Formuła Laguerre - Laguerre formula

Wzór Laguerre'a (nazwane Edmond Laguerre'a ) stanowi ostry kąt pomiędzy dwoma odpowiednimi rzeczywiste linie, w następujący sposób: ${\ displaystyle \ phi}$

${\ displaystyle \ phi = | {\ Frac {i} {2}} \ operatorname {log} \ operatorname {Cr} (I_ {1}, I_ {2}, P_ {1}, P_ {2}) |}$

gdzie:

• ${\ displaystyle \ operatorname {log}}$ jest główną wartością logarytmu zespolonego
• ${\ displaystyle \ operatorname {Cr}}$ jest stosunkiem krzyżowym czterech współliniowych punktów
• ${\ displaystyle P_ {1}}$ i są punktami w nieskończoności linii ${\ displaystyle P_ {2}}$
• ${\ displaystyle I_ {1}}$ i są przecięciami stożka absolutnego , mającego równania , z linią łączącą i . ${\ displaystyle I_ {2}}$${\ Displaystyle X_ {0} = X_ {1} ^ {2} + X_ {2} ^ {2} + X_ {3} ^ {2} = 0}$${\ displaystyle P_ {1}}$${\ displaystyle P_ {2}}$

Wyrażenie między pionowymi kreskami to liczba rzeczywista.

Wzór Laguerre'a może być przydatny w wizji komputerowej , ponieważ stożek absolutny ma obraz na płaszczyźnie siatkówki, który jest niezmienny przy przemieszczeniach kamery, a stosunek krzyża czterech punktów współliniowych jest taki sam dla ich obrazów w płaszczyźnie siatkówki.

Pochodzenie

Można założyć, że linie przechodzą przez początek. Każda izometria pozostawia absolutny niezmiennik stożka, co pozwala przyjąć jako pierwszą linię oś x i drugą linię leżącą w płaszczyźnie z = 0. W współrzędnych jednorodnych z powyższych czterech punktów są

${\ Displaystyle (0,1, ja, 0), \ (0,1, -i, 0), \ (0,1,0,0), \ (0, \ cos \ phi, \ pm \ sin \ phi, 0),}$

odpowiednio. Ich niejednorodny współrzędne na linii krawędzi w płaszczyźnie Z = 0, są , , 0 . (Zamieniając i zamieniając współczynnik krzyżowania na jego odwrotność, więc wzór na daje ten sam wynik.) Teraz ze wzoru współczynnika krzyżowania mamy ${\ displaystyle i}$${\ displaystyle -i}$${\ Displaystyle \ pm \ sin \ phi / \ cos \ phi}$${\ displaystyle I_ {1}}$${\ displaystyle I_ {2}}$${\ displaystyle \ phi}$${\ displaystyle \ operatorname {Cr} (I_ {1}, I_ {2}, P_ {1}, P_ {2}) = - {\ Frac {-i \ cos \ phi \ pm \ sin \ phi} {i \ cos \ phi \ pm \ sin \ phi}} = e ^ {\ pm 2i \ phi}.}$

Bibliografia

• O. Faugeras. Trójwymiarowe widzenie komputerowe. MIT Press, Cambridge, Londyn, 1999.