Formuła Haversine - Haversine formula

Wzór haversine określa odległość wielkiego koła między dwoma punktami na sferze, biorąc pod uwagę ich długość i szerokość geograficzną . Ważny w nawigacji , jest to szczególny przypadek bardziej ogólnej formuły w trygonometrii sferycznej , prawo hasersines , które wiąże boki i kąty trójkątów sferycznych.

Pierwsza tabela z haszynami w języku angielskim została opublikowana przez Jamesa Andrew w 1805 roku, ale Florian Cajori przypisuje jej wcześniejsze użycie przez José de Mendoza y Ríos w 1801 roku. Termin haversine został ukuty w 1835 roku przez Jamesa Inmana .

Nazwy te wynikają z faktu, że zwyczajowo zapisuje się je w postaci funkcji haversine, danej przez $hav( θ ) = sin 2 (.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px} θ/2)$ . Formuły można równie dobrze zapisać w postaci dowolnej wielokrotności hasrsine, takiej jak starsza funkcja wersyna (dwukrotność hasrsine). Przed pojawieniem się komputerów eliminacja dzielenia i mnożenia przez dwójki okazała się na tyle wygodna, że tablice wartości hasrsine i logarytmów były włączane do dziewiętnastowiecznych i początków XX-wiecznych tekstów nawigacyjnych i trygonometrycznych. Obecnie forma hasrsine jest również wygodna, ponieważ nie ma współczynnika przed funkcją $sin 2$ .

Sformułowanie

Niech kąt środkowy $θ$ między dowolnymi dwoma punktami na sferze będzie wynosił:

{\ Displaystyle \ theta = {\ Frac {d} {r}}}

gdzie:

$d$ to odległość między dwoma punktami wzdłuż wielkiego koła kuli (patrz odległość sferyczna ),
$r$ jest promieniem kuli.

Wzór haversine umożliwia haversine z $θ$ (to znaczy, $HAV (θ)$ ), które oblicza się bezpośrednio od szerokości (reprezentowany przez $cp$ ) oraz długość (reprezentowany przez $Î$ ) dwóch punktach:

{\ Displaystyle \ operatorname {hav} \ lewo (\ theta \ prawo) = \ operatorname {hav} \ lewo (\ varphi _ {2} - \ varphi _ {1} \ prawy) + \ cos \ lewo (\ varphi _ {1}\right)\cos \left(\varphi _{2}\right)\operatorname {hav} \left(\lambda _{2}-\lambda _{1}\right)}

gdzie

$φ 1$ , $φ 2$ to szerokość geograficzna punktu 1 i szerokość geograficzna punktu 2,
$λ 1$ , $λ 2$ to długość geograficzna punktu 1 i długość geograficzna punktu 2.

Wreszcie, funkcja haversine $hav(θ)$ , zastosowana powyżej zarówno do kąta środkowego $θ, jak$ i różnic w szerokości i długości geograficznej, jest

{\ Displaystyle \ Operatorname {hav} (\ theta ) = \ grzech ^ {2} \ lewo ({\ Frac {\ theta} {2}} \ prawej) = {\ Frac {1-\ cos (\ theta)} {2}}}

Funkcja haversine oblicza połowę wersynu kąta $θ$ .

Aby obliczyć odległość $d$ , zastosuj funkcję archaversine ( odwrotny sinus ) do $h = hav(θ)$ lub użyj funkcji arcsine (odwrotny sinus):

{\ Displaystyle d = r \ operatorname {archav} (h) = 2r \ arcsin \ lewo ({\ sqrt {h}} \ prawej)}

lub wyraźniej:

{\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} d & = 2r \ arcsin \ lewo ({\ sqrt {\ nazwa operatora {hav} (\ varphi _ {2} - \ varphi _ {1}) + \ cos (\ varphi _ {1 })\cos(\varphi _{2})\operatorname {hav} (\lambda _{2}-\lambda _{1})}}\right)\\&=2r\arcsin \left({\sqrt {\sin ^{2}\left({\frac {\varphi _{2}-\varphi _{1}}{2}}\right)+\cos(\varphi _{1})\cos(\ varphi _{2})\sin ^{2}\left({\frac {\lambda _{2}-\lambda _{1}}{2}}\right)}}\right)\end{aligned} }}

