Pozytywna funkcja harmoniczna - Positive harmonic function

W matematyce , A pozytywne funkcji harmonicznej na płycie jednostkowej w liczbach zespolonych charakteryzuje się jako całkę Poissona skończonej pozytywnego działania na okręgu. Wynikiem tego, reprezentacja twierdzenie Herglotz , udowodnił Gustav Herglotz w 1911 mogą być wykorzystane do nadania związanego wzoru i charakterystyki dla każdej funkcji holomorficznej na płycie urządzenia z dodatniej części rzeczywistej. Takie funkcje już zostały scharakteryzowane w 1907 roku przez Constantin Carathéodory pod względem pozytywnej definiteness ich współczynników Taylor .

Herglotz reprezentacja twierdzenie dla funkcji harmonicznych

Dodatni funkcji f na dyskowego z F (0) = 1 harmonicznej tylko wtedy, gdy nie ma środka prawdopodobieństwo μ na okręgu jednostkowym, tak że

${\ Displaystyle f (re ^ {i \ theta}) = \ _ int {0} ^ {2 \ pi} {1-R ^ {2} \ na 1-2r \ cos (\ teta - \ varphi) + R ^ {2}} \ d \ mi (\ varphi).}$

Wzór jasno określa pozytywną funkcji harmonicznej z F (0) = 1.

I odwrotnie, jeśli f jest dodatnia, i harmoniczne, a R _n wzrasta do 1, określa

${\ F_ displaystyle {A} (Z) = f (R_ {n} Z). \}$

Następnie

${\ F_ displaystyle {A} (re ^ {i \ theta}) = {1 \ przez 2 \ pi} \ _ int {0} ^ {2 \ pi} {1-R ^ {2} \ na 1-2r \ cos (\ teta - \ varphi) + r ^ {2}} \, F_ {A} (\ varphi) \ d \ cp = \ int _ {0} ^ {2 \ pi} {1-R ^ { 2} \ na 1-2r \ cos (\ teta - \ varphi) + r ^ {2}} d \ mu _ {A} (\ varphi)}$

gdzie

${\ Displaystyle d \ mu _ {A} (\ varphi) = {1 \ przez 2 \ pi} f (R_ {n} e ^ {i \ varphi}) \ d \ varphi}$

jest miarą prawdopodobieństwa.

Przez argument zwartości (lub równoważnie w tym przypadku Helly za wybór twierdzenie dla całek Stieltjes ) podciąg tych środków prawdopodobieństwa ma słabą granicę, która jest również miarą prawdopodobieństwa μ.

Ponieważ R _n wzrasta do 1, tak, że f _n ( z ) ma tendencję do f ( Z ), wzoru Herglotz następujący.

Herglotz reprezentacja twierdzenie dla funkcji holomorficznych

Holomorficzna funkcji f na dyskowego z F (0) = 1 ma dodatnią część rzeczywistą, wtedy i tylko wtedy, gdy środek prawdopodobieństwo μ na okręgu jednostkowym, tak że

${\ Displaystyle F (z) = \ int _ {0} ^ {2 \ pi} {1 + e ^ {- i \ theta} Z \ w ciągu 1-e ^ {- i \ theta} Z} \ d \ mi (\ theta).}$

Wynika to z poprzedniego twierdzenia, ponieważ:

• jądro Poissona jest prawdziwą częścią podcałkowej powyżej
• część rzeczywista funkcji holomorficznej jest harmoniczna i określa funkcja holomorficzna up dodaniem skalara
• powyższy wzór określa holomorficzna funkcji część rzeczywista które podano w poprzednim twierdzenia

Kryterium dodatni Carathéodory dla funkcji holomorficznych

Pozwolić

${\ Displaystyle F (z) = 1 + a_ {1} Z + a_ {2} z ^ {2} + \ cdots}$

być funkcja holomorficzna na dysku urządzenia. Wtedy f ( z ) posiada pozytywną część rzeczywistą na dysku tylko wtedy, gdy

${\ Suma displaystyle \ _ {m} \ suma _ {n} a_ {mn} \ N _ {m} {\ overline {\ N _ {n}}} \ geq 0}$

dla każdej liczby zespolone Î ₀ , X ₁ , ..., X _N , gdzie

${\ A_ displaystyle {0} = 2, \, \, \, a _ {- m} = {\ overline {a_ {m}}}}$

o m > 0.

W rzeczywistości z reprezentacji Herglotz dla n > 0

${\ A_ displaystyle {n} = 2 \ _ int {0} ^ {2 \ pi} e ^ {- w \ theta} \ d \ mi (\ theta).}$

Stąd

${\ Suma displaystyle \ _ {m} \ suma _ {n} a_ {mn} \ N _ {m} {\ overline {\ N _ {n}}} = \ int _ {0} ^ {2 \ pi} \ lewo | \ suma _ {n} \ n _ {n} e ^ {- w \ theta} \ prawo | ^ {2} \ d \ mi (\ theta) \ 0} geq$

Z drugiej strony, ustawienie λ _n  =  Ź ^N ,

${\ Suma displaystyle \ _ {m = 0} ^ {\ infty} \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {mn} \ N _ {m} {\ overline {\ N _ {n}} 2} = (1- | s | ^ {2}) \ \ Re \ f (z)}.$

Zobacz też

• twierdzenie bochnera

Referencje

• Carathéodory, C. (1907), "Überowa Variabilitätsbereich den der Koeffizienten von Potenzreihen die gegebene Werte nicht annehmen" Math. Ann. , 64 : 95-115, doi : 10.1007 / bf01449883
• DĂĽren, PL (1983), funkcje jednowartościowe , Grundlehren Mathematischen der Wissenschaften, 259 , Springer-Verlag, ISBN  0-387-90795-5
• Herglotz, G. (1911), "Überowa Potenzreihen mit positivem, reellen Teil im Einheitskreis" Ber. Verh. Sachs. Akad. Wiss. Lipsk , 63 : 501-511
• Pommerenke, C. (1975), jednowartościowe funkcje, z rozdziałem na kwadratowe różnic Gerd Jensen , Studia Mathematica / Mathematische Lehrbücher, 15 , Vandenhoeck i Ruprecht