Krzywa objętości - Indifference curve

Przykład mapy obojętności z przedstawionymi trzema krzywymi obojętności

W ekonomii , krzywa obojętności łączy punkty na wykresie, reprezentujących różne ilości dwóch dóbr, punkty pomiędzy którymi konsument jest obojętny . Oznacza to, że wszelkie kombinacje dwóch produktów wskazanych przez krzywą zapewnią konsumentowi równy poziom użyteczności, a konsument nie ma preferencji dla jednej kombinacji lub pakietu towarów w stosunku do innej kombinacji na tej samej krzywej. Można również odnieść się do każdego punktu na krzywej obojętności jako oddającego ten sam poziom użyteczności (zadowolenia) dla konsumenta. Innymi słowy, krzywa obojętności to umiejscowienie różnych punktów pokazujących różne kombinacje dwóch dóbr zapewniających konsumentowi równą użyteczność. Użyteczność jest zatem narzędziem do reprezentowania preferencji, a nie czymś, z którego pochodzą preferencje. Głównym zastosowaniem krzywych obojętności jest przedstawienie potencjalnie obserwowalnych wzorców popytu dla indywidualnych konsumentów w stosunku do pakietów towarów.

Jest nieskończenie wiele krzywych obojętności: jedna przechodzi przez każdą kombinację. Zbiór (wybranych) krzywych obojętności, zilustrowanych graficznie, nazywany jest mapą obojętności . „Nachylenie krzywej IC to MRS (marginalna stopa substytucji)” Spadek MRS, który prowadzi do wypukłej krzywej IC”

Historia

Teoria krzywych obojętności została opracowana przez Francisa Ysidro Edgewortha , który w swojej książce z 1881 roku wyjaśnił matematykę potrzebną do ich rysowania; później Vilfredo Pareto był pierwszym autorem, który faktycznie narysował te krzywe w swojej książce z 1906 roku. Teoria ta może pochodzić od William Stanley Jevons ' porządkowej użyteczności teorii, która zakłada, że ludzie zawsze mogą zaliczać żadnych wiązek konsumpcji przez kolejności preferencji.

Mapa i właściwości

Przykład uzyskiwania krzywych obojętności jako krzywych poziomu funkcji użyteczności

Wykres krzywych obojętności dla kilku poziomów użyteczności indywidualnego konsumenta nazywany jest mapą obojętności . Każdy punkt dający różne poziomy użyteczności jest powiązany z odrębnymi krzywymi obojętności, a te krzywe obojętności na mapie obojętności są jak linie konturowe na wykresie topograficznym. Każdy punkt na krzywej reprezentuje tę samą wysokość. Jeśli zejdziesz z krzywej obojętności poruszającej się w kierunku północno-wschodnim (przy założeniu dodatniej użyteczności krańcowej dóbr), to w zasadzie wspinasz się na pagórek użyteczności. Im wyżej idziesz, tym wyższy poziom użyteczności. Wymóg braku nasycenia oznacza, że ​​nigdy nie osiągniesz „szczytu” lub „ punktu błogości ”, preferowanego od wszystkich innych pakietów konsumpcyjnych.

Krzywe obojętności są zazwyczaj przedstawiane jako:

