Funkcja monotoniczna - Monotonic function

Rysunek 1. Monotonicznie niemalejąca funkcja.
Rysunek 2. Monotonicznie nierosnąca funkcja
Rysunek 3. Funkcja, która nie jest monotoniczna

W matematyce , A funkcją monotonicznie (lub funkcją monotoniczne ) jest funkcją między zbiorów uporządkowanych , które zachowują lub odwraca dane zamówienia . Koncepcja ta pojawiła się po raz pierwszy w rachunku różniczkowym , a później została uogólniona na bardziej abstrakcyjne założenia teorii porządku .

W rachunku i analizie

W rachunku , funkcja zdefiniowano w podgrupie z liczb rzeczywistych z rzeczywistych wartości nazywa monotoniczny , wtedy i tylko wtedy, gdy jest w całości nie wzrasta, albo zupełnie nie zmniejsza się. To znaczy, jak na rys. 1, funkcja, która rośnie monotonicznie, nie musi wyłącznie rosnąć, po prostu nie może maleć.

Funkcję nazywamy monotonicznie rosnącą (również rosnącą lub niemalejącą ), jeśli dla wszystkich i taka, że ma , to zachowuje porządek (patrz rysunek 1). Podobnie funkcja jest nazywana monotonicznie malejącą (również malejącą lub nierosnącą ), jeśli kiedykolwiek , then , więc odwraca kolejność (patrz rysunek 2).

Jeśli porządek w definicji monotoniczności zostanie zastąpiony porządkiem ścisłym , wówczas uzyskuje się silniejszy wymóg. Funkcja o tej właściwości nazywana jest ściśle rosnącą (również rosnącą ). Ponownie, odwracając symbol kolejności, znajdujemy odpowiednią koncepcję nazywaną ściśle malejącą (również malejącą ). Funkcję można nazwać ściśle monotonną, jeśli jest ściśle rosnąca lub ściśle malejąca. Funkcje, które są ściśle monotoniczne, są typu jeden do jednego (ponieważ nierówne albo albo i tak, przez monotoniczność albo albo , więc .)

Jeśli nie jest jasne, że „rosnące” i „malejące” brać pod uwagę możliwość powtórzenia tej samej wartości przy kolejnych argumentach, można użyć określeń słabo monotonnych , słabo rosnących i słabo malejących, aby podkreślić tę możliwość.

Nie należy mylić terminów „niemalejący” i „nierosnący” z (znacznie słabszymi) negatywnymi kwalifikacjami „nie malejący” i „nie rosnący”. Na przykład funkcja z figury 3 najpierw spada, potem rośnie, a potem znowu spada. Nie maleje więc ani nie rośnie, ale nie maleje ani nie rośnie.

Funkcja jest uważane za całkowicie monotoniczny w trakcie okresu gdy pochodne wszystkich rzędów są dodatnią lub wszystkie nonpositive we wszystkich punktach na interwał.

Odwrotność funkcji

Funkcja, która jest monotoniczna, ale nie ściśle monotoniczna, a więc stała na przedziale, nie ma odwrotności. Dzieje się tak, ponieważ aby funkcja miała odwrotność, musi istnieć odwzorowanie jeden-do-jednego z zakresu na dziedzinę funkcji. Ponieważ funkcja monotoniczna ma pewne wartości, które są stałe w swojej dziedzinie, oznacza to, że w zakresie, który odwzorowuje tę stałą wartość, będzie więcej niż jedna wartość.

Jednak funkcja y = g ( x ), która jest ściśle monotoniczna, ma funkcję odwrotną taką, że x = h ( y ), ponieważ gwarantuje się, że zawsze będzie mapowanie jeden do jednego z zakresu na dziedzinę funkcji. Można również powiedzieć, że funkcja jest ściśle monotoniczna w zakresie wartości, a zatem ma odwrotność w tym zakresie wartości. Na przykład, jeśli y = g ( x ) jest ściśle monotoniczne na przedziale [ a , b ], to ma odwrotność x = h ( y ) na przedziale [ g ( a ), g ( b )], ale my nie można powiedzieć, że cały zakres funkcji ma odwrotność.

Zauważ, że niektóre podręczniki błędnie stwierdzają, że odwrotność istnieje dla funkcji monotonicznej, podczas gdy tak naprawdę mają na myśli, że odwrotność istnieje dla funkcji ściśle monotonicznej.

Transformacja monotoniczna

Termin transformacja monotoniczna (lub transformacja monotoniczna ) może również powodować pewne zamieszanie, ponieważ odnosi się do transformacji o ściśle rosnącej funkcji. Tak jest w ekonomii w odniesieniu do porządkowych właściwości funkcji użyteczności, które są zachowywane poprzez transformację monotoniczną (patrz także preferencje monotoniczne ). W tym kontekście to, co nazywamy „transformacją monotoniczną”, nazywamy dokładniej „transformacją monotoniczną dodatnią”, aby odróżnić ją od „transformacji monotonicznej ujemnej”, która odwraca kolejność liczb.

