System biortogonalny - Biorthogonal system

W matematyce , wykorzystując układ biortogonalny jest para indeksowanych rodzin wektorów

${\ displaystyle {\ tilde {v}} _ {i}}$w e i w F${\ displaystyle {\ tilde {u}} _ {i}}$

takie że

${\ displaystyle \ left \ langle {\ tilde {v}} _ {i}, {\ tilde {u}} _ {j} \ right \ rangle = \ delta _ {i, j},}$

gdzie E i F tworzą parę topologicznych przestrzeni wektorowych, które są w dualności , ⟨·, ·⟩ jest odwzorowaniem dwuliniowym i jest deltą Kroneckera . ${\ displaystyle \ delta _ {i, j}}$

Przykładem jest para zestawów odpowiednio lewego i prawego wektorów własnych macierzy, indeksowanych przez wartość własną , jeśli wartości własne są różne.

Układ biortogonalny, w którym E = F i jest układem ortonormalnym . ${\ displaystyle {\ tilde {v}} _ {i} = {\ tilde {u}} _ {i}}$

Występ

Z systemem biortogonalnym wiąże się odwzorowanie

${\ Displaystyle P: = \ suma _ {i \ in I} {\ tilde {u}} _ {i} \ otimes {\ tilde {v}} _ {i}}$,

gdzie ; jego obraz jest liniowy okres od , a jądro ma . ${\ Displaystyle \ lewo (u \ otimes v \ prawej) (x): = u \ langle v, x \ rangle}$${\ Displaystyle \ lewo \ {{\ tilde {u}} _ {i}: ja \ in ja \ prawo \}}$${\ Displaystyle \ lewo \ {\ lewo \ langle {\ tylda {v}} _ {i}, \ cdot \ prawo \ rangle = 0: ja \ in ja \ prawo \}}$

Budowa

Biorąc pod uwagę prawdopodobnie nieortogonalny zbiór wektorów i związany z rzutowaniem jest ${\ displaystyle \ mathbf {u} = (u_ {i})}$${\ Displaystyle \ mathbf {v} = \ lewo (v_ {i} \ prawo)}$

${\ Displaystyle P = \ suma _ {i, j} u_ {i} \ lewo (\ langle \ mathbf {v}, \ mathbf {u} \ rangle ^ {- 1} \ prawo) _ {j, i} \ otimes v_ {j}}$,

gdzie jest macierz z wpisami . ${\ displaystyle \ langle \ mathbf {v}, \ mathbf {u} \ rangle}$${\ Displaystyle \ lewo (\ langle \ mathbf {v}, \ mathbf {u} \ rangle \ prawej) _ {ja, j} = \ lewo \ langle v_ {i}, u_ {j} \ prawo \ rangle}$

• ${\ displaystyle {\ tilde {u}} _ {i}: = (IP) u_ {i}}$, a następnie jest systemem biortogonalnym.${\ Displaystyle {\ tilde {v}} _ {i}: = \ lewo (IP \ prawo) ^ {*} v_ {i}}$

Zobacz też

• Podwójna podstawa
• Podwójna przestrzeń
• Podwójna para
• Ortogonalność
• Ortogonalizacja

Bibliografia

• Jean Dieudonné, O systemach biortogonalnych Michigan Math. J. 2 (1953), nr. 1, 7–20 [1]