1. Zdefiniowane tylko w nieujemnym kwadrancie ilości towarów (tj. ignoruje się możliwość posiadania ujemnych ilości dowolnego towaru).
2. Ujemnie nachylony. Oznacza to, że wraz ze wzrostem ilości konsumowanej jednego dobra (X), całkowita satysfakcja wzrośnie, jeśli nie zostanie zrekompensowana spadkiem ilości konsumowanej drugiego dobra (Y). Równoważnie, nasycenie , takie, że więcej dobra (lub obu) jest jednakowo preferowane niż brak wzrostu, jest wykluczone. (Jeżeli użyteczność U = f(x, y) , U , w trzecim wymiarze, nie ma lokalnego maksimum dla żadnej wartości x i y .) Ujemne nachylenie krzywej obojętności odzwierciedla założenie monotoniczności preferencji konsumenta, która generuje monotonicznie rosnące funkcje użyteczności oraz założenie o nienasyceniu (użyteczność krańcowa dla wszystkich dóbr jest zawsze dodatnia); nachylona w górę krzywa obojętności sugerowałaby, że konsumentowi jest obojętne, czy wiązka A i inny pakiet B leżą na tej samej krzywej obojętności, nawet w przypadku, gdy ilość obu towarów w wiązce B jest wyższa. Ze względu na monotoniczność preferencji i nienasycenie, wiązka z większą ilością obu dóbr musi być preferowana w stosunku do wiązki z mniejszą ilością obu, a zatem pierwsza wiązka musi dawać wyższą użyteczność i leżeć na innej krzywej obojętności na wyższym poziomie użyteczności. Ujemne nachylenie krzywej obojętności oznacza, że krańcowa stopa substytucji jest zawsze dodatnia;
3. Complete , tak, że wszystkie punkty na krzywej obojętności są uszeregowane tak samo jako preferowane i bardziej lub mniej preferowane niż każdy inny punkt nie na krzywej. Tak więc w przypadku (2) żadne dwie krzywe nie mogą się przecinać (w przeciwnym razie zostanie naruszone nienasycenie).
4. Przechodni w odniesieniu do punktów na różnych krzywych obojętności. Oznacza to, że jeśli każdy punkt I ₂ jest (dokładnie) są korzystne do każdego punktu na I ₁ , a każdy punkt I ₃ jest korzystny dla każdego punktu na I ₂ , każdy punkt I ₃ jest korzystny dla każdego punktu na I ₁ . Ujemne nachylenie i przechodniość wykluczają przecinanie się krzywych obojętności, ponieważ linie proste z początku po obu stronach miejsca, w którym się przecinają, dawałyby przeciwne i nieprzechodnie rankingi preferencji.
5. (Ściśle) wypukły . W przypadku (2) wypukłe preferencje implikują, że krzywe obojętności nie mogą być wklęsłe względem początku, tj. będą albo liniami prostymi, albo wypukłymi w kierunku początku krzywej obojętności. Jeśli tak jest, to w miarę jak konsument zmniejsza konsumpcję jednego dobra w kolejnych jednostkach, wymagane są sukcesywnie większe dawki drugiego dobra, aby satysfakcja pozostała na niezmienionym poziomie.

Założenia teorii preferencji konsumentów

• Preferencje są kompletne . Konsument uszeregował wszystkie dostępne alternatywne kombinacje towarów pod względem satysfakcji, jaką mu dostarczają.

Załóżmy, że istnieją dwie wiązki zużycia A i B, z których każda zawiera dwa towary x i y . Konsument może jednoznacznie stwierdzić, że ma miejsce tylko jedno z poniższych:

• A jest preferowane od B , formalnie zapisane jako A ^p B
• B jest preferowane od A , formalnie zapisane jako B ^p A
• A jest obojętne na B , formalnie zapisane jako A ^I B

Aksjomat ten wyklucza możliwość, że konsument nie może decydować. Zakłada, że ​​konsument jest w stanie dokonać takiego porównania w odniesieniu do każdego wyobrażalnego pakietu towarów.

• Preferencje są refleksyjne

Oznacza to, że jeśli A i B są identyczne pod każdym względem, konsument rozpozna ten fakt i będzie obojętny przy porównywaniu A i B

• A = B ⇒ A ^I B

• Preferencje są przechodnie

• Jeśli A ^p B i B ^p C , to A ^p C .
• Także jeśli A ^I B i B ^I C , to A ^I C .

Jest to założenie o spójności.

• Preferencje są ciągłe

• Jeśli korzystnie B i C, jest wystarczająco blisko B następnie korzystnie C .
• A ^p B i C → B ⇒ A ^p C .

„Ciągły” oznacza nieskończenie podzielny - tak jak jest nieskończenie wiele liczb między 1 a 2, wszystkie wiązki są nieskończenie podzielne. To założenie sprawia, że ​​krzywe obojętności są ciągłe.

• Preferencje wykazują silną monotoniczność

• Jeśli A ma więcej zarówno x, jak i y niż B , to A jest preferowane od B .

Założenie to jest powszechnie nazywane założeniem „więcej znaczy lepiej”.

