Model decyzyjny w dwóch momentach - Two-moment decision model

W teorii decyzji , ekonomii i finansach model decyzyjny w dwóch momentach to model, który opisuje lub nakazuje proces podejmowania decyzji w kontekście, w którym decydent ma do czynienia ze zmiennymi losowymi, których realizacji nie można z góry poznać, oraz w którym dokonuje się wyborów na podstawie znajomości dwóch momentów tych zmiennych losowych. Te dwa momenty są prawie zawsze średnią - to znaczy wartością oczekiwaną , która jest pierwszym momentem około zera - i wariancją , która jest drugą chwilą dotyczącą średniej (lub odchyleniem standardowym , które jest pierwiastkiem kwadratowym z wariancji ).

Najbardziej znanym modelem podejmowania decyzji w dwóch momentach jest model współczesnej teorii portfela , z którego wynika część decyzyjna modelu wyceny aktywów kapitałowych ; wykorzystują one analizę średniej-wariancji i koncentrują się na średniej i wariancji końcowej wartości portfela.

Modele dwustopniowe i oczekiwana maksymalizacja użyteczności

Załóżmy, że wszystkie istotne zmienne losowe należą do tej samej rodziny w skali lokalizacji , co oznacza, że ​​rozkład każdej zmiennej losowej jest taki sam, jak rozkład pewnej transformacji liniowej dowolnej innej zmiennej losowej. Następnie dla dowolnej funkcji użyteczności von Neumanna-Morgensterna użycie ram decyzyjnych średniej-wariancji jest zgodne z oczekiwaną maksymalizacją użyteczności , jak pokazano w przykładzie 1:

Przykład 1: Niech będzie jeden ryzykowny składnik aktywów z losowym zwrotem i jeden wolny od ryzyka składnik aktywów ze znanym zwrotem i niech będzie początkowy majątek inwestora . Jeżeli kwota zmienna wybór, ma być zainwestowane w aktywa ryzykowne, a kwota ma być zainwestowane w bezpieczne aktywa, a potem, zależy , losowo końcowy bogactwo inwestora będzie . Wtedy dla dowolnego wyboru , jest rozprowadzany jako transformacja lokalizacja skalę  . Jeśli zdefiniujemy zmienną losową jako równą w rozkładzie, to jest równa w rozkładzie do , gdzie μ reprezentuje wartość oczekiwaną, a σ reprezentuje odchylenie standardowe zmiennej losowej (pierwiastek kwadratowy z jej drugiego momentu). W ten sposób możemy zapisać oczekiwaną użyteczność w kategoriach dwóch momentów  : ${\ displaystyle r}$${\ displaystyle r_ {f}}$${\ displaystyle w_ {0}}$${\ displaystyle q}$${\ displaystyle w_ {0} -q}$${\ displaystyle q}$${\ Displaystyle w = (w_ {0} -q) r_ {f} + qr}$${\ displaystyle q}$${\ displaystyle w}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle {\ tfrac {w- \ mu _ {w}} {\ sigma _ {w}}},}$${\ displaystyle w}$${\ displaystyle \ mu _ {w} + \ sigma _ {w} x}$${\ displaystyle w}$

${\ displaystyle \ operatorname {e} u (w) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \! u (\ mu _ {w} + \ sigma _ {w} x) f (x) \ , dx \ equiv v (\ mu _ {w}, \ sigma _ {w}),}$

gdzie jest funkcją użyteczności von Neumanna Morgenstern , znajduje się funkcję gęstości z i jest wyprowadzony funkcja wybór Średnie odchylenie standardowe, co zależy od postaci funkcji gęstości f . Zakłada się, że funkcja użyteczności von Neumanna – Morgensterna rośnie, co oznacza, że ​​preferowane jest większe bogactwo niż mniej, i zakłada się, że jest ona wklęsła, co jest tym samym, co założenie, że jednostka ma awersję do ryzyka . ${\ Displaystyle u (\ cdot)}$${\ displaystyle f (x)}$${\ displaystyle x}$${\ Displaystyle v (\ cdot, \ cdot)}$

Można wykazać, że pochodna cząstkowa v względem μ _w jest dodatnia, a pochodna cząstkowa v względem σ _w jest ujemna; tak więc bardziej oczekiwane bogactwo jest zawsze lubiane, a większe ryzyko (mierzone odchyleniem standardowym bogactwa) jest zawsze nielubiane. Krzywa obojętności ze średnim odchyleniem standardowym jest definiowana jako zbiór punktów ( σ _w ,  μ _w ) z σ _w wykreślonym poziomo, tak że E u ( w ) ma tę samą wartość we wszystkich punktach miejsca. Wówczas pochodne v implikują, że każda krzywa obojętności jest nachylona w górę, to znaczy wzdłuż dowolnej krzywej obojętności dμ _w  /  d σ _w  > 0. Ponadto można wykazać, że wszystkie takie krzywe obojętności są wypukłe: wzdłuż dowolnej krzywej obojętności, d ² μ _w  /  d (σ _w ) ²  > 0.

Przykład 2: Analizę portfela w przykładzie 1 można uogólnić. Jeśli istnieje n ryzykownych aktywów zamiast tylko jednego i jeśli ich zwroty są wspólnie rozłożone eliptycznie , wówczas wszystkie portfele można całkowicie scharakteryzować za pomocą ich średniej i wariancji - to znaczy dowolne dwa portfele z identyczną średnią i wariancją zwrotu z portfela mają identyczne rozkłady zwrotu z portfela - a wszystkie możliwe portfele mają rozkłady zwrotów powiązane ze sobą w skali lokalizacji. W ten sposób optymalizację portfela można wdrożyć za pomocą modelu decyzyjnego w dwóch momentach.

Przykład 3. Załóżmy, że cena podejmowania , unikania ryzyka firma musi potwierdzić wytwarzania ilość wyjściowego q przed obserwacji realizacja rynku str na cenę wyrobu. Jej problemem decyzyjnym jest wybór q tak, aby zmaksymalizować oczekiwaną użyteczność zysku:

Maksymalizuj E u ( pq - c ( q ) - g ),

gdzie E to operator wartości oczekiwanej , u to funkcja użyteczności firmy, c to funkcja kosztu zmiennego , a g to jej koszt stały . Wszystkie możliwe rozkłady losowego pq przychodu firmy , oparte na wszystkich możliwych wyborach q , są powiązane ze skalą lokalizacji; tak więc problem decyzyjny można ująć w kategoriach oczekiwanej wartości i wariancji przychodów.

Podejmowanie decyzji dotyczących nieprzewidzianej użyteczności

Jeśli decydent nie jest oczekiwanym maksymalizatorem użyteczności , proces decyzyjny można nadal ująć w ramy średniej i wariancji zmiennej losowej, jeśli wszystkie alternatywne rozkłady dla nieprzewidywalnego wyniku są wzajemnymi transformacjami w skali lokalizacji.

Zobacz też

• Teoria decyzji
• Wybór portfela międzyokresowego
• Mikroekonomia

Bibliografia