Twierdzenie o faktoryzacji Weierstrassa

W matematyce , a zwłaszcza w dziedzinie analizy zespolonej , twierdzenie o faktoryzacji Weierstrassa zakłada, że każda cała funkcja może być reprezentowana jako (być może nieskończony) iloczyn zawierający jej zera . Twierdzenie to może być postrzegane jako rozszerzenie podstawowego twierdzenia algebry , które zakłada, że każdy wielomian może być rozłożony na czynniki liniowe, po jednym dla każdego pierwiastka.

Twierdzenie, którego nazwa pochodzi od Karla Weierstrassa , jest ściśle związane z drugim wynikiem, że każdy ciąg dążący do nieskończoności ma powiązaną całą funkcję z zerami dokładnie w punktach tego ciągu.

Uogólnienie twierdzenia rozszerza je na funkcje meromorficzne i pozwala rozważyć daną funkcję meromorficzną jako iloczyn trzech czynników: wyrazów zależnych od zer i biegunów funkcji oraz powiązanej niezerowej funkcji holomorficznej .

Motywacja

Konsekwencje fundamentalnego twierdzenia algebry są dwojakie. Po pierwsze, każdy skończony ciąg na płaszczyźnie zespolonej ma skojarzony wielomian, który ma zera dokładnie w punktach tego ciągu , ${\ Displaystyle \ {c_ {n} \}}$ $p(z)$ ${\ Displaystyle p (z) = \ \ prod _ {n} (z-c_ {n}).}$

Po drugie, każda funkcja wielomianowa na płaszczyźnie zespolonej ma rozkład na czynniki, gdzie $a$ jest niezerową stałą, a $c$ $n$ są zerami $p$ . $p(z)$ ${\ Displaystyle \ p (z) = a \ prod _ {n} (z-c_ {n})}$

Dwie formy twierdzenia o faktoryzacji Weierstrassa można traktować jako rozszerzenie powyższych na całe funkcje. Konieczność dodatkowych maszyn dowodzi się, gdy rozważa się produkt, jeśli sekwencja nie jest skończona . Nigdy nie może zdefiniować całej funkcji, ponieważ iloczyn nieskończony nie jest zbieżny. Tak więc nie można na ogół zdefiniować całej funkcji z ciągu wyznaczonych zer ani przedstawić całej funkcji przez jej zera za pomocą wyrażeń, które daje fundamentalne twierdzenie algebry. ${\ Displaystyle \ \ prod _ {n} (z-c_ {n})}$ ${\ Displaystyle \ {c_ {n} \}}$

Warunkiem koniecznym zbieżności rozpatrywanego iloczynu nieskończonego jest to, że dla każdego z współczynniki muszą zbliżyć się do 1 jako . Jest więc zrozumiałe, że należy szukać funkcji, która mogłaby mieć wartość 0 w określonym punkcie, ale pozostawać w pobliżu 1, gdy nie jest w tym punkcie, a ponadto wprowadzać nie więcej zer niż te, które zostały określone. Czynniki elementarne Weierstrassa mają te właściwości i służą temu samemu celowi, co czynniki opisane powyżej. ${\ Displaystyle (z-c_ {n})}$ $n\do \infty$ ${\ Displaystyle (z-c_ {n})}$

Czynniki elementarne

Rozważ funkcje formularza dla . W , oceniają i mają płaskie nachylenie w kolejności do . Zaraz po tym gwałtownie spadają do niewielkiej wartości dodatniej. Rozważmy natomiast funkcję, która nie ma płaskiego nachylenia, ale w , daje dokładnie zero. Zauważ też, że dla $|$ $z$ $|$ $< 1$ , ${\ Displaystyle \ exp (- {\ tfrac {z ^ {n + 1}} {n + 1}})}$ ${\ Displaystyle n \ w \ mathbb {N}}$ ${\ Displaystyle z = 0}$ ${\ Displaystyle 1}$ ${\ Displaystyle n}$ $z=1$ ${\ Displaystyle 1-z}$ $z=1$

{\ Displaystyle (1-z) = \ exp (\ ln (1-z)) = \ exp \ lewo (- {\ tfrac {z ^ {1}} {1}} - {\ tfrac {z ^ {2} }}{2}}-{\tfrac {z^{3}}{3}}+\cdots \right)}

.

