Artin-Hasse wykładniczy - Artin–Hasse exponential

W matematyce The Artin-Hasse wykładniczy , wprowadzony Artin i Hasse  ( 1928 ), jest szereg potęgowy podaje

${\ Displaystyle E_ {s} (x) = \ exp \ lewo (x + {\ Frac {X ^ {s}} {t}} + {\ Frac {X ^ {P ^ {2}}} {P ^ { 2}}} + {\ x ^ uł {{P ​​^ {3}}} {P ^ {3}}} + \ cdots \ prawej).}$

Motywacja

Jeden motywacja do uznania tej serii będzie analogiczna do funkcji wykładniczej pochodzi z produktów nieskończonych. W pierścieniu usunięcia serii mocy P [[ x ]] mamy tożsamości

${\ Displaystyle e ^ {x} = \ prod _ {n \ geq 1} (1-x ^ {n}) ^ {- \ il (n) / n}}$

gdzie μ (n) jest funkcją Möbiusa . Ta identyfikacja może być zweryfikowane, pokazując logarytmicznej pochodną dwóch boków są równe, a oba boki mają taką samą stałą określenia. W podobny sposób można sprawdzić ekspansji produktów do wykładniczego Artin-Hasse:

${\ Displaystyle E_ {s} (x) = \ _ prod {(p, n) = 1} (1-x ^ {n}) ^ {. - \ il (n) / n}}$

Tak więc przejściu z produktu na wszystkich n do środka ponad tylko n prim do P , która jest typowa operacja p analizy -adic prowadzi z e ^x do e _p ( x ).

Współczynniki e _p ( x ), jest racjonalne. Możemy użyć formuły e _p ( x ), aby wykazać, że w przeciwieństwie do e ^X , wszystkie jej współczynniki s -integral; innymi słowy, w mianowniku współczynników e _p ( x ) nie jest podzielna przez p . Pierwszym dowodem wykorzystuje definicję E _P ( x ) i Dwork lematu , który mówi, że cykl zasilania f ( x ) = 1 + ... o współczynnikach racjonalne jest P -integral Współczynniki tylko wtedy, gdy f ( x ^p ) / f ( x ) ^p ≡ 1 mod p Z _P [[ x ]]. Gdy f ( x ) = e _p ( x ), mamy f ( x ^p ) / F ( x ) ^P = E ^{- px} , którego stała termin oznacza 1, a wszystkie wyższe współczynniki są P Z _P . Drugi dowód pochodzi z produktu o nieskończonej e _p ( x ): w każdym wykładnik -μ ( n ) / n do n nie jest podzielna przez p jest P -integral, a gdy liczba wymierna jest P -integral wszystkich współczynników w dwumianowego rozszerzenie (1 - x ⁿ ) ^A jest P -integral przez p -adic ciągłości dwumianowego współczynnik wielomianów T ( T -1) ... ( t - k + 1) / K ! w T razem z ich oczywistych integralności gdy T jest dodatnią liczbą całkowitą ( jest P -adic limit nieujemne liczby całkowite). Tak więc każdy czynnik iloczynu e _p ( x ) ma p współczynników -integral tak e _p ( x ) ma w sobie p współczynników -integral.

interpretacja kombinatoryczne

Artin-Hasse wykładnicza jest funkcją tworzącą do prawdopodobieństwa równomiernie wybranych losowo elementów S _n (The grupy symetryczny z n elementów) jest p kolejności parowe (których liczba jest oznaczony jako t _{p, n} )

${\ Displaystyle E_ {s} (x) = \ _ {suma n \ geq 0} {\ t_ Frac {s {n}} {N!}} X ^ {n}.}$

Daje to trzecie dowód, że współczynniki e _p ( x ) są P -integral z wykorzystaniem twierdzenia Frobenius że w skończonej grupy celu podzielna przez d liczba elementów celu podzielenie D jest podzielna przez d . Zastosowanie tego twierdzenia do n -tego grupy symetrycznie d równa najwyższej mocy P dzielącej n !.

Mówiąc ogólniej, dla każdego topologicznie skończenie wytworzonej grupy proskończonych G jest tożsamość

${\ Displaystyle \ exp (\ suma _ {H \ podzbiór G} x ^ {[G H]} / [G H]) = \ suma _ {n \ geq 0} {\ Frac {a_ {G n }} {n!}} x ^ {n}}$

gdzie H przebiega przez otwarte podgrup G ze wskaźnikiem skończonych (są skończenie wielu każdego indeksu od G jest topologicznie skończenie generowane) i do _{G, n} oznacza liczbę ciągłych homomorfizmów z G na S. _n . Dwa specjalne przypadki to warto zauważyć. (1) Jeśli G jest p -adic całkowitymi, ma dokładnie jeden otwarty podgrupę każdego P wskaźnika poboru energii i ciągłą homomorfizm z G na S. _n jest w zasadzie tak samo, jak wybór element p poboru energii kolejność S _N , więc mamy odzyskać powyżej kombinatorycznej interpretacji współczynników Taylor w Artin-Hasse wykładniczej szeregowo. (2) Jeśli G jest skończoną grupa czym suma w wykładniczej skończoną suma działa na wszystkich podgrup G i ciągłe homomorfizmy z G na S. _n prosto Homomorfizmy z G na S. _n . Rezultatem jest w tym przypadku ze względu na Wohlfahrt (1977). Szczególny przypadek, gdy G jest skończoną grupa cykliczna jest spowodowane Chowla, Hersteina i Scott (1952) i ma postać

${\ Displaystyle \ exp (\ suma _ {d | m} x ^ {d} / d) = \ suma _ {n \ geq 0} {\ Frac {a_ {m, n}} {n}} x ^! {n}}$

gdzie _{m, n} oznacza liczbę rozwiązań g ^m = 1 S _N .

David Roberts warunkiem naturalną kombinatorycznej związek między Artin-Hasse wykładniczy i regularnego wykładniczą w duchu ergodycznej perspektywy (łączący p -adic i regularne norm ciągu wymiernych), pokazując, że wykładniczy Artin-Hasse jest również funkcja generowania do prawdopodobieństwa, że element grupy symetrycznym jest unipotentne w charakterystyczny p , a regularne wykładnicza jest prawdopodobieństwo, że element z tej samej grupy są unipotentne w typowym zera.

przypuszczenia

W 2002 PROMYS programu, Keith Conrad przypuszczali, że współczynniki są równomiernie rozłożone w p-adic liczb w odniesieniu do znormalizowanego środka Haar z dołączoną obliczeniowej dowodów. Problemem jest nadal otwarta. ${\ Displaystyle E_ {s} (x)}$

Dinesh Thakur także pozował problem czy Artin-Hasse wykładniczy zmniejszona mod p jest transcendentalny nad . ${\ Displaystyle \ mathbb {f} _ {s} (x)}$

Zobacz też

• Witt wektor
• formalna grupa

Referencje

• Artin E .; Hasse, H. (1928), "Die Beiden Ergänzungssätze zum Reziprozitätsgesetz der ln dziesięciu Potenzreste im Körper der ln dziesięć Einheitswurzeln", Abhandlungen Hamburg , 6 : 146-162, JFM  54.0191.05
• Kurs w analizie p-adic , Alain Robert M.
• Fesenko Ivan B .; Vostokov Sergei V. (2002), Pola lokalne i ich rozszerzenia Tłumaczenia matematycznego monografii, 121 (druga red.), Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN  978-0-8218-3259-2 , MR  1915966