Nieliniowa kontrola - Nonlinear control

Informacja zwrotna system sterowania . Pożądane jest kontrolowanie systemu (często nazywana roślin ), dzięki jego wyjście następuje żądane referencyjny sygnał. Czujnik monitoruje wyjście i kontroler odejmuje rzeczywiste wyjście z pożądanym wyjściem odniesienia, a dotyczy to sygnał błędu do systemu, aby doprowadzić wyjście bliżej odniesienia. W nieliniowego co najmniej jednym z elementów, systemu czujnika lub sterownika sterującego jest nieliniowa.

Nieliniowa kontrola teoria jest obszar teorii sterowania , która zajmuje się systemami, które są nieliniowe , zmienne w czasie , lub obu. Teoria sterowania jest interdyscyplinarna gałąź inżynierii i matematyki , że jest zaniepokojony z zachowaniem układów dynamicznych z wejściami i jak zmodyfikować wyjście zmianami w wejściu z wykorzystaniem informacji zwrotnych , feedforward lub filtrowanie sygnału . System do sterowania nazywa się „ roślina ”. Jednym ze sposobów, aby sprawić, że wyjście z systemu wykonaj pożądany sygnał odniesienia jest porównanie wyjście z zakładu do żądanego wyjścia i dostarczyć informacji zwrotnej do zakładu zmodyfikować wyjście zbliżyć go do żądanego wyjścia.

Teoria sterowania jest podzielony na dwie gałęzie. Liniowa teoria sterowania stosuje się do systemów wykonanych z urządzeń, które są posłuszne się zasadę superpozycji . Są one regulowane przez liniowych równań różniczkowych . Głównym podklasa to systemy, które dodatkowo posiadają parametry, które nie zmieniają się wraz z upływem czasu, zwany czas liniowe niezmiennicze (LTI) systemów. Systemy te mogą być rozwiązane przez silne dziedzinie częstotliwości matematycznych techniki wielkiej ogólności, takich jak Laplace'a , transformaty Fouriera , transformaty z , Bode działki , korzeni locus i Kryterium Nyquista .

Nieliniowa teoria kontrola obejmuje szerszą klasę systemów, które nie przestrzegają zasady superpozycji. Ma ona zastosowanie do większej liczby systemów rzeczywistych, ponieważ wszystkie systemy kontroli są prawdziwe nieliniowa. Systemy te są często regulowane nieliniowych równań różniczkowych . Matematyczne techniki, które zostały opracowane w celu ich obsługi są bardziej rygorystyczne i bardziej ogólnie, często stosując jedynie wąskie kategorie systemów. Należą do nich ograniczenie cyklu teorię mapy Poincare'go , teorię stabilizacji Liapunov i funkcje określające . Jeśli tylko roztwory pobliżu stabilnego punktu są interesujące układy nieliniowe można często linearyzowano poprzez dostosowanie ich układzie liniowym otrzymana w wyniku spieniania nieliniowej roztworu w serii , a następnie mogą być używane techniki liniowego. Nieliniowe systemy są często analizowane za pomocą metod numerycznych na komputerach , na przykład poprzez symulowanie ich działanie za pomocą języka symulacyjnego . Nawet jeśli roślina jest liniowy, nieliniowy regulator może często mają atrakcyjne funkcje, takie jak prostszej implementacji, szybszą prędkość, większą dokładnością lub zmniejszonej energii sterowania, które uzasadniają trudniejszą procedury projektowania.

Przykładem nieliniowego systemu sterowania jest termostat o kontrolowanej system ogrzewania. System ogrzewania budynków, takich jak piec ma nieliniową odpowiedź na zmiany temperatury; to „ON” lub „OFF”, nie mają dobrą kontrolę w odpowiedzi na różnicę temperatur, która proporcjonalny (liniowy) urządzenie miałoby. Dlatego piec jest wyłączony, aż temperatura spadnie poniżej wartości „włączyć” nastawy termostatu, gdy włączy się. Ze względu na ciepło dodanego w piecu, temperatura wzrasta, aż osiągnie „wyłączenia” nastawy termostatu, który włącza się do pieca, i cykl się powtarza. Taki cykl temperatury o wymaganej temperaturze nazywa się cykl ograniczenia i jest charakterystyczny nieliniowych układach sterujących.

Właściwości układów nieliniowych

Niektóre właściwości nieliniowych systemów dynamicznych są

• Oni nie przestrzegają zasadę superpozycji (liniowości i jednorodności).
• Mogą mieć wiele odizolowanych punktów równowagi.
• Mogą one wykazywać właściwości, takie jak cyklu graniczną , rozgałęzienia , chaosu .
• Skończony czas ucieczki: Rozwiązania układów nieliniowych może nie istnieć dla wszystkich czasów.