Alternatywna wersja tego założenia wymaga, że ​​jeśli A i B mają taką samą ilość jednego dobra, ale A ma więcej drugiego, to A jest preferowane w stosunku do B .

Oznacza to również, że towary są raczej dobre niż złe . Przykładami złych towarów mogą być choroby, zanieczyszczenia itp., ponieważ zawsze pragniemy mniej takich rzeczy.

• Krzywe obojętności wykazują malejące krańcowe stopy substytucji

• Krańcowa stopa substytucji mówi, ile „y” osoba jest skłonna poświęcić, aby uzyskać jeszcze jedną jednostkę „x”.
• To założenie zapewnia, że ​​krzywe obojętności są gładkie i wypukłe względem początku.
• Założenie to również przygotowało grunt pod zastosowanie technik optymalizacji z ograniczeniami, ponieważ kształt krzywej zapewnia, że ​​pierwsza pochodna jest ujemna, a druga dodatnia.
• Inną nazwą tego założenia jest założenie podstawienia . Jest to najbardziej krytyczne założenie teorii konsumenckiej: konsumenci są gotowi zrezygnować z części jednego dobra lub kupić więcej innego. Podstawowym twierdzeniem jest to, że istnieje maksymalna ilość, jaką „konsument zrezygnuje z jednego towaru, aby otrzymać jedną jednostkę innego dobra, w ilości, która pozostawi konsumenta obojętnym między nową i starą sytuacją”. krzywe obojętności reprezentują chęć konsumenta do dokonania kompromisu.

Podanie

Aby zmaksymalizować użyteczność gospodarstwo domowe powinno konsumować na poziomie (Qx, Qy). Zakładając, że tak, można wywnioskować pełny harmonogram popytu, ponieważ cena jednego dobra się zmienia.

Teoria konsumenta wykorzystuje krzywe obojętności i ograniczenia budżetowe do generowania krzywych popytu konsumentów . Dla pojedynczego konsumenta jest to stosunkowo prosty proces. Po pierwsze, niech jedno dobro będzie przykładowym rynkiem, np. marchew, a drugie niech będzie złożeniem wszystkich innych dóbr. Ograniczenia budżetowe dają prostą linię na mapie obojętności, pokazując wszystkie możliwe dystrybucje między dwoma dobrami; Punktem maksymalnej użyteczności jest wtedy punkt, w którym krzywa obojętności jest styczna do linii budżetowej (na ilustracji). Wynika to ze zdrowego rozsądku: jeśli rynek wycenia dobro bardziej niż gospodarstwo domowe, to gospodarstwo domowe je sprzeda; jeśli rynek wycenia dobro mniej niż gospodarstwo domowe, kupi je. Proces ten trwa do momentu, gdy krańcowe stopy substytucji na rynku i gospodarstwie domowym zrównają się. Teraz, jeśli cena marchewek miałaby się zmienić, a cena wszystkich innych towarów miałaby pozostać stała, nachylenie linii budżetowej również by się zmieniło, prowadząc do innego punktu styczności i innej ilości popytu. Te kombinacje cena/ilość można następnie wykorzystać do wyprowadzenia pełnej krzywej popytu. Linia łącząca wszystkie punkty styczności między krzywą obojętności a ograniczeniem budżetowym nazywana jest ścieżką ekspansji .

Przykłady krzywych obojętności

• 

  Rysunek 1: Przykład mapy obojętności z przedstawionymi trzema krzywymi obojętności

• 

  Rysunek 2: Trzy krzywe obojętności, w których dobra X i Y są doskonałymi substytutami. Szara linia prostopadła do wszystkich krzywych wskazuje, że krzywe są wzajemnie równoległe.

• 

  Rysunek 3: Krzywe obojętności dla doskonałych dopełnień X i Y . Łokcie krzywych są współliniowe .

