Produkt kubkowy - Cup product

W matematyce , zwłaszcza w topologii algebraicznej The produkt kubek jest sposób łączącego dwa cocycles stopnia P i Q w celu wytworzenia kompozytu cocycle stopnia p + q . Definiuje to asocjatywne (i rozdzielcze) stopniowane przemienne działanie produktu w kohomologii, zamieniające kohomologię przestrzeni X w stopniowany pierścień, H ^∗ ( X ), zwany pierścieniem kohomologicznym . Wyrób kubkowy został wprowadzony w pracy JW Alexandera , Eduarda Čecha i Hasslera Whitneya w latach 1935-1938, a ogólnie przez Samuela Eilenberga w 1944 roku.

Definicja

W szczególnej kohomologiami The produkt kubek jest konstrukcja daje produkt o stopniowanej pierścienia kohomologie H ^* ( X ) o topologii przestrzeni X .

Konstrukcja zaczyna się od iloczynu łańcuchów : jeśli jest p -kołańcuchem i jest q -kołańcuchem, to ${\ Displaystyle \ alfa ^ {p}}$${\ Displaystyle \ beta ^ {q}}$

${\ Displaystyle (\ alfa ^ {p} \ uśmiech \ beta ^ {q}) (\ sigma) = \ alfa ^ {p} (\ sigma \ circ \ iota _ {0,1,... p}) \ cdot \beta ^{q}(\sigma \circ \iota _{p,p+1,...,p+q})}$

gdzie σ jest liczbą pojedynczą ( p + q ) -simplex i jest kanonicznym osadzeniem simpleksu rozpiętego przez S w -simpleksie, którego wierzchołki są indeksowane przez . ${\ Displaystyle \ iota _ {S}, S \ podzbiór \ {0,1,..., p+q\}}$${\ Displaystyle (p+q)}$${\displaystyle \{0,...,p+q\}}$

Nieformalnie jest przez P -tego przednia i jest P -tego tylna powierzchnia z Ď, odpowiednio. ${\ Displaystyle \ sigma \ circ \ iota _ {0,1,...,p}}$${\ Displaystyle \ sigma \ circ \ iota _ {p, p + 1,..., p + q}}$

Granica iloczynu kubka łańcuchów i jest dana przez ${\ Displaystyle \ alfa ^ {p}}$${\ Displaystyle \ beta ^ {q}}$

${\ Displaystyle \ delta (\ alfa ^ {p} \ uśmiech \ beta ^ {q}) = \ delta {\ alfa ^ {p}} \ uśmiech \ beta ^ {q} + (-1) ^ {p} ( \alpha ^{p}\smile \delta {\beta ^{q}}).}$

Iloczyn kubkowy dwóch kocykli jest znowu kocyklem, a iloczyn współgranicy z kocyklem (w dowolnej kolejności) jest współgranicą. Działanie produktu kubkowego indukuje dwuliniową operację na kohomologii,

${\ Displaystyle H ^ {p} (X) \ razy H ^ {q} (X) \ do H ^ {p + q} (X).}$

Nieruchomości

Działanie produktu w filiżance w kohomologii spełnia tożsamość

${\ Displaystyle \ alfa ^ {p} \ uśmiech \ beta ^ {q} = (-1) ^ {pq} (\ beta ^ {q} \ uśmiech \ alfa ^ {p})}$

tak, że odpowiednie mnożenie jest stopniowane i przemienne .

Produkt filiżanki jest funkcjonalny , w następującym sensie: jeśli

${\ Displaystyle f \ dwukropek X \ do Y}$

jest funkcją ciągłą i

${\ Displaystyle f ^ {*} \ dwukropek H ^ {*} (Y) \ do H ^ {*} (X)}$

jest zatem indukowany homomorfizm w kohomologii

${\ Displaystyle f ^ {*} (\ alfa \ uśmiech \ beta) = f ^ {*} (\ alfa) \ uśmiech f ^ {*} (\ beta),}$

dla wszystkich klas α, β w H ^* ( Y ). Innymi słowy, f ^* jest (stopniowanym) homomorfizmem pierścienia .

Interpretacja

Możliwe jest oglądanie produktu kubka jako indukowanego z następującego składu:${\ Displaystyle \ uśmiech \ dwukropek H ^ {p} (X) \ razy H ^ {q} (X) \ do H ^ {p + q} (X)}$

${\ Displaystyle \ Displaystyle C ^ {\ pocisk} (X) \ razy C ^ {\ pocisk} (X) \ do C ^ {\ pocisk} (X \ razy X) {\ przesłonięty {\ Delta ^ {*}} {\to }}C^{\bullet }(X)}$

w odniesieniu do kompleksów łańcuchów o i , przy czym pierwszy mapę, jest mapa Künneth a drugi jest mapa indukowane przez Diagonal . ${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle X \ razy X}$ ${\ Displaystyle \ Delta \ dwukropek X \ do X \ razy X}$

