Całka trygonometryczna - Trigonometric integral

W matematyce , trygonometryczne całki są rodziny z całek udziałem funkcji trygonometrycznych .

Całka sinusowa

Różne definicje całki sinusowej to

${\ Displaystyle \ Operatorname {Si} (x) = \ int _ {0} ^ {x} {\ Frac {\ sin t} {t}} \ dt}$

${\ Displaystyle \ Operatorname {si} (x) = - \ int _ {x} ^ {\ infty} {\ Frac {\ sin t} {t}} \ dt ~.}$

Zauważ, że całka sin x ⁄ x jest funkcją sinc , a także zerową sferyczną funkcją Bessela . Ponieważ sinc jest pełną parzystą funkcją ( holomorficzną na całej płaszczyźnie zespolonej), Si jest pełne, nieparzyste, a całka w swojej definicji może być wzięta wzdłuż dowolnej ścieżki łączącej punkty końcowe.

Z definicji, Si ( x ) jest pierwotna z sin x / x , którego wartość jest równa zeru w x = 0 , a Si ( x ) jest pierwotna, którego wartość jest równa zeru w x = ∞ . Ich różnica jest podana przez całkę Dirichleta ,

${\ Displaystyle \ operatorname {Si} (x) - \ operatorname {si} (x) = \ inft _ {0} ^ {\ infty} {\ Frac {\ sin t} {t}} \ dt = {\ frac {\pi }{2}}\quad {\text{ lub }}\quad \nazwa operatora {Si} (x)={\frac {\pi }{2}}+\nazwa operatora {si} (x)~ .}$

W przetwarzaniu sygnału oscylacje całki sinusoidalnej powodują artefakty przeregulowania i dzwonienia w przypadku stosowania filtra sinc , a dzwonienie w domenie częstotliwości w przypadku stosowania obciętego filtra sinus jako filtra dolnoprzepustowego .

Powiązane jest zjawisko Gibbsa : Jeśli całka sinus jest uważana za splot funkcji sinc z funkcją skoku heaviside'a , odpowiada to obcięciu szeregu Fouriera , co jest przyczyną zjawiska Gibbsa.

Całka cosinus

Różne definicje całki cosinus są

${\ Displaystyle \ Operatorname {Cin} (x) = \ int _ {0} ^ {x} {\ Frac {1-\ cos t} {t}} \ dt ~,}$

${\ Displaystyle \ Operatorname {Ci} (x) = - \ int _ {x} ^ {\ infty} {\ Frac {\ cos t} {t}} \ dt = \ gamma + \ ln x- \ int _ {0}^{x}{\frac {1-\cos t}{t}}\,dt\qquad ~{\text{ for }}~\left|\operatorname {Arg} (x)\right|< \pi ~,}$

gdzie γ ≈ 0,57721566 ... jest stałą Eulera-Mascheroniego . Niektóre teksty używają ci zamiast Ci .

Ci( x ) jest pierwotną funkcją cos x / x (który znika jako ). Te dwie definicje są powiązane przez ${\displaystyle x\do \infty}$

${\ Displaystyle \ operatorname {Ci} (x) = \ gamma + \ ln x- \ operatorname {Cin} (x) ~.}$

Cin jest parzystą , pełną funkcją . Z tego powodu niektóre teksty traktują Cin jako podstawową funkcję i wyprowadzają Ci w kategoriach Cin .

Hiperboliczna całka sinusowa

Hiperboliczny sinus integralną jest zdefiniowany jako

${\ Displaystyle \ Operatorname {Shi} (x) = \ int _ {0} ^ {x} {\ Frac {\ sinh (t)} {t}} \ dt.}$