Korzystając z tych wzorów, należy upewnić się, że $h$ nie przekracza 1 z powodu błędu zmiennoprzecinkowego ( $d$ jest rzeczywiste tylko dla $0 \leq h \leq 1$ ). $h$ tylko zbliża się do 1 dla punktów antypodalnych (po przeciwnych stronach kuli) — w tym obszarze, przy zastosowaniu skończonej precyzji, we wzorze pojawiają się stosunkowo duże błędy liczbowe. Ponieważ $d$ jest wtedy duże (zbliża się do $π R$ , połowa obwodu), mały błąd często nie jest głównym problemem w tym nietypowym przypadku (chociaż istnieją inne wzory na odległość po wielkim okręgu, które pozwalają uniknąć tego problemu). (Powyższy wzór jest czasami pisany w postaci funkcji arcus tangens , ale dotyczy to podobnych problemów numerycznych w pobliżu $h = 1$ .)

Jak opisano poniżej, podobny wzór można zapisać za pomocą cosinusów (czasami nazywanych sferycznym prawem cosinusów , nie mylić z prawem cosinusów dla geometrii płaskiej) zamiast hasersines, ale jeśli te dwa punkty są blisko siebie (np. kilometr poza tym na Ziemi) można by skończyć na $cos(D / r) = 0.99999999$ , co prowadzi do niedokładnej odpowiedzi. Ponieważ formuła haversine wykorzystuje sinusy, pozwala uniknąć tego problemu.

Obie formuły są tylko przybliżone w odniesieniu do Ziemi , która nie jest idealną kulą: „ promień Ziemi ” $R$ zmienia się od 6356,752 km na biegunach do 6378,137 km na równiku. Co ważniejsze, promień krzywizny linii północ-południe na powierzchni Ziemi jest o 1% większy na biegunach (≈6399,594 km) niż na równiku (≈6335,439 km) – więc nie można zagwarantować wzoru haversine i prawa cosinusów poprawna do lepszej niż 0,5%. Dokładniejsze metody uwzględniające eliptyczność Ziemi są podane we wzorach Vincenty'ego i innych wzorach w artykule dotyczącym odległości geograficznej .

Prawo przysmaków

Trójkąt sferyczny rozwiązany prawem Haversines

Mając sferę jednostkową, „trójkąt” na powierzchni sfery jest określony przez wielkie koła łączące trzy punkty $u$ , $v$ i $w$ na sferze. Jeżeli długości tych trzech boków to $a$ (od $u$ do $v$ ), $b$ (od $u$ do $w$ ) i $c$ (od $v$ do $w$ ), a kąt narożnika przeciwnego do $c$ wynosi $C$ , to prawo masynek stanowi :

{\ Displaystyle \ operatorname {hav} (c) = \ operatorname {hav} (AB) + \ sin (a) \ sin (b) \ operatorname {hav} (C).}

Ponieważ jest to sfera jednostkowa, długości $a$ , $b$ i $c$ są po prostu równe kątom (w radianach ) leżącym między tymi bokami od środka sfery (dla sfery niejednostkowej każda z tych długości łuku jest równa do jego kąta środkowego pomnożonego przez promień $R$ kuli).

W celu uzyskania wzoru haversine z poprzedniego rozdziału z tego prawa, wystarczy wziąć pod uwagę szczególny przypadek, w którym $u$ jest biegunem północnym , podczas gdy $v$ i $w$ są dwoma punktami, których odległość $d$ ma być określona. W takim przypadku $a$ i $b$ są $π / 2 - φ 1,2$ (czyli współszerokości geograficzne), $C$ to odległość geograficzna $λ 2 - λ 1$ , a $c$ to pożądana $D / r$ . Zauważając ten $grzech (π / 2 - φ) = cos(φ)$ , natychmiast następuje formuła haversine.