Na rysunku 1 konsument wolałby być na I ₃ niż na I ₂ i wolałby raczej być na I ₂ niż I ₁ , ale nie obchodzi go, gdzie jest na danej krzywej obojętności. Nachylenie krzywej obojętności (w wartości bezwzględnej), znanej ekonomistom jako krańcowa stopa substytucji , pokazuje tempo, w jakim konsumenci są gotowi oddać jedno dobro w zamian za więcej drugiego. Dla większości dóbr krańcowa stopa substytucji nie jest stała, więc ich krzywe obojętności są zakrzywione. Krzywe są wypukłe do początku, opisując negatywny efekt substytucji . W miarę wzrostu ceny stałego dochodu pieniężnego konsument szuka tańszego substytutu na niższej krzywej obojętności. Efekt substytucji jest wzmacniany przez efekt dochodowy niższych dochodów realnych (Beattie-LaFrance). Przykładem funkcji użyteczności generującej tego rodzaju krzywe obojętności jest funkcja Cobba–Douglasa . Ujemne nachylenie krzywej obojętności obejmuje gotowość konsumenta do kompromisów. ${\ Displaystyle \ scriptstyle U \ lewo (x, y \ prawo) = x ^ {\ alfa} y ^ {1-\ alfa}, 0 \ równoważnik \ alfa \ równoważnik 1}$

Jeśli dwa dobra są doskonałymi substytutami, wówczas krzywe obojętności będą miały stały nachylenie, ponieważ konsument byłby skłonny przełączać się między nimi w stałym stosunku. Krańcowa stopa substytucji między doskonałymi substytutami jest również stała. Przykładem funkcji użyteczności powiązanej z takimi krzywymi obojętności może być . ${\ Displaystyle \ scriptstyle U \ lewo (x, y \ prawo) = \ alfa x + \ beta y}$

Jeśli dwa towary są idealnymi dopełnieniami, wówczas krzywe obojętności będą miały kształt litery L. Przykłady doskonałych uzupełnień obejmują lewe buty w porównaniu do prawych butów: konsumentowi nie lepiej jest mieć kilka prawych butów, jeśli ma tylko jeden lewy but – dodatkowe prawe buty mają zerową użyteczność marginalną bez większej liczby lewych butów, więc pakiety towarów różniące się tylko Liczba właściwych butów, które obejmują - jakkolwiek wiele - jest równie preferowana. Krańcowa stopa substytucji jest albo zerowa, albo nieskończona. Przykładem typu funkcji użyteczności, która ma taką mapę obojętności jak powyżej, jest funkcja Leontiefa: . ${\ Displaystyle \ scriptstyle U \ lewo (x, y \ prawy) = \ min \ {\ alfa x \ beta r \}}$

Różne kształty krzywych implikują różne reakcje na zmianę ceny, jak wynika z analizy popytu w teorii konsumenta . Wyniki zostaną podane tylko tutaj. Zmiana linii cenowo-budżetowej, która utrzymywała konsumenta w równowadze na tej samej krzywej obojętności:

na rys. 1 płynnie zmniejszyłby popyt na dobro, ponieważ cena tego dobra wzrosła relatywnie.

na rys. 2 nie miałoby żadnego wpływu na wielkość popytu na dobro (na jednym końcu ograniczenia budżetowego) lub zmieniłoby wielkość popytu z jednego końca ograniczenia budżetowego na drugi.

na rys. 3 nie miałoby żadnego wpływu na wymagane ilości równowagi, ponieważ linia budżetowa obracałaby się wokół rogu krzywej obojętności.

Relacje preferencji i użyteczność

Teoria wyboru formalnie reprezentuje konsumentów przez relację preferencji i używa tej reprezentacji do wyprowadzenia krzywych obojętności pokazujących kombinacje równych preferencji dla konsumenta.

Relacje preferencji

Pozwolić

${\displaystyle A\;}$ być zbiorem wzajemnie wykluczających się alternatyw, spośród których konsument może wybierać.

${\displaystyle a\;}$i być ogólnymi elementami .${\displaystyle b\;}$${\displaystyle A\;}$

W języku powyższego przykładu zestaw składa się z kombinacji jabłek i bananów. Symbol to jedna z takich kombinacji, np. 1 jabłko i 4 banany, oraz inna kombinacja, np. 2 jabłka i 2 banany. ${\displaystyle A\;}$${\displaystyle a\;}$${\displaystyle b\;}$

Relacja preferencji, oznaczona , jest relacją binarną zdefiniowaną na zbiorze . ${\displaystyle \succeq}$${\displaystyle A\;}$