Wykres dla n = 0,...,4 i x w przedziale [-1,1] .

{\ Displaystyle E_ {n} (x)}

Te podstawowe czynniki , określane także jako głównych czynników , są to funkcje, które łączą właściwości zerowym nachyleniu i zerowej wartości (patrz rysunek):

{\ Displaystyle E_ {n} (z) = {\ zacząć {przypadki} (1-z) i {\ tekst {jeśli}} n = 0, \ \ (1-z) \ exp \ lewo ({\ Frac { z^{1}}{1}}+{\frac {z^{2}}{2}}+\cdots +{\frac {z^{n}}{n}}\right)&{\text {w przeciwnym razie}}.\end{przypadki}}}

Dla $| z | < 1$ i , można to wyrazić jako i można odczytać, jak te właściwości są egzekwowane. $n>0$ ${\ Displaystyle E_ {n} (z) = \ exp (- {\ tfrac {z ^ {n + 1}} {n + 1}} \ Sigma _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ tfrac { z^{k}}{1+k/(n+1)}})}$

Użyteczność czynników elementarnych $E n (z)$ tkwi w następującym lemie:

Lemat (15,8, Rudin) dla $| z | \leq 1$ , ${\ Displaystyle n \ w \ mathbb {N}}$

{\ Displaystyle \ vert 1-E_ {n} (z) \ vert \ leq \ vert z \ vert ^ {n + 1}.}

Dwie formy twierdzenia

Istnienie całej funkcji z określonymi zerami

Niech będzie ciągiem niezerowych liczb zespolonych takim, że . Jeśli jest dowolnym ciągiem liczb całkowitych takim, że dla wszystkich , ${\ Displaystyle \ {a_ {n} \}}$ $|a_{n}|\do \infty$ ${\ Displaystyle \ {p_ {n} \}}$ $r>0$

{\ Displaystyle \ suma _ {n = 1} ^ {\ infty} \ lewo (r / | a_ {n} | \ prawo) ^ {1 + p_ {n}} < \ infty}

następnie funkcja

{\ Displaystyle f (z) = \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} E_ {p_ {n}} (z / a_ {n})}

jest cały z zerami tylko w punktach . Jeśli liczba występuje w ciągu dokładnie $m$ razy, to funkcja $f$ ma zero w wielokrotności $m$ . $a_{n}$ $z_{0}$ ${\ Displaystyle \ {a_ {n} \}}$ $z=z_{0}$

Ciąg w zdaniu twierdzenia zawsze istnieje. Na przykład zawsze możemy wziąć i mieć zbieżność. Taki ciąg nie jest unikalny: zmiana go na skończonej liczbie pozycji lub przyjęcie innego ciągu $p$ $'$ $n$ $\geq$ $p$ $n$ , nie przerwie zbieżności. ${\ Displaystyle \ {p_ {n} \}}$ $p_{n}=n$
Twierdzenie to uogólnia się następująco: sekwencje w otwartych podzbiorach (a więc regionach ) sfery Riemanna mają powiązane funkcje, które są holomorficzne w tych podzbiorach i mają zera w punktach sekwencji.
Włącza się tu również przypadek podany przez podstawowe twierdzenie algebry. Jeśli ciąg jest skończony, to możemy wziąć i otrzymać: . ${\ Displaystyle \ {a_ {n} \}}$ ${\ Displaystyle p_ {n} = 0}$ ${\ Displaystyle \ f (z) = c \ {\ Displaystyle \ prod} _ {n} (z-a_ {n})}$

Niech $ƒ$ będzie całą funkcją i niech będzie niezerowymi zerami $ƒ$ powtórzonymi zgodnie z wielokrotnością; załóżmy również, że $ƒ$ ma zero przy $z$ $= 0$ rzędu $m$ $\geq 0$ (zero rzędu $m$ $= 0$ przy $z$ $= 0$ oznacza $ƒ$ $(0) \neq 0$ ). Wtedy istnieje cała funkcja $g$ i ciąg liczb całkowitych taki, że ${\ Displaystyle \ {a_ {n} \}}$ ${\ Displaystyle \ {p_ {n} \}}$