Epicykloid - Epicycloid

Czerwona krzywa jest epicykloidą zaznaczoną jako mały okrąg (promień r = 1) toczy się po zewnętrznej stronie dużego koła (promień R = 3) .

W geometrii An epicykloida jest krzywa płaszczyzny wytwarzane przez śledzenie ścieżki wybranym miejscu na obwodzie koła -called się epicyklu -co rolek bez poślizgu wokół stałego koła. Jest to szczególny rodzaj ruletki .

Równania

Jeżeli mniejszy okrąg ma promień r , a większy okrąg ma promień R = kr , to równania parametryczne krzywej mogą być podane przez:

{\ Displaystyle x (\ theta ) = (R + R) \ cos \ theta \ -r \ cos \ lewo ({\ Frac {R + R} {r}} \ theta \ prawej)}

{\ Displaystyle r (\ theta ) = (R + R) \ sin \ theta \ -r \ sin \ lewo ({\ Frac {R + R} {r}} \ theta \ prawej),}

lub:

{\ Displaystyle x (\ theta ) = r (k + 1) \ cos \ theta -r \ cos \ lewo ((k + 1) \ theta \ prawo) \,}

{\ Displaystyle y (\ theta ) = r (k + 1) \ sin \ theta -r \ sin \ lewo ((k + 1) \ theta \ prawo).\,}

(Zakładając, że punkt początkowy leży na większym okręgu.)

Jeśli k jest dodatnią liczbą całkowitą, to krzywa jest zamknięta i ma k wierzchołków (tj. ostre rogi).

Jeśli k jest liczbą wymierną , powiedzmy k = p / q wyrażoną jako ułamek nieredukowalny , to krzywa ma p wierzchołków.

Aby zamknąć krzywą i
zakończyć pierwszy powtarzający się wzór :
θ = 0 do q obrotów
α = 0 do p obrotów
całkowite obroty zewnętrznego koła toczenia = p + q obrotów

Policz obroty animacji, aby zobaczyć p i q .

Jeśli k jest liczbą niewymierną , to krzywa nigdy się nie zamyka i tworzy gęsty podzbiór przestrzeni między większym okręgiem a okręgiem o promieniu R + 2 r .

Odległość OP od (x=0,y=0) początku do (punktu na małym kole) zmienia się w górę i w dół jako $p$

R <= OP <= (R + 2r)

R = promień dużego okręgu i

2r = średnica małego koła

Przykłady epicykloidów
k = 1 a kardioidalna
k = 2 nefroid
k = 3 - przypomina koniczynę
k = 4 - przypomina czterolistny
k = 2,1 = 21/10
k = 3,8 = 19/5
k = 5,5 = 11/2
k = 7,2 = 36/5

Epicykloida to szczególny rodzaj epitrochoidy .

Epicykl z jednym guzkiem to kardioida , dwa guzki to nerczyca .

Epicykloid i jego ewolucja są podobne .

Dowód

szkic do dowodu

Zakładamy, że położenie jest tym, co chcemy rozwiązać, to radian od punktu stycznego do punktu ruchomego i radian od punktu początkowego do punktu stycznego. $p$ ${\ Displaystyle \ alfa}$ $p$ $\theta$