Współrzędne dwubiegunowe - Bipolar coordinates

Dwubiegunowy układ współrzędnych

Współrzędne dwubiegunowe są dwuwymiarowym ortogonalnym układem współrzędnych opartym na okręgach apollińskich . Mylące jest to, że ten sam termin jest czasami używany dla dwucentrowych współrzędnych dwubiegunowych . Istnieje również trzeci system, oparty na dwóch biegunach ( współrzędne dwukątne ).

Termin „dwubiegunowy” jest dalej używany do opisania innych krzywych mających dwa punkty osobliwe (ogniska), takich jak elipsy , hiperbole i owale Cassini . Jednak termin współrzędne dwubiegunowe jest zarezerwowany dla opisanych tutaj współrzędnych i nigdy nie jest używany dla systemów powiązanych z tymi innymi krzywymi, takimi jak współrzędne eliptyczne .

Interpretacja geometryczna współrzędnych dwubiegunowych. Kąt σ tworzą dwa ogniska i punkt P , natomiast τ jest logarytmem stosunku odległości do ognisk. Odpowiednie okręgi o stałych σ i τ są pokazane odpowiednio na czerwono i niebiesko i spotykają się pod kątem prostym (pudełko w kolorze magenta); są ortogonalne.

Definicja

System oparty jest na dwóch ogniskach F ₁ i F ₂ . Odnosząc się do rysunku po prawej, współrzędna σ punktu P równa się kątowi F ₁  P  F ₂ , a współrzędna τ równa się logarytmowi naturalnemu ze stosunku odległości d ₁ i d ₂ :

${\ Displaystyle \ tau = \ ln {\ Frac {d_ {1}} {d_ {2}}}.}$

Jeżeli w układzie kartezjańskim przyjmuje się, że ogniska leżą w punktach (− a , 0) i ( a , 0), współrzędne punktu P są

${\ Displaystyle x = a \ {\ Frac {\ sinh \ tau} {\ cosh \ tau - \ cos \ sigma}}, \ qquad y = a \ {\ Frac {\ sin \ sigma} {\ cosh \ tau - \cos \sigma}}.}$

Współrzędna τ waha się od (dla punktów bliskich F ₁ ) do (dla punktów bliskich F ₂ ). Współrzędna σ jest zdefiniowana tylko modulo 2π , a najlepiej przyjąć ją w zakresie od -π do π , przyjmując ją jako ujemną kąta ostrego F ₁ P F _{2 ,} jeśli P znajduje się w dolnej połowie płaszczyzny. ${\displaystyle -\infty}$${\displaystyle \infty}$  

Dowód, że układ współrzędnych jest ortogonalny

Równania dla x i y można łączyć, aby dać

${\ Displaystyle x + iy = ai \ łóżeczko \ lewo ({\ Frac {\ sigma + i \ tau} {2}} \ prawej).}$

(Można to udowodnić, najpierw różnicując x i y względem sigma i tau, a następnie odwracając logikę poniższej sekcji w celu znalezienia współczynników skali.). To równanie pokazuje, że σ i τ są rzeczywistymi i urojonymi częściami funkcji analitycznej x+iy (z punktami rozgałęzienia logarytmicznego w ogniskach), co z kolei dowodzi (odwołując się do ogólnej teorii odwzorowań konforemnych ) ( cauchy- równania Riemanna ), że te szczególne krzywe σ i τ przecinają się pod kątem prostym, tzn. że układ współrzędnych jest ortogonalny. Można to udowodnić, najpierw różnicując x i y względem sigma i tau, a następnie odwracając logikę poniższej sekcji w celu znalezienia współczynników skali.

Krzywe stałych σ i τ

Krzywe stałej σ odpowiadają niekoncentrycznym okręgom

${\ Displaystyle x ^ {2} + \ lewo (ya \ łóżeczko \ sigma \ prawej) ^ {2} = {\ Frac {a ^ {2}} {\ grzech ^ {2} \ sigma}}}$

które przecinają się w dwóch ogniskach. Środki okręgów stałych σ leżą na osi y . Koła dodatniego σ są wyśrodkowane nad osią x , podczas gdy ujemne σ leżą poniżej osi. Jako wielkość | σ | -π /2 maleje, promień okręgów maleje, a środek zbliża się do początku (0, 0), który osiągamy, gdy | σ | = π /2. (Z elementarnej geometrii wszystkie trójkąty na kole z 2 wierzchołkami na przeciwległych końcach średnicy są trójkątami prostokątnymi.)

Krzywe stałej to nieprzecinające się okręgi o różnych promieniach ${\ Displaystyle \ tau}$

${\ Displaystyle Y ^ {2} + \ lewo (xa \ coth \ tau \ prawej) ^ {2} = {\ Frac {a ^ {2}} {\ sinh ^ {2} \ tau }}}$

które otaczają ogniska, ale znowu nie są koncentryczne. Środki okręgów stałych- τ leżą na osi x . Okręgi dodatniego τ leżą po prawej stronie płaszczyzny ( x  > 0), natomiast okręgi ujemnego τ leżą po lewej stronie płaszczyzny ( x  < 0). W τ  odpowiada = 0 krzywej do Y -osiowy ( x  = 0). Wraz ze wzrostem wielkości τ , promień okręgów maleje, a ich środki zbliżają się do ognisk.