Aby wyprowadzić prawo haversines, zaczynamy od sferycznego prawa cosinusów :

{\ Displaystyle \ cos (c) = \ cos (a) \ cos (b) + \ sin (a) \ sin (b) \ cos (c). \,}

Jak wspomniano powyżej, ta formuła jest źle uwarunkowanym sposobem rozwiązywania $c,$ gdy $c$ jest małe. Zamiast tego podstawiamy identyczność, że $cos(θ) = 1 - 2 hav(θ)$ , a także stosujemy identyczność dodawania $cos(a - b) = cos(a) cos(b) + sin(a) sin(b)$ , aby uzyskać prawo Haversines, powyżej.

Dowód

Można udowodnić formułę:

{\ Displaystyle \ operatorname {hav} \ lewo (\ theta \ prawo) = \ operatorname {hav} \ lewo (\ varphi _ {2} - \ varphi _ {1} \ prawy) + \ cos \ lewo (\ varphi _ {1}\right)\cos \left(\varphi _{2}\right)\operatorname {hav} \left(\lambda _{2}-\lambda _{1}\right)}

przekształcając punkty podane przez ich szerokość i długość geograficzną we współrzędne kartezjańskie , a następnie biorąc ich iloczyn skalarny .

Rozważmy dwa punkty na sferze jednostkowej , podane przez ich szerokość i długość geograficzną : ${\bf {p_{1},p_{2}}}$ $\varphi$ ${\ Displaystyle \ lambda}$

{\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} {\ bf {p_ {2}}} i = (\ lambda _ {2}, \ varphi _ {2}) \ \ {\ bf {p_ {1}}} i = (\lambda _{1},\varphi _{1})\end{wyrównany}}}

Przedstawienia te są bardzo podobne do współrzędnych sferycznych , jednak szerokość geograficzna jest mierzona jako kąt od równika, a nie bieguna północnego. Punkty te mają następujące reprezentacje we współrzędnych kartezjańskich:

{\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} {\ bf {p_ {2}}} i = (\ cos (\ lambda _ {2}) \ cos (\ varphi _ {2}), \; \ grzech (\ lambda _{2})\cos(\varphi _{2}),\;\sin(\varphi _{2}))\\{\bf {p_{1}}}&=(\cos(\lambda _ {1})\cos(\varphi _{1}),\;\sin(\lambda _{1})\cos(\varphi _{1}),\;\sin(\varphi _{1}) )\end{wyrównany}}}

Stąd moglibyśmy bezpośrednio spróbować obliczyć iloczyn skalarny i kontynuować, jednak wzory stają się znacznie prostsze, gdy weźmiemy pod uwagę następujący fakt: odległość między dwoma punktami nie zmieni się, jeśli obrócimy sferę wzdłuż osi Z. To w efekcie doda stałą do . Zauważ, że podobne względy nie dotyczą przekształcania szerokości geograficznych - dodanie stałej do szerokości może zmienić odległość między punktami. Wybierając naszą stałą jako , i ustawienie , nasze nowe punkty stają się: ${\ Displaystyle \ lambda _ {1} \ lambda _ {2}}$ $-\lambda_{1}$ ${\ Displaystyle \ lambda '= \ lambda _ {2} - \ lambda _ {1}}$

{\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} {\ bf {p_ {2} '}} i = (\ cos (\ lambda ') \ cos (\ varphi _ {2}), \; \ grzech (\ lambda ') \cos(\varphi _{2}),\;\sin(\varphi _{2}))\\{\bf {p_{1}'}}&=(\cos(0)\cos(\varphi _{1}),\;\sin(0)\cos(\varphi _{1}),\;\sin(\varphi _{1}))\\&=(\cos(\varphi _{1 }),\;0,\;\sin(\varphi _{1}))\end{wyrównany}}}

Z oznaczeniem kąta pomiędzy i mamy teraz to: $\theta$ ${\bf {p_{1}}}$ ${\bf {p_{2}}}$

