}) ^ {2} -4R ^ {2} (x ^ {2} + z ^ {2}) = 0, \\ [3pt] F_ {3} = (x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} + R ^ {2} -a ^ {2}) ^ {2} -4R ^ {2} (y ^ {2} + z ^ {2 }) = 0. \ end {aligned}}}

(Na schemacie parametry są ) ${\ Displaystyle R = 1 \, a = 0,2 \ \, r = 0,01.}$

Obraz POV-Ray: metamorfozy między kulą a powierzchnią produktu o stałej odległości (6 punktów).

Wizualizacja niejawnych powierzchni

Istnieją różne algorytmy renderowania niejawnych powierzchni, w tym algorytm marszowych kostek . Zasadniczo istnieją dwa pomysły na wizualizację ukrytej powierzchni: jeden generuje sieć wielokątów, która jest wizualizowana (patrz triangulacja powierzchni ), a drugi opiera się na ray tracingu, który określa punkty przecięcia promieni z powierzchnią. Punkty przecięcia można określić w przybliżeniu przez obrysowanie kuli , używając funkcji odległości ze znakiem, aby znaleźć odległość do powierzchni.

Zobacz też

Ujawniona krzywa

Bibliografia

^ ^a ^b Adriano N. Raposo; Abel JP Gomes (2019). "Powierzchnie Pi: produkty ukrytych powierzchni do konstruktywnej kompozycji obiektów 3D". WSCG 2019 27. Międzynarodowa konferencja w Europie Środkowej nt. Grafiki komputerowej, wizualizacji i wizualizacji komputerowej. arXiv : 1906.06751 .
^ Jules Bloomenthal; Chandrajit Bajaj; Brian Wyvill (15 sierpnia 1997). Wprowadzenie do niejawnych powierzchni . Morgan Kaufmann. ISBN 978-1-55860-233-5 .
^ Ian Stephenson (1 grudnia 2004). Renderowanie produkcyjne: projekt i realizacja . Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-85233-821-3 .
^ Eric Haines, Tomas Akenine-Moller: Ray Tracing Gems , Springer, 2019, ISBN 978-1-4842-4427-2
^ Hardy, Alexandre; Steeb, Willi-Hans (2008). Narzędzia matematyczne w grafice komputerowej z implementacjami C # . World Scientific. ISBN 978-981-279-102-3 .

Dalsza lektura

Gomes, A., Voiculescu, I., Jorge, J., Wyvill, B., Galbraith, C .: Implicit Curves and Surfaces: Mathematics, Data Structures and Algorithms , 2009, Springer-Verlag London, ISBN 978-1-84882 -405-8
Thorpe: Elementary Topics in Differential Geometry , Springer-Verlag, Nowy Jork, 1979, ISBN 0-387-90357-7

Zewnętrzne linki

[RaposoGomes2019-1] Adriano N. Raposo; Abel JP Gomes (2019). "Powierzchnie Pi: produkty ukrytych powierzchni do konstruktywnej kompozycji obiektów 3D". WSCG 2019 27. Międzynarodowa konferencja w Europie Środkowej nt. Grafiki komputerowej, wizualizacji i wizualizacji komputerowej. arXiv : 1906.06751 .

[BloomenthalBajaj1997-2] Jules Bloomenthal; Chandrajit Bajaj; Brian Wyvill (15 sierpnia 1997). Wprowadzenie do niejawnych powierzchni . Morgan Kaufmann. ISBN 978-1-55860-233-5 .

[Stephenson2004-3] Ian Stephenson (1 grudnia 2004). Renderowanie produkcyjne: projekt i realizacja . Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-85233-821-3 .

[4] Eric Haines, Tomas Akenine-Moller: Ray Tracing Gems , Springer, 2019, ISBN 978-1-4842-4427-2

[5] Hardy, Alexandre; Steeb, Willi-Hans (2008). Narzędzia matematyczne w grafice komputerowej z implementacjami C # . World Scientific. ISBN 978-981-279-102-3 .

Languages

In other projects