Wzajemne relacje

Przejście od współrzędnych kartezjańskich do współrzędnych dwubiegunowych można wykonać za pomocą następujących wzorów:

${\ Displaystyle \ tau = {\ Frac {1} {2}} \ ln {\ Frac {(x + a) ^ {2} + Y ^ {2}} {(xa) ^ {2} + Y ^ { 2}}}}$

oraz

${\ Displaystyle \ pi - \ sigma = 2 \ arctan {\ Frac {2ay} {a ^ {2}-x ^ {2}-y ^ {2} + {\ sqrt {(a ^ {2}-x ^) {2}-y^{2})^{2}+4a^{2}y^{2}}}}}.}$

Współrzędne mają również tożsamości:

${\ Displaystyle \ tanh \ tau = {\ Frac {2ax} {x ^ {2} + Y ^ {2} + A ^ {2}}}}$

oraz

${\ Displaystyle \ tan \ sigma = {\ Frac {2ay} {x ^ {2} + Y ^ {2}-a ^ {2}}}.}$

co jest granicą, którą można by otrzymać ax = 0 z definicji w powyższej sekcji. A wszystkie granice wyglądają całkiem zwyczajnie przy x =0.

Współczynniki skali

Aby otrzymać współczynniki skali dla współrzędnych dwubiegunowych, bierzemy różniczkę z równania dla , które daje ${\displaystyle x+iy}$

${\ Displaystyle dx + i \, dy = {\ Frac {-ia} {\ sin ^ {2} {\ bigl (} {\ tfrac {1} {2}} (\ sigma + i \ tau) {\ duży )}}}(d\sigma +i\,d\tau ).}$

Mnożenie tego równania przez jego zespolone sprzężenie daje

${\ Displaystyle (dx) ^ {2} + (dy) ^ {2} = {\ Frac {a ^ {2}} {{\ bigl [} 2 \ grzech {\ tfrac {1} {2}} {\ bigl (}\sigma +i\tau {\bigr )}\sin {\tfrac {1}{2}}{\bigl (}\sigma -i\tau {\bigr )}{\bigr ]}^{2 }}}{\bigl (}(d\sigma )^{2}+(d\tau )^{2}{\bigr )}.}$

Wykorzystując tożsamości trygonometryczne dla iloczynów sinusów i cosinusów uzyskujemy

${\displaystyle 2\sin {\tfrac {1}{2}}{\bigl (}\sigma +i\tau {\bigr)}\sin {\tfrac {1}{2}}{\bigl (}\ sigma -i\tau {\bigr )}=\cos \sigma -\cosh \tau ,}$

z czego wynika, że

${\ Displaystyle (dx) ^ {2} + (dy) ^ {2} = {\ Frac {a ^ {2}} {(\ cosh \ tau - \ cos \ sigma) ^ {2}}} {\ bigl (}(d\sigma )^{2}+(d\tau )^{2}{\bigr )}.}$

Stąd współczynniki skali dla σ i τ są równe i dane przez

${\ Displaystyle h_ {\ sigma} = h_ {\ tau} = {\ Frac {a} {\ cosh \ tau - \ cos \ sigma}}.}$

Wiele wyników wynika teraz w krótkim odstępie czasu z ogólnych wzorów na współrzędne ortogonalne . Zatem nieskończenie mały element powierzchni równa się

${\ Displaystyle dA = {\ Frac {a ^ {2}} {\ lewo (\ cosh \ tau - \ cos \ sigma \ po prawej) ^ {2}}} \ d \ sigma \ d \ tau,}$

a Laplace'a jest podane przez

${\ Displaystyle \ nabla ^ {2} \ Phi = {\ Frac {1} {a ^ {2}}} \ po lewej (\ cosh \ tau - \ cos \ sigma \ po prawej) ^ {2} \ po lewej ({\ frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \sigma ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \tau ^{2}}}\right) .}$

Wyrażenia dla , , i mogą być wyrażone przez podstawienie współczynników skali do ogólnych wzorów znajdujących się we współrzędnych ortogonalnych . ${\ Displaystyle \ nabla f}$${\ Displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {F}}$${\ Displaystyle \ nabla \ razy \ mathbf {F}}$

Aplikacje

Klasyczne zastosowania współrzędnych dwubiegunowych to rozwiązywanie równań różniczkowych cząstkowych , np . równanie Laplace'a lub równanie Helmholtza , dla których współrzędne dwubiegunowe pozwalają na rozdzielenie zmiennych . Przykładem jest pole elektryczne otaczające dwa równoległe cylindryczne przewodniki o nierównych średnicach.

Plotery biegunowe wykorzystują współrzędne dwubiegunowe do opisania ścieżek rysowania wymaganych do narysowania docelowego obrazu.

Rozszerzenie do 3 wymiarów

Współrzędne dwubiegunowe stanowią podstawę dla kilku zestawów trójwymiarowych współrzędnych ortogonalnych .

• Do dwubiegunowych współrzędnych walcowych są wytwarzane przez translację dwubiegunowego współrzędnych wzdłuż z -osiowy, czyli oś poza płaszczyzną.

• W bispherical współrzędne są wytwarzane przez obracający dwubiegunowego współrzędnych O x -osiowy, czyli na osi łączącej ogniska.

• Te pierścieniowe współrzędne są wytwarzane przez obracający dwubiegunowego współrzędnych o r -osiowy, czyli oś oddzielania ogniska.

Bibliografia

• "Współrzędne dwubiegunowe" , Encyklopedia Matematyki , EMS Press , 2001 [1994]
• Korn GA i Korn TM . (1961) Podręcznik matematyczny dla naukowców i inżynierów , McGraw-Hill.