{\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} \ cos (\ theta) i = \ langle {\ bf {p_ {1}}}, {\ bf {p_ {2}}} \ rangle = \ langle {\ bf {p_ {1}'}},{\bf {p_{2}'}}\rangle =\cos(\lambda ')\cos(\varphi _{1})\cos(\varphi _{2})+\ sin(\varphi _{1})\sin(\varphi _{2})\\&=\sin(\varphi _{2})\sin(\varphi _{1})+\cos(\varphi _ {2})\cos(\varphi _{1})-\cos(\varphi _{2})\cos(\varphi _{1})+\cos(\lambda ')\cos(\varphi _{ 2})\cos(\varphi _{1})\\&=\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})+\cos(\varphi _{2})\cos(\varphi _{1})(-1+\cos(\lambda '))\Rightarrow \\\operator{hav} \left(\theta \right)&=\operatorname {hav} \left(\varphi _{2} -\varphi _{1}\right)+\cos(\varphi _{2})\cos(\varphi _{1})\nazwa operatora {hav} \left(\lambda _{2}-\lambda _{ 1}\right)\end{wyrównany}}}

Zobacz też

Bibliografia

^ van Brummelen, Glen Robert (2013). Niebiańska matematyka: zapomniana sztuka trygonometrii sferycznej . Wydawnictwo Uniwersytetu Princeton . Numer ISBN 9780691148922. 0691148929 . Źródło 2015-11-10 .
^ de Mendoza y Rios, Józef (1795). Memoria sobre algunos métodos nuevos de calcular la longitud por las distancias lunares: y aplicacion de su teórica á la solucion de otros problemas de navegacion (w języku hiszpańskim). Madryt, Hiszpania: Imprenta Real.
^ Cajori, Florian (1952) [1929]. Historia notacji matematycznych . 2 (2 (3. druk poprawiony z 1929 r.) wyd.). Chicago: Otwarte wydawnictwo sądowe . P. 172. Numer ISBN 978-1-60206-714-1. 1602067147 . Pobrano 11.11.2015 . Haversine pojawia się po raz pierwszy w tablicach logarytmicznych wierszy José de Mendoza y Rios (Madryt, 1801, także 1805, 1809), a później w traktacie o nawigacji Jamesa Inmana (1821). (Uwaga: ISBN i link do przedruku drugiego wydania przez Cosimo, Inc., Nowy Jork, 2013.)
^ Inman, James (1835) [1821]. Nawigacja i astronomia morska: do użytku marynarzy brytyjskich (3 wyd.). Londyn, Wielka Brytania: W. Woodward, C. i J. Rivington . Pobrano 09.11.2015 .(Wydanie czwarte: [1] .)
^ "haversine". Oxford English Dictionary (wyd. 2). Wydawnictwo Uniwersytetu Oksfordzkiego . 1989.
^ HB Goodwin, Haversine w astronomii morskiej , Naval Institute Proceedings , tom. 36, nie. 3 (1910), s. 735-746: Najwyraźniej, jeśli zastosuje się tabelę Haversines, w pierwszej kolejności oszczędzi nam trudu dzielenia sumy logarytmów przez dwa, a w drugiej kolejności pomnożenia kąta wziętego z tabele pod tym samym numerem. Jest to szczególna zaleta formy stołu wprowadzonej po raz pierwszy przez profesora Inmana z Portsmouth Royal Navy College prawie sto lat temu.
^ WW Sheppard i CC Soule, nawigacja praktyczna (Światowy Instytut Techniczny: Jersey City, 1922).
^ ER Hedrick, Tablice logarytmiczne i trygonometryczne (Macmillan, New York, 1913).
^ Gade Kenneth (2010). „Nieosobliwa reprezentacja pozycji poziomej”. Dziennik nawigacji . 63 (3): 395-417. doi : 10.1017/S0373463309990415 . ISSN 0373-4633 .
^ Korn, Grandino Artur; Korn, Theresa M. (2000) [1922]. „Dodatek B: B9. Płaszczyzna i trygonometria sferyczna: Wzory wyrażone w warunkach funkcji Haversine”. Podręcznik matematyczny dla naukowców i inżynierów: Definicje, twierdzenia i wzory do odniesienia i recenzji (3rd ed.). Mineola, Nowy Jork: Dover Publikacje . s. 892–893. Numer ISBN 978-0-486-41147-7.