Skład ten przechodzi do ilorazu dającego dobrze zdefiniowaną mapę pod względem kohomologii, jest to produkt kubkowy. To podejście wyjaśnia istnienie iloczynu kubkowego dla kohomologii, ale nie dla homologii: indukuje map, ale indukuje również map , co idzie w złym kierunku, aby umożliwić nam zdefiniowanie iloczynu. Jest to jednak przydatne przy definiowaniu produktu kapslowego . ${\ Displaystyle \ Delta \ dwukropek X \ do X \ razy X}$${\ Displaystyle \ Delta ^ {*} \ dwukropek H ^ {\ pocisk} (X \ razy X) \ do H ^ {\ pocisk} (X)}$${\ Displaystyle \ Delta _ {*} \ dwukropek H_ {\ pocisk} (X) \ do H_ {\ pocisk} (X \ razy X)}$

Bilinearity wynika z prezentacji produktu kubek, czyli i${\ Displaystyle (u_ {1} + u_ {2}) \ uśmiech V = u_ {1} \ uśmiech V + u_ {2} \ uśmiech V}$${\ Displaystyle u \ uśmiech (v_ {1} + v_ {2}) = u \ uśmiech V_ {1} + u \ uśmiech V_ {2}.}$

Przykłady

Produkty kubkowe mogą służyć do odróżnienia rozmaitości od klinów przestrzeni o identycznych grupach kohomologicznych. Przestrzeń ma te same grupy kohomologiczne co torus T , ale z innym iloczynem kubka. W przypadku X mnożenie kołańcuchów związanych z kopiami jest zdegenerowane, podczas gdy w T mnożenie w pierwszej grupie kohomologicznej może być użyte do rozłożenia torusa na diagram 2-komórkowy, co daje iloczyn równy Z (bardziej ogólnie M gdzie jest to moduł podstawowy). ${\ Displaystyle X: = S ^ {2} \ Vee S ^ {1} \ Vee S ^ {1}}$${\ Displaystyle S ^ {1}}$

Inne definicje

Produkty kubkowe i formy różnicowe

W kohomologii de Rhama iloczyn kielichowy form różnicowych jest indukowany przez iloczyn klinowy . Innymi słowy, iloczyn klinowy dwóch zamkniętych form różniczkowych należy do klasy de Rham iloczynu kielichowego dwóch pierwotnych klas de Rhama.

Produkt kubkowy i przecięcia geometryczne

Numer łączący mogą być definiowane w kategoriach niezanikające kubek produktu na uzupełnienie linkiem. Uzupełnienie tych dwóch połączonych odkształceń okręgów cofa się do torusa, który ma nieznikający produkt kubkowy.

W przypadku zorientowanych rozmaitości istnieje geometryczna heurystyka mówiąca, że ​​„produkt kubkowy jest podwójny do przecięć”.

Rzeczywiście, niech będzie zorientowana gładka rozmaitość wymiaru . Jeżeli dwie podrozmaitości miareczkowania i przecinają się poprzecznie , to ich przecięcie jest znowu podrozmaitością kowadmiaru . Wykonując obrazy podstawowych klas homologii tych rozmaitości w ramach włączenia, można otrzymać dwuliniowy produkt homologii. Ten produkt jest Poincaré podwójny do produktu kubkowego, w tym sensie, że biorąc pary Poincaré, występuje następująca równość: ${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle A, B}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$${\ Displaystyle A \ czapka B}$${\displaystyle i+j}$${\ Displaystyle [A] ^ {*}, [B] ^ {*} \ w H ^ {i}, H ^ {j}}$

${\ Displaystyle [A] ^ {*} \ uśmiech [B] ^ {*} = [A \ czapka B] ^ {*} \ w H ^ {i + j} (X \ mathbb {Z})}$.

Podobnie numer połączenia może być zdefiniowany w kategoriach przecięć, przesuniętych wymiarów o 1 lub alternatywnie w odniesieniu do nieznikającego produktu kubkowego na uzupełnieniu łącza.

Produkty Massey

Produkty Massey uogólniają produkt kubkowy, umożliwiając zdefiniowanie „liczby łączenia wyższego rzędu”, niezmienników Milnor .

Produkt kubkowy jest operacją binarną (2-argumentową); można zdefiniować operację trójargumentową (3-arną) i wyższego rzędu zwaną iloczynem Masseya , która uogólnia iloczyn kubka. Jest to operacja kohomologii wyższego rzędu , która jest tylko częściowo zdefiniowana (określona tylko dla niektórych trójek).

Zobacz też

• Pojedyncza homologia
• Teoria homologii
• Czapka produktu
• Produkt Massey
• Grupa Torelli

Bibliografia

• James R. Munkres, "Elementy topologii algebraicznej", Perseus Publishing, Cambridge Massachusetts (1984) ISBN  0-201-04586-9 (twarda oprawa) ISBN  0-201-62728-0 (miękka oprawa )
• Glen E. Bredon , „Topologia i geometria”, Springer-Verlag, New York (1993) ISBN  0-387-97926-3
• Allen Hatcher, „ Topologia algebraiczna ”, Cambridge Publishing Company (2002) ISBN  0-521-79540-0