Jest powiązany z całką sinus zwyczajną przez

${\ Displaystyle \ operatorname {Si} (ix) = i \ operatorname {Shi} (x).}$

Hiperboliczna całka cosinus

Cosinus hiperboliczny integralną jest

${\ Displaystyle \ Operatorname {Chi} (x) = \ gamma + \ ln x + \ int _ {0} ^ {x} {\ frac {\ cosh t-1} {t}} \ dt \ qquad ~ {\ text{ for }}~\left|\operatorname {Arg} (x)\right|<\pi ~,}$

gdzie jest stała Eulera-Mascheroni . ${\ Displaystyle \ gamma}$

Ma rozszerzenie serii

${\ Displaystyle \ Operatorname {Chi} (x) = \ Gamma + \ ln (x) + {\ Frac {x ^ {2}} {4}} + {\ Frac {x ^ {4} {96}} +{\frac {x^{6}}{4320}}+{\frac {x^{8}}{322560}}+{\frac {x^{10}}{36288000}}+O(x^ {12}).}$

Funkcje pomocnicze

Całki trygonometryczne można rozumieć w kategoriach tzw. „funkcji pomocniczych”

${\ Displaystyle {\ zacząć {tablica} {rcl} f (x) i \ równoważne i \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {\ sin (t)} {t + x}} \, dt i =&\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-xt}}{t^{2}+1}}\,dt&=&\quad \operatorname {Ci} (x)\ sin(x)+\left[{\frac {\pi }{2}}-\operatorname {Si} (x)\right]\cos(x)~,\qquad {\text{ i }}\\g (x)&\equiv &\int _{0}^{\infty }{\frac {\cos(t)}{t+x}}\,dt&=&\int _{0}^{\infty } {\frac {te^{-xt}}{t^{2}+1}}\,dt&=&-\nazwa operatora {Ci} (x)\cos(x)+\left[{\frac {\pi }{2}}-\nazwa operatora {Si} (x)\right]\sin(x)~.\end{tablica}}}$

Korzystając z tych funkcji, całki trygonometryczne można ponownie wyrazić jako (por. Abramowitz i Stegun, s. 232 )

${\ Displaystyle {\ zacząć {tablica} {rcl} {\ Frac {\ pi} {2}} - \ nazwa operatora {si} (x) = - \ nazwa operatora {si} (x) & = i f (x) \ cos (x)+g(x)\sin(x)~,\qquad {\text{ i }}\\\nazwa operatora {Ci} (x)&=&f(x)\sin(x)-g(x) \cos(x)~.\\\end{tablica}}}$

Spirala Nielsena

Spirala utworzona przez parametryczny działki Si, Cl jest znana jako spirala Nielsen.

${\ Displaystyle x (t) = a \ razy \ operatorname {ci} (t)}$
${\ Displaystyle y (t) = a \ razy \ operatorname {si} (t)}$

Spirala jest ściśle związana z całkami Fresnela i spiralą Eulera . Spirala Nielsena znajduje zastosowanie w przetwarzaniu obrazu, budowie dróg i torów oraz w innych dziedzinach.

Ekspansja

Do oceny całek trygonometrycznych można stosować różne rozwinięcia, w zależności od zakresu argumentacji.

Szeregi asymptotyczne (dla dużego argumentu)

${\ Displaystyle \ Operatorname {Si} (x) \ SIM {\ Frac {\ pi} {2}} - {\ Frac {\ cos x} {x}} \ lewo (1-{\ Frac {2!} x^{2}}}+{\frac {4!}{x^{4}}}-{\frac {6!}{x^{6}}}\cdots \right)-{\frac {\ sin x}{x}}\left({\frac {1}{x}}-{\frac {3!}{x^{3}}}+{\frac {5!}{x^{5} }}-{\frac {7!}{x^{7}}}\cdots \right)}$

${\ Displaystyle \ Operatorname {Ci} (x) \ SIM {\ Frac {\ sin x} {x}} \ lewo (1-{\ Frac {2!} {x ^ {2}}} + {\ Frac { 4!}{x^{4}}}-{\frac {6!}{x^{6}}}\cdots \right)-{\frac {\cos x}{x}}\lewo({\ frac {1}{x}}-{\frac {3!}{x^{3}}}+{\frac {5!}{x^{5}}}-{\frac {7!}{x ^{7}}}\cdots \right)~.}$

Szeregi te są asymptotyczne i rozbieżne, chociaż można je wykorzystać do oszacowań, a nawet dokładnej oceny w ℜ( x ) ≫ 1 .

Szeregi zbieżne

${\ Displaystyle \