Dalsza lektura

FAQ dotyczące systemów informacji geograficznej US Census Bureau (treść została przeniesiona do sekcji Jak najlepiej obliczyć odległość między 2 punktami? )
RW Sinnott, "Cnoty Haversine", Sky and Telescope 68 (2), 159 (1984).
Wyprowadzając formułę haversine , Ask Dr. Math (20-21 kwietnia 1999). (uszkodzony link)
Romuald Ireneus Ścibor-Marchocki, Trygonometria sferyczna , strona internetowa Trygonometrii Elementarnej Geometrii (1997).
W. Gellert, S. Gottwald, M. Hellwich, H. Kästner i H. Küstner, The VNR Concise Encyclopedia of Mathematics , wyd. 2, rozdz. 12 (Van Nostrand Reinhold: Nowy Jork, 1989).

Zewnętrzne linki

Implementacje formuły haversine w 91 językach na rosettacode.org oraz w 17 językach na codecodex.com
Inne implementacje w C++ , C (MacOS) , Pascal , Python , Ruby , JavaScript , PHP , Matlab , MySQL

[Brummelen_2013-1] van Brummelen, Glen Robert (2013). Niebiańska matematyka: zapomniana sztuka trygonometrii sferycznej . Wydawnictwo Uniwersytetu Princeton . Numer ISBN 9780691148922. 0691148929 . Źródło 2015-11-10 .

[Ríos_1795-2] Mendoza y Rios, Józef (1795). Memoria sobre algunos métodos nuevos de calcular la longitud por las distancias lunares: y aplicacion de su teórica á la solucion de otros problemas de navegacion (w języku hiszpańskim). Madryt, Hiszpania: Imprenta Real.

[Cajori_1929-3] Cajori, Florian (1952) [1929]. Historia notacji matematycznych . 2 (2 (3. druk poprawiony z 1929 r.) wyd.). Chicago: Otwarte wydawnictwo sądowe . P. 172. Numer ISBN 978-1-60206-714-1. 1602067147 . Pobrano 11.11.2015 . Haversine pojawia się po raz pierwszy w tablicach logarytmicznych wierszy José de Mendoza y Rios (Madryt, 1801, także 1805, 1809), a później w traktacie o nawigacji Jamesa Inmana (1821). (Uwaga: ISBN i link do przedruku drugiego wydania przez Cosimo, Inc., Nowy Jork, 2013.)

[Inman_1835-4] Inman, James (1835) [1821]. Nawigacja i astronomia morska: do użytku marynarzy brytyjskich (3 wyd.). Londyn, Wielka Brytania: W. Woodward, C. i J. Rivington . Pobrano 09.11.2015 .(Wydanie czwarte: [1] .)

[OED_1989_Haversine-5] "haversine". Oxford English Dictionary (wyd. 2). Wydawnictwo Uniwersytetu Oksfordzkiego . 1989.

[6] HB Goodwin, Haversine w astronomii morskiej , Naval Institute Proceedings , tom. 36, nie. 3 (1910), s. 735-746: Najwyraźniej, jeśli zastosuje się tabelę Haversines, w pierwszej kolejności oszczędzi nam trudu dzielenia sumy logarytmów przez dwa, a w drugiej kolejności pomnożenia kąta wziętego z tabele pod tym samym numerem. Jest to szczególna zaleta formy stołu wprowadzonej po raz pierwszy przez profesora Inmana z Portsmouth Royal Navy College prawie sto lat temu.

[7] WW Sheppard i CC Soule, nawigacja praktyczna (Światowy Instytut Techniczny: Jersey City, 1922).

[8] ER Hedrick, Tablice logarytmiczne i trygonometryczne (Macmillan, New York, 1913).

[Gade2010-9] Gade Kenneth (2010). „Nieosobliwa reprezentacja pozycji poziomej”. Dziennik nawigacji . 63 (3): 395-417. doi : 10.1017/S0373463309990415 . ISSN 0373-4633 .

[Korn_2000-10] Korn, Grandino Artur; Korn, Theresa M. (2000) [1922]. „Dodatek B: B9. Płaszczyzna i trygonometria sferyczna: Wzory wyrażone w warunkach funkcji Haversine”. Podręcznik matematyczny dla naukowców i inżynierów: Definicje, twierdzenia i wzory do odniesienia i recenzji (3rd ed.). Mineola, Nowy Jork: Dover Publikacje . s. 892–893. Numer ISBN 978-0-486-41147-7.

Languages

In other projects