Kilka podstawowych zastosowań i wyników

Następujące właściwości są prawdziwe dla funkcji monotonicznej :

  • ma granice z prawej i lewej strony w każdym punkcie swojej domeny ;
  • ma limit w dodatniej lub ujemnej nieskończoności ( ) liczby rzeczywistej lub .
  • może mieć tylko nieciągłości skoku ;
  • może mieć tylko przeliczalnie wiele nieciągłości w swojej dziedzinie. Jednak nieciągłości niekoniecznie składają się z pojedynczych punktów i mogą być nawet gęste w przedziale ( a , b ).

Własności te są powodem, dla którego funkcje monotoniczne są przydatne w pracach technicznych w analizie . Kilka innych faktów na temat tych funkcji to:

  • jeśli jest funkcją monotoniczną określoną na przedziale , to jest prawie wszędzie różniczkowalna na ; czyli zbiór liczb w taki, że nie jest różniczkowalny w ma Lebesgue mierzy zero . Ponadto tego wyniku nie można poprawić do policzalnego: patrz funkcja Cantora .
  • jeśli ten zbiór jest policzalny, to jest absolutnie ciągły.
  • jeśli jest funkcją monotoniczną zdefiniowaną na przedziale , to jest całkowalna Riemanna .

Ważnym zastosowaniem funkcji monotonicznych jest teoria prawdopodobieństwa . Jeśli jest zmienną losową , jej dystrybuant jest funkcją monotonicznie rosnącą.

Funkcja jest unimodalna, jeśli monotonicznie wzrasta do pewnego punktu ( tryb ), a następnie monotonicznie maleje.

Kiedy jest ściśle monotoniczna funkcja, to jest injective na swojej kategorii, a jeśli jest to zakres od , to istnieje funkcja odwrotna na za . W przeciwieństwie do tego, każda stała funkcja jest monotoniczna, ale nie iniektywna, a zatem nie może mieć odwrotności.

W topologii

Mówi się, że mapa jest monotonna, jeśli każde z jej włókien jest połączone; tj. dla każdego elementu w (ewentualnie pustym) zestawie jest podłączony.

W analizie funkcjonalnej

W analizie funkcjonalnej na topologicznej przestrzeni wektorowej operator (prawdopodobnie nieliniowy) jest nazywany operatorem monotonicznym, jeśli

Twierdzenie Kachurovskii pokazuje, że funkcje wypukłe na przestrzeniach Banacha mają jako pochodne operatory monotoniczne.

Podzbiór z mówi się być zestaw monotoniczne Jeżeli dla każdej pary , a w ,

mówi się, że jest maksymalnie monotoniczny, jeśli jest maksymalny wśród wszystkich zestawów monotonicznych w sensie włączenia zestawu. Wykres operatora monotonicznego jest zbiorem monotonicznym. Mówi się, że operator monotoniczny jest maksymalnie monotoniczny, jeśli jego wykres jest maksymalnym zbiorem monotonicznym .

W porządku teoria

Teoria porządków zajmuje się arbitralnymi zbiorami częściowo uporządkowanymi i wstępnie uporządkowanymi jako uogólnieniem liczb rzeczywistych. Powyższa definicja monotoniczności ma zastosowanie również w tych przypadkach. Unika się jednak terminów „rosnący” i „malejący”, ponieważ ich konwencjonalne przedstawienie graficzne nie ma zastosowania do zamówień, które nie są całkowite . Co więcej, ścisłe relacje < i > są mało przydatne w wielu niecałkowitych porządkach i dlatego nie wprowadza się dla nich dodatkowej terminologii.

Niech ≤ oznacza relację częściowego porządku dowolnego częściowo uporządkowanego zestawu, funkcję monotoniczną , zwaną także izotonem lub z zachowaniem porządku , spełnia nieruchomość

xy implikuje f ( x ) ≤ f ( y ),

dla wszystkich x i y w swojej dziedzinie. Połączenie dwóch odwzorowań monotonicznych jest również monotonne.

Podwójny pojęcie jest często nazywany antitone , anty-monotonia lub zamówień cofania . Stąd funkcja antytonu f spełnia własność

xy implikuje f ( y ) ≤ f ( x ),

dla wszystkich x i y w swojej dziedzinie.

Funkcja stała jest zarówno monotonem, jak i antytonem; odwrotnie, jeśli f jest zarówno monotonem, jak i antytonem, a domeną f jest krata , to f musi być stałe.