Wyrok

${\displaystyle a\succeq b\;}$

jest opisany jako „ jest słabo preferowany do ”. Oznacza to, że jest co najmniej tak dobry, jak (w preferencjach satysfakcja). ${\displaystyle a\;}$${\displaystyle b\;}$${\displaystyle a\;}$${\displaystyle b\;}$

Wyrok

${\displaystyle a\sim b\;}$

jest opisany jako ' jest słabo preferowany i jest słabo preferowany do '. Oznacza to, że jest się obojętnym na wybór lub , co oznacza nie tyle, że są one niechciane, ile równie dobre w zaspokajaniu preferencji. ${\displaystyle a\;}$${\displaystyle b\;}$${\displaystyle b\;}$${\displaystyle a\;}$${\displaystyle a\;}$${\displaystyle b\;}$

Wyrok

${\displaystyle a\succ b\;}$

jest opisany jako „ jest słabo preferowany , ale nie jest słabo preferowany ”. Mówi się, że „ jest ściśle preferowane niż ”. ${\displaystyle a\;}$${\displaystyle b\;}$${\displaystyle b\;}$${\displaystyle a\;}$${\displaystyle a\;}$${\displaystyle b\;}$

Relacja preferencji jest kompletna, jeśli wszystkie pary mogą być uszeregowane. Relacja jest relacją przechodnią, jeśli kiedykolwiek i wtedy . ${\displaystyle \succeq}$${\displaystyle a,b\;}$${\displaystyle a\succeq b\;}$${\displaystyle b\succeq c,\;}$${\displaystyle a\succeq c\;}$

Dla każdego elementu odpowiadająca mu krzywa obojętności składa się ze wszystkich elementów, które są obojętne na . Formalnie, ${\displaystyle a\w A\;}$${\ Displaystyle {\ Mathcal {C}} _ ​​{a}}$${\displaystyle A\;}$${\displaystyle a}$

${\ Displaystyle {\ mathcal {C}} _ ​​{a} = \ {b \ w A: b \ sim a \}}$.

Formalne powiązanie z teorią użyteczności

W powyższym przykładzie element zestawu składa się z dwóch liczb: liczby jabłek, nazwij to i liczby bananów, nazwij to${\displaystyle a\;}$${\displaystyle A\;}$${\displaystyle x,\;}$${\displaystyle y.\;}$

W użytkowego teorii, działanie narzędzie o środka jest to funkcja, która plasuje się wszystkie pary pęczków konsumpcji przez celu uprzywilejowania ( kompletności ) tak, że każdy zestaw trzech lub więcej paczek tworzy przechodni . Oznacza to, że dla każdego pakietu istnieje unikalna relacja , reprezentująca relację użyteczności (zadowolenia) skojarzoną z . Relacja nazywana jest funkcją użyteczności . Zakres funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych . Rzeczywiste wartości funkcji nie mają znaczenia. Tylko uszeregowanie tych wartości ma treść dla teorii. Dokładniej, jeśli , to wiązka jest co najmniej tak dobra jak wiązka . Jeśli , pakiet jest opisany jako ściśle preferowany w stosunku do pakietu . ${\ Displaystyle \ lewo (x, y \ prawo)}$${\ Displaystyle U \ lewo (x, y \ prawo)}$${\ Displaystyle \ lewo (x, y \ prawo)}$${\ Displaystyle \ lewo (x, y \ prawo) \ do U \ lewo (x, y \ prawo)}$${\displaystyle U(x,y)\geq U(x',y')}$${\ Displaystyle \ lewo (x, y \ prawo)}$${\ Displaystyle \ lewo (x', y' \ prawo)}$${\ Displaystyle U \ lewo (x, y \ prawo)> U \ lewo (x', y' \ prawo)}$${\ Displaystyle \ lewo (x, y \ prawo)}$${\ Displaystyle \ lewo (x', y' \ prawo)}$

Rozważmy konkretny pakiet i wziąć całkowitą pochodną o około tego punktu: ${\ Displaystyle \ lewo (x_ {0}, Y_ {0} \ prawo)}$${\ Displaystyle U \ lewo (x, y \ prawo)}$

