Reprezentacja algebry - Algebra representation

W algebry abstrakcyjnej , A reprezentacja asocjacyjnej algebry jest moduł dla tej algebry. Tutaj algebra asocjacyjna jest pierścieniem (niekoniecznie jednostkowym ) . Jeśli algebra nie jest jedynką, można to zrobić w standardowy sposób (patrz strona o funktorach sprzężonych ); nie ma zasadniczej różnicy między modułami wynikowego pierścienia jednostkowego, w którym tożsamość działa poprzez odwzorowanie tożsamości, a reprezentacjami algebry.

Przykłady

Złożona struktura liniowa

Jednym z najprostszych nietrywialnych przykładów jest liniowa struktura zespolona , która jest reprezentacją liczb zespolonych C , traktowaną jako algebra asocjacyjna nad liczbami rzeczywistymi R . Ta algebra jest realizowana konkretnie, co odpowiada i ² = −1 . Wtedy reprezentacją C jest rzeczywista przestrzeń wektorowa V wraz z działaniem C na V (mapa ). Konkretnie, jest to tylko działanie I  , ponieważ wytwarza algebraiczne i operator reprezentujący I (na obraz z I w końcu ( V )) oznacza się J , aby uniknąć pomylenia z macierzy jednostkowej I . ${\ Displaystyle \ mathbb {C} = \ mathbb {R} [x] / (x ^ {2} + 1)}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {C} \ do \ operatorname {koniec} (V)}$

Algebry wielomianowe

Inną ważną podstawową klasą przykładów są reprezentacje algebr wielomianowych , algebr przemiennych swobodnych – stanowią one główny przedmiot badań w algebrze przemiennej i jej geometrycznym odpowiedniku, geometrii algebraicznej . Reprezentacja algebry wielomianowej w k zmiennych nad ciałem K jest konkretnie K -wektorową przestrzenią z k operatorami komutacji i jest często oznaczana jako reprezentacja algebry abstrakcyjnej, gdzie${\ Displaystyle K [T_ {1}, \ kropki, T_ {k}],}$${\ Displaystyle K [x_ {1}, \ kropki, x_ {k}]}$${\ Displaystyle X_ {i} \ mapsto T_ {i}.}$

Podstawowym wnioskiem dotyczącym takich reprezentacji jest to, że nad ciałem algebraicznie domkniętym , macierze reprezentujące są jednocześnie triangularyzowalne .

Interesujący jest nawet przypadek reprezentacji algebry wielomianowej w pojedynczej zmiennej – jest to oznaczane i wykorzystywane do zrozumienia struktury pojedynczego operatora liniowego na skończenie wymiarowej przestrzeni wektorowej. W szczególności, przy zastosowaniu twierdzenia o skończonej strukturze wytworzonych modułów na głównej idealnego dziedzinie do tego Algebra wydajnością jako twierdzeń pochodnych różne formy kanonicznej macierzy, takich jak Jordan postaci kanonicznej . ${\ Displaystyle K[T]}$

W niektórych podejściach do nieprzemiennej geometrii , wolna nieprzemienna algebra (wielomiany w nieprzemiennych zmiennych) odgrywa podobną rolę, ale analiza jest znacznie trudniejsza.

Wagi

Wartości własne i wektory własne można uogólnić na reprezentacje algebry.

Uogólnienie wartości własnej reprezentacji algebry jest raczej niż pojedynczym skalarem, reprezentacją jednowymiarową (tj. homomorfizmem algebry od algebry do jej podstawowego pierścienia: funkcjonał liniowy, który jest również multiplikatywny). Jest to znane jako waga , a odpowiedniki wektora własnego i przestrzeni własnej nazywane są wektorem wagi i przestrzenią wagi . ${\ Displaystyle \ lambda \ dwukropek A \ do R}$

Przypadek wartości własnej pojedynczych odpowiada operatorowi algebry i mapy algebr jest określana przez który skalarny mapuje generatora T do. Wektor wag dla reprezentacji algebry to taki wektor, że dowolny element algebry odwzorowuje ten wektor na wielokrotność samego siebie – jednowymiarowy submoduł (subreprezentacja). Ponieważ parowanie jest dwuliniowe , "której wielokrotność" jest A -liniowym funkcjonałem A (odwzorowanie algebry A → R ), a mianowicie wagą. W symbolach wektor wag jest wektorem takim, że dla wszystkich elementów dla jakiegoś funkcjonału liniowego – zauważ, że po lewej mnożenie jest działaniem algebry, podczas gdy po prawej mnożenie jest mnożeniem przez skalar. ${\displaystyle R[T]}$${\ Displaystyle R [T] \ do R}$${\ Displaystyle A \ razy M \ do M}$${\ Displaystyle m \ w M}$${\ Displaystyle am = \ lambda (a) m}$${\displaystyle a\w A}$${\ Displaystyle \ lambda}$

Ponieważ waga jest odwzorowaniem na pierścień przemienny , mapa rozkłada się na abelianizację algebry – równoważnie znika w algebrze pochodnej – pod względem macierzy, jeśli jest wspólnym wektorem własnym operatorów i , to (ponieważ w obu przypadkach jest to po prostu mnożenie przez skalary), więc wspólne wektory własne algebry muszą znajdować się w zbiorze, na którym algebra działa przemiennie (który jest anihilowany przez algebra pochodną). W związku z tym w centrum zainteresowania znajdują się algebry przemienne swobodne, a mianowicie algebry wielomianowe . W tym szczególnie prostym i ważnym przypadku algebry wielomianowej w zbiorze macierzy przemiennych wektor wag tej algebry jest jednocześnie wektorem własnym macierzy, podczas gdy waga tej algebry jest po prostu krotką skalarów odpowiadającą wartości własnej każda macierz, a więc geometrycznie do punktu w -przestrzeni. Wagi te – w szczególności ich geometria – mają kluczowe znaczenie w zrozumieniu teorii reprezentacji algebr Liego , w szczególności skończenie wymiarowych reprezentacji półprostych algebr Liego . ${\ Displaystyle {\ Mathcal {A}}}$${\displaystyle v}$${\ Displaystyle T}$${\ Displaystyle U}$${\displaystyle TUv=UTv}$${\ Displaystyle \ mathbf {F} [T_ {1}, \ kropki, T_ {k}]}$${\displaystyle k}$${\ Displaystyle \ lambda = (\ lambda _ {1}, \ kropki, \ lambda _ {k})}$${\displaystyle k}$

Jako zastosowanie tej geometrii, mając algebrę będącą ilorazem algebry wielomianowej na generatorach, odpowiada ona geometrycznie rozmaitości algebraicznej w przestrzeni -wymiarowej, a waga musi przypadać na rozmaitość, tzn. spełnia ona równania definiujące dla odmiana. Uogólnia to fakt, że wartości własne spełniają charakterystyczny wielomian macierzy w jednej zmiennej. ${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$

Zobacz też

• Teoria reprezentacji
• splatacz
• Teoria reprezentacji algebr Hopfa
• Reprezentacja algebry kłamstwa
• Lemat Schura
• Twierdzenie o gęstości Jacobsona
• Twierdzenie o podwójnej przemienności

Uwagi

Bibliografia