Analiza i kontrola systemów nieliniowych

Istnieje kilka dobrze rozwinięte techniki analizy nieliniowych układów sprzężenia zwrotnego:

• Opisujące funkcję Sposób
• Sposób płaszczyzna fazowa
• Stabilność Lapunow Analiza
• Singular zaburzeń metoda
• Popov kryterium (opisane w The Lur'e problem poniżej)
• Centrum kolektor twierdzenie
• Twierdzenie o małym wzmocnieniu
• analiza bierność

Istnieją również techniki projektowania sterowania dla układów nieliniowych. Mogą być one podzielone na techniki, które zmierzają do leczenia systemu jak system liniowy w ograniczonym zakresie działania oraz zastosowanie (dobrze znane) liniowe technik projektowania dla każdego regionu:

• gain Scheduling

Ci, którzy próbują wprowadzenie dodatkowego nieliniowej zwrotne w taki sposób, że system może być traktowany jako liniowe dla celów kontroli projektu:

• Zgłoszenie linearyzacja

I Lapunowa na podstawie metod:

• Lapunowa przeprojektowanie
• Funkcja sterowania Lapunowa
• nieliniowe tłumienie
• Backstepping
• Sterowanie ślizgowe

Nieliniowa analiza feedback - Problem Lur'e

Lur'e schemat blokowy problemem

Wczesnym nieliniowej analizy problemu sformułowano układ sprzężenia zwrotnego przez AI Lur'e . Systemy kontroli opisane przez problem Lur'e mieć przednią ścieżkę, która jest liniowa i niezmienna w czasie, a tor sprzężenia zwrotnego, która zawiera mniej pamięci, ewentualnie zmiennego w czasie, statyczne nieliniowości.

Element liniowy może być scharakteryzowana przez cztery matryce (A, B, C, D), przy czym część jest nieliniowa Φ (Y), z (a nieliniowości sektora). ${\ Displaystyle {\ Frac {\ Phi (y)} {yn}} \ w [a, b] \ quad <b \ quad \ y} forall$

Absolutny problem stabilności

Rozważać:

1. (A, B) jest sterowany i (C, A) jest zauważalny
2. dwie liczby rzeczywiste a, b z <b, definiujące sektor dla funkcji cp

Problemem jest to, w celu uzyskania warunków obejmujących tylko H macierzy przejścia (s) i {A, B} takie, że x = 0 jest globalnie równomiernie asymptotycznie stabilna równowaga układu. Jest to znane jako problem Lur'e. Istnieją dwa znane błędne conjections na absolutnej stabilności:

• Na przypuszczenie Aizerman za
• Na przypuszczenie Kalmana .

Istnieje kontrprzykłady do Aizerman tych i przypuszczenia Kalmana tak, że nieliniowość należy do sektora stabilność kierunkową oraz unikalny stabilnej równowagi współistnieją ze stabilną Roztwór podstawowy okresowego ukrytego oscylacji .

Istnieją dwa główne twierdzenia dotyczące tego problemu:

• Kryterium Koło
• Popov kryterium.

które nadają wystarczające warunki absolutnego stabilności.

kryterium Popov

Podklasa systemów Lur'e badanych przez Popov zostały opisane przez:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {matrycy} {\ kropka {x}} & = & ax + BU \\ {\ kropka {\ xi}} & = & u \\ y = & cx + D \ xi \ quad (1) \ Koniec {matryca}}}$

${\ Displaystyle {\ {zaczynać matrycy} u = - \ cp (Y) \ quad (2) \ {końca matrycy}}}$

gdzie x ∈ R ⁿ , ξ, u, y są skalarne i A, B, C i D mają proporcjonalne wymiary. Nieliniowe Element Φ R → R jest niezmienna w czasie nieliniowości należące do otwierania sektora (0, ∞). To znaczy że

Φ (0) = 0, Y Φ (r)> 0, ∀ Y ≠ 0;

Funkcja przenoszenia od U do Y jest przez

${\ Displaystyle H (s) = {\ Frac {d} {s}} + C (Si-A) ^ {- 1} b \ quad \} quad$

Twierdzenie: Rozważmy układ (1) - (2) i załóżmy

1. A jest Hurwitz
2. (A, B) jest sterowany
3. (A, C), można zaobserwować
4. d> 0
5. Φ ∈ (0, ∞)

Następnie układ jest globalnie asymptotycznie stabilny jeśli istnieje liczba r> 0, że
inf _{ω ∈ R} Re [(1 + jωr) H (jω)]> 0.

Rzeczy należy zauważyć:

• Kryterium Popov ma zastosowanie tylko do systemów autonomicznych
• Układ badany przez Popov ma biegun pochodzenia i nie ma bezpośredniego pass-through od wejścia do wyjścia
• Nieliniowość Φ musi spełniać warunek otwartego sektora

Teoretyczne wyniki w układ nieliniowy

Twierdzenie Frobeniusa

Twierdzenie Frobeniusa jest głęboko wynik geometrii różniczkowej. Kiedy stosuje się do nieliniowej Kontroli, to mówi, co następuje: Biorąc pod uwagę system formie

${\ Displaystyle {\ kropka {x}} = \ _ suma {i = 1} ^ {k} {i} f_ (x) u_ {i} (t) \}$

w którym , jest pole wektorowe należące do rozkładu i są funkcje sterowania, przy czym te integralne krzywe są ograniczone do kolektora wymiaru , jeżeli okres ( i jest involutive dystrybucji. ${\ Displaystyle x \ w R ^ {n}}$${\ Displaystyle F_ {1}, \ kropek F_ {k}}$${\ Displaystyle \} delta$${\ Displaystyle u_ {i} (t)}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle m}$${\ Displaystyle \ delta) = M}$${\ Displaystyle \} delta$

Zobacz też

• Zgłoszenie pasywacja
• Pętla synchronizacji fazowej
• Małe obiekty kontrola

Referencje

Dalsza lektura

Linki zewnętrzne

• Funkcje językowe Wolfram dla nieliniowych systemów sterowania