${\ Displaystyle dU \ lewo (x_ {0}, y_ {0} \ prawo) = U_ {1} \ lewo (x_ {0}, y_ {0} \ prawo) dx + U_ {2} \ lewo (x_ { 0},y_{0}\prawo)dy}$

lub bez utraty ogólności,

${\ Displaystyle {\ Frac {dU \ lewo (x_ {0}, y_ {0} \ prawo)} {dx}} = U_ {1} (x_ {0}, y_ {0}). 1 + U_ {2 }(x_{0},y_{0}){\frac {dy}{dx}}}$ (Równanie 1)

gdzie jest pochodną cząstkową z względem pierwszego argumentu, oszacowaną na . (Podobnie dla ) ${\ Displaystyle U_ {1} \ lewy (x, y \ prawy)}$${\ Displaystyle U \ lewo (x, y \ prawo)}$${\ Displaystyle \ lewo (x, y \ prawo)}$${\displaystyle U_{2}\lewo (x,y\prawo).}$

Krzywa obojętności musi zapewniać w każdym wiązce na krzywej ten sam poziom użyteczności co wiązka . Oznacza to, że gdy preferencje są reprezentowane przez funkcję użyteczności, krzywe obojętności są krzywymi poziomu funkcji użyteczności. W związku z tym, jeśli jest zmiana ilości od bez ruszania krzywej obojętności, trzeba również zmieniać ilość w ilości tak, że w końcu nie ma zmiany w U : ${\ Displaystyle \ lewo (x_ {0}, Y_ {0} \ prawo)}$${\ Displaystyle \ lewo (x_ {0}, Y_ {0} \ prawo)}$${\displaystyle x\,}$${\displaystyle dx\,}$${\displaystyle y\,}$${\displaystyle dy\,}$

${\ Displaystyle {\ Frac {dU \ lewo (x_ {0}, Y_ {0} \ prawo)} {dx}} = 0}$, lub podstawiając 0 do (Równanie 1) powyżej, aby znaleźć dy/dx :

${\ Displaystyle {\ Frac {dU \ lewo (x_ {0}, Y_ {0} \ prawo)} {dx}} = 0 \ Leftrightarrow {\ Frac {dy} {dx}} = - {\ Frac {U_ { 1}(x_{0},y_{0})}{U_{2}(x_{0},y_{0})}}}$.

Zatem stosunek użyteczności krańcowych daje bezwzględną wartość nachylenia krzywej obojętności w punkcie . Stosunek ten nazywa się krańcową stopą substytucji pomiędzy a . ${\ Displaystyle \ lewo (x_ {0}, Y_ {0} \ prawo)}$${\displaystyle x\,}$${\displaystyle y\,}$

Przykłady

Użyteczność liniowa

Jeżeli funkcja użyteczności ma postać, to użyteczność krańcowa is i użyteczność krańcowa is . Nachylenie krzywej obojętności wynosi zatem ${\ Displaystyle U \ lewo (x, y \ prawo) = \ alfa x + \ beta y}$${\displaystyle x\,}$${\ Displaystyle U_ {1} \ lewy (x, y \ prawy) = \ alfa}$${\displaystyle y\,}$${\ Displaystyle U_ {2} \ lewy (x, y \ prawy) = \ beta}$

${\ Displaystyle {\ Frac {dx} {dy}} = - {\ Frac {\ beta} {\ alfa}}.}$

Zauważ, że nachylenie nie zależy od lub : krzywe obojętności są liniami prostymi. ${\displaystyle x\,}$${\displaystyle y\,}$

Narzędzie Cobba–Douglasa

Klasa funkcji użyteczności znana jako funkcje użyteczności Cobba-Douglasa jest bardzo powszechnie stosowana w ekonomii z dwóch powodów:

1. Reprezentują dobrze wychowane preferencje, takie jak więcej znaczy lepiej i preferencja dla różnorodności.

2. Są bardzo elastyczne i można je bardzo łatwo dostosować do rzeczywistych danych. Jeśli funkcja użyteczności ma postać użyteczności krańcowej is i użyteczności krańcowej is .Gdzie . Nachylenie krzywej obojętności i dlatego negatywowi krańcowej szybkość podstawienia , to wtedy ${\ Displaystyle U \ lewo (x, y \ prawo) = x ^ {\ alfa} y ^ {1-\ alfa}}$${\displaystyle x\,}$${\ Displaystyle U_ {1} \ lewo (x, y \ prawo) = \ alfa \ lewo (x / y \ prawo) ^ {\ alfa -1}}$${\displaystyle y\,}$${\ Displaystyle U_ {2} \ lewo (x, y \ prawo) = (1-\ alfa) \ lewo (x/y \ prawo) ^ {\ alfa}}$${\ Displaystyle \ alfa <1}$

${\ Displaystyle {\ Frac {dx} {dy}} = - {\ Frac {\ alfa} {1-\ alfa}} \ lewo ({\ Frac {y} {x}} \ prawej).}$

Narzędzie CES

Ogólna forma CES ( Stała Elastyczność Substytucji ) to:

${\ Displaystyle U (x, y) = \ lewo (\ alfa x ^ {\ rho} + (1-\ alfa) y ^ {\ rho} \ prawej) ^ {1/\ rho}}$

gdzie i . ( Cobb-Douglas jest szczególnym przypadkiem użyteczności CES, z .) Użyteczności krańcowe są podane przez ${\ Displaystyle \ alfa \ w (0,1)}$${\ Displaystyle \ rho \ leq 1}$${\displaystyle \rho \rightarrow 0\,}$

${\ Displaystyle U_ {1} (x, y) = \ alfa \ lewo (\ alfa x ^ {\ rho} + (1-\ alfa) y ^ {\ rho} \ prawej) ^ {\ lewo (1/\ rho \right)-1}x^{\rho -1}}$

oraz

${\ Displaystyle U_ {2} (x, y) = (1-\ alfa) \ lewo (\ alfa x ^ {\ rho} + (1- \ alfa) y ^ {\ rho} \ prawej) ^ {\ lewo (1/\rho \right)-1}y^{\rho -1}.}$

Dlatego wzdłuż krzywej obojętności

${\ Displaystyle {\ Frac {dx} {dy}} = - {\ Frac {1-\ alfa} {\ alfa}} \ lewo ({\ Frac {x} {y}} \ prawej) ^ {1-\ rho }.}$

Te przykłady mogą być przydatne do modelowania indywidualnego lub zagregowanego popytu.

Biologia

Stosowana w biologii krzywa obojętności jest modelem tego, w jaki sposób zwierzęta „decydują”, czy wykonać określone zachowanie, w oparciu o zmiany dwóch zmiennych, które mogą nasilać się, jednej wzdłuż osi x, a drugiej wzdłuż osi y . Na przykład oś x może mierzyć ilość dostępnej żywności, podczas gdy oś y mierzy ryzyko związane z jej uzyskaniem. Wykreśla się krzywą obojętności, aby przewidzieć zachowanie zwierzęcia przy różnych poziomach ryzyka i dostępności pokarmu.

Krytyka

Krzywe obojętności dziedziczą ogólnie krytykę dotyczącą użyteczności .

Herbert Hovenkamp (1991) twierdził, że występowanie efektu wyposażenia ma znaczące implikacje dla prawa i ekonomii , szczególnie w odniesieniu do ekonomii dobrobytu . Twierdzi on, że obecność efektu wyposażenia wskazuje, że dana osoba nie ma krzywej obojętności (zob. jednak Hanemann, 1991), czyniąc neoklasyczne narzędzia analizy dobrobytu bezużytecznymi, wnioskując, że sądy powinny zamiast tego używać WTA jako miary wartości. Fischel (1995) przeciwstawia się jednak twierdzeniu, że używanie WTA jako miary wartości powstrzymałoby rozwój krajowej infrastruktury i wzrost gospodarczy .

Zobacz też

Uwagi

Bibliografia

Dalsza lektura

• Beattie, Bruce R.; LaFrance, Jeffrey T. (2006). „Prawo popytu w porównaniu z malejącą użytecznością krańcową” (PDF) . Stosowane perspektywy gospodarcze i polityka . 28 (2): 263–271. doi : 10.1111/j.1467-9353.2006.00286.x .

Zewnętrzne linki

• Anatomia funkcji użytkowych typu Cobba-Douglasa w 3D
• Anatomia funkcji użytkowych typu CES w 3D