Funkcje monotoniczne są kluczowe w teorii porządku. Pojawiają się one w większości artykułów na ten temat, a przykłady ze specjalnych zastosowań można znaleźć w tych miejscach. Niektóre godne uwagi specjalne funkcje monotoniczne to osadzania rzędu (funkcje, dla których xy wtedy i tylko wtedy, gdy f ( x ) ≤ f ( y )) oraz izomorfizmy rzędu ( suriektywne osadzenia porządku).

W kontekście algorytmów wyszukiwania

W kontekście algorytmów wyszukiwania monotoniczność (zwana również spójnością) jest warunkiem stosowanym do funkcji heurystycznych . Heurystyka h(n) jest monotoniczna, jeśli dla każdego węzła n i każdego następnika n' z n wygenerowanego przez dowolne działanie a , szacowany koszt osiągnięcia celu z n nie jest większy niż koszt kroku dotarcia do n' plus szacunkowy koszt osiągnięcia celu z n' ,

Jest to forma nierówności trójkąta , z n , n' i celem G n najbliższym n . Ponieważ dopuszczalna jest również każda monotoniczna heurystyka , monotoniczność jest surowszym wymogiem niż dopuszczalność. Niektóre algorytmy heurystyczne, takie jak A*, mogą zostać uznane za optymalne pod warunkiem, że heurystyka, której używają, jest monotoniczna.

W funkcjach logicznych

W przypadku funkcji niemonotonicznej „jeśli a to oba b i c ”, fałszywe węzły pojawiają się nad prawdziwymi węzłami.
Wykres Hassego funkcji monotonicznej „co najmniej dwa z a , b , c trzymaj”. Kolory wskazują wartości wyjściowe funkcji.

W algebrze Boole'a funkcja monotoniczna jest taka, że ​​dla wszystkich a i oraz b i w {0,1}, jeśli a 1b 1 , a 2b 2 , ..., a nb n (tj. Iloczyn kartezjański {0, 1} n jest uporządkowany współrzędnie ), wtedy f( a 1 , ..., a n ) ≤ f( b 1 , ..., b n ) . Innymi słowy, funkcja Boole'a jest monotoniczna, jeśli dla każdej kombinacji danych wejściowych przełączenie jednego z danych wejściowych z fałszywego na prawdziwe może tylko spowodować, że wyjście zmieni się z fałszywego na prawdziwe, a nie z prawdziwego na fałszywe. Graficznie oznacza to, że n- argumentowa funkcja logiczna jest monotoniczna, gdy jej reprezentacja jako n- kostka oznaczona wartościami prawda nie ma przewagi w górę od wartości true do false . (Ten oznaczony diagram Hassego jest podwójnym diagramem Venna funkcji , który jest bardziej powszechną reprezentacją dla n ≤ 3 .)

Monotoniczne funkcje logiczne to dokładnie te, które można zdefiniować za pomocą wyrażenia łączącego dane wejściowe (które mogą występować więcej niż raz) przy użyciu tylko operatorów i i lub (w szczególności nie jest to zabronione). Na przykład „co najmniej dwa z a , b , c trzymaj” jest monotoniczną funkcją a , b , c , ponieważ można je zapisać na przykład jako ( ( a i b ) lub ( a i c ) lub ( b i c ) )).

Liczba takich funkcji w n zmiennych jest znany jako liczbę DEDEKIND o n .

Zobacz też

Uwagi

Bibliografia

  • Bartle, Robert G. (1976). Elementy analizy rzeczywistej (wyd. drugie).
  • Gratzer, George (1971). Teoria krat: pierwsze pojęcia i kraty rozdzielcze . Numer ISBN 0-7167-0442-0.
  • Pemberton, Malcolm; Rau, Mikołaja (2001). Matematyka dla ekonomistów: podręcznik wprowadzający . Wydawnictwo Uniwersytetu w Manchesterze. Numer ISBN 0-7190-3341-1.
  • Renardy, Michael i Rogers, Robert C. (2004). Wprowadzenie do równań różniczkowych cząstkowych . Teksty w Matematyce Stosowanej 13 (wyd. drugie). Nowy Jork: Springer-Verlag. P. 356. Numer ISBN 0-387-00444-0.
  • Riesz, Frigyes i Béla Szőkefalvi-Nagy (1990). Analiza funkcjonalna . Publikacje kurierskie Dover. Numer ISBN 978-0-486-66289-3.
  • Russell, Stuart J.; Norvig, Piotr (2010). Sztuczna inteligencja: nowoczesne podejście (3rd ed.). Upper Saddle River, New Jersey: Prentice Hall. Numer ISBN 978-0-13-604259-4.
  • Simon, Carl P.; Blume, Lawrence (kwiecień 1994). Matematyka dla ekonomistów (pierwsze wyd.). Numer ISBN 978-0-393-95733-4. (Definicja 9.31)

Zewnętrzne linki