Powierzchnia chłopca - Boy's surface

Animacja powierzchni Boya

W geometrii , powierzchnia Boya jest zanurzenie w rzeczywistym projekcyjnej płaszczyzny w przestrzeni 3-wymiarowej znaleziony przez Wernera Boy w 1901 roku odkrył go zadanie od Davida Hilberta , aby udowodnić, że płaszczyzna rzutowa nie mogła być zanurzona w przestrzeni 3-wymiarowej .

Powierzchnia Boya została po raz pierwszy wyraźnie sparametryzowana przez Bernarda Morina w 1978 roku. Kolejną parametryzację odkryli Rob Kusner i Robert Bryant . Powierzchnia Boya jest jednym z dwóch możliwych zanurzeń rzeczywistej płaszczyzny rzutowej, które mają tylko jeden punkt potrójny.

W przeciwieństwie do powierzchni rzymskiej i nasadki krzyżowej , nie ma innych osobliwości niż samoprzecięcia (to znaczy nie ma punktów zaciskania ).

Budowa

Papierowe osadzenie powierzchni chłopca

Aby zrobić powierzchnię chłopca:

Zacznij od kuli. Zdejmij czapkę.
Przymocuj jeden koniec każdego z trzech pasków do naprzemiennych szóstych krawędzi pozostałej po zdjęciu nasadki.
Zagnij każdy pasek i przymocuj drugi koniec każdego paska do szóstego przeciwległego do pierwszego końca, tak aby wnętrze kuli na jednym końcu było połączone z zewnętrzem na drugim. Spraw, aby paski okrążały środek, a nie przechodziły przez niego.
Połącz luźne krawędzie pasków. Spoiny przecinają paski.

Symetria powierzchni Chłopca

Powierzchnia chłopca ma 3-krotną symetrię . Oznacza to, że ma oś o dyskretnej symetrii obrotowej: każdy obrót o 120° wokół tej osi sprawi, że powierzchnia będzie wyglądać dokładnie tak samo. Powierzchnię Boya można pociąć na trzy przystające do siebie kawałki.

Modelka w Oberwolfach

Model powierzchni chłopca w Oberwolfach

Matematyczna Instytut Oberwolfach ma duży wzór powierzchni chłopca przed wejściem, wykonaną oddanej przez Mercedes-Benz styczeń 1991. Ten model 3-krotnie symetrię obrotową i minimalizuje energię Willmore powierzchni. Składa się z pasków stalowych, które reprezentują obraz siatki współrzędnych biegunowych w parametryzacji podanej przez Roberta Bryanta i Roba Kusnera. Meridiany (promienie) stają się zwykłymi paskami Möbiusa , tj. skręconymi o 180 stopni. Wszystkie paski, z wyjątkiem jednego, odpowiadające kręgom szerokości geograficznej (koła promieniste wokół początku) są nieskręcone, podczas gdy pasek odpowiadający granicy koła jednostkowego jest paskiem Möbiusa skręconym trzy razy o 180 stopni — tak jak godło instytutu ( Matematisches Forschungsinstitut Oberwolfach 2011 ).

Aplikacje

Powierzchnię chłopca można zastosować w wywinięciu kuli , jako model połowiczny . Model połowiczny to zanurzenie kuli z tą właściwością, że rotacja zamienia się wewnątrz i na zewnątrz, a więc może być wykorzystana do odwrócenia (odwrócenia) kuli. Powierzchnie Boya (przypadek p = 3) i Morina (przypadek p = 2) rozpoczynają sekwencję modeli połowicznych o wyższej symetrii po raz pierwszy zaproponowanej przez George'a Francisa, zindeksowanych przez liczby parzyste 2p (dla p nieparzystych immersyj rozkładane przez płaszczyznę rzutową). Wszystko to daje parametryzacja Kusnera.

Parametryzacja powierzchni Boya

Widok opisanej tutaj parametryzacji

Powierzchnię chłopca można sparametryzować na kilka sposobów. Jedna parametryzacja odkryto Roba Kusner i Robert Bryant , jest następujący: dana liczba zespolona w których wielkość jest mniejsza niż lub równa jeden ( ) pozwalają $\|w\|\leq 1$

{\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} g_ {1} i = - {3 \ ponad 2} \ operatorname {im} \ lewo [{w \ lewo (1-w ^ {4} \ po prawej) \ nad w ^ { 6}+{\sqrt {5}}w^{3}-1}\right]\\[4pt]g_{2}&=-{3 \over 2}\operatorname {Re} \left[{w\ left(1+w^{4}\right) \over w^{6}+{\sqrt {5}}w^{3}-1}\right]\\[4pt]g_{3}&=\ nazwa operatora {Im} \left[{1+w^{6} \over w^{6}+{\sqrt {5}}w^{3}-1}\right]-{1 \over 2}\\ \end{wyrównany}}}

aby

{\ Displaystyle {\ zacząć {pmatrix} x \ \ y \ \ z \ koniec {pmatrix}} = {\ Frac {1} {g_ {1} ^ {2} + g_ {2} ^ {2} + g_ { 3}^{2}}}{\begin{pmatrix}g_{1}\\g_{2}\\g_{3}\end{pmatrix}}}

gdzie x , y i z są żądanymi współrzędnymi kartezjańskimi punktu na powierzchni Boya.

Jeśli dokonamy odwrócenia tej parametryzacji skoncentrowanej na punkcie potrójnym, otrzymamy kompletną minimalną powierzchnię z trzema końcami (tak właśnie naturalnie odkryto tę parametryzację). Oznacza to, że parametryzacja Bryant-Kusner powierzchni chłopca jest „optymalne” w tym sensie, że jest „najmniej wygięte” zanurzenia w płaszczyźnie rzutowej w trzy miejsca .

Własność parametryzacji Bryanta-Kusnera

Jeśli w zostanie zastąpione przez ujemną odwrotność jego sprzężenia zespolonego , wówczas funkcje g ₁ , g ₂ i g ₃ w w pozostaną niezmienione. ${\textstyle -{1 \ponad w^{\star }},}$

Zastępując $w$ pod względem jego rzeczywistych i urojonych części $wag = s + nim$ , a rozszerzenie wynikające parametryzacji można uzyskać parametryzacji powierzchni Boy pod względem funkcji wymiernych z $s$ i $t$ . To pokazuje, że powierzchnia Boya jest nie tylko powierzchnią algebraiczną , ale nawet powierzchnią wymierną . Uwaga w poprzednim akapicie pokazuje, że włókno generyczne tej parametryzacji składa się z dwóch punktów (to znaczy, że prawie każdy punkt powierzchni Boya można uzyskać za pomocą dwóch wartości parametrów).

Odniesienie powierzchni Chłopca do rzeczywistej płaszczyzny rzutowej

Niech będzie parametryzacja Bryanta-Kusnera powierzchni Boya. Następnie $P(w)=(x(w),y(w),z(w))$

{\ Displaystyle P (w) = P \ lewo (- {1 \ nad w ^ {\ gwiazda}} \ po prawej).}

Wyjaśnia to warunek dotyczący parametru: jeśli to Jednak sprawy są nieco bardziej skomplikowane dla W tym przypadku mamy Oznacza to, że jeśli punkt powierzchni Boya jest uzyskiwany z dwóch wartości parametru: Innymi słowy, powierzchnia Boya ma zostały sparametryzowane przez dysk w taki sposób, że pary diametralnie przeciwnych punktów na obwodzie dysku są równoważne. To pokazuje, że powierzchnia Boya jest obrazem rzeczywistej płaszczyzny rzutowej RP ² przez gładką mapę . Oznacza to, że parametryzacja powierzchni Boya jest zanurzeniem rzeczywistej płaszczyzny rzutowej w przestrzeń euklidesową . ${\ Displaystyle \ lewo \ | w \ prawo \ | \ leq 1}$ ${\ Displaystyle \ lewo \ | w \ prawo \ | < 1,}$ ${\textstyle \left\|-{1 \over w^{\star }}\right\|>1.}$ ${\ Displaystyle \ lewo \ | w \ prawo \ | = 1.}$ ${\textstyle -{1 \ponad w^{\star }}=-w.}$ ${\ Displaystyle \ lewo \ | w \ prawo \ | = 1,}$ ${\ Displaystyle P (w) = P (-w).}$

Bibliografia

Cytaty

Źródła

Kirby, Rob (listopad 2007), „Jaka jest powierzchnia chłopca?” (PDF) , Zawiadomienia AMS , 54 (10): 1306–1307 Opisuje to odcinkowo liniowy model powierzchni Boya.
- Casselman, Bill (listopad 2007), „Zapadające się parasole chłopca” (PDF) , Zawiadomienia o AMS , 54 (10): 1356 Artykuł na okładce, który towarzyszy artykułowi Roba Kirby'ego.
Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach (2011), powierzchnia The Boy w Oberwolfach (PDF).
Sanderson, B. Boy's will be Boy's (bez daty, 2006 lub wcześniej).
Weisstein, Eric W. „Powierzchnia chłopca” . MatematykaŚwiat .

Linki zewnętrzne

Powierzchnia chłopca w MathCurve; zawiera różne wizualizacje, różne równania, przydatne linki i odnośniki
Planarne rozwinięcie powierzchni Boya – aplet z Plus Magazine .
Zasoby powierzchniowe Boya , w tym oryginalny artykuł , oraz osadzenie topologa w powierzchni Boya z Oberwolfach .
Powierzchnia LEGO Boya
Papierowy model powierzchni Boya – wzór i instrukcje
Model oparty na Javie, który można dowolnie obracać
Model powierzchni Boya w Constructive Solid Geometry wraz z instrukcją montażu
Film przedstawiający wizualizację powierzchni chłopca z Instytutu Matematycznego Serbskiej Akademii Sztuki i Nauki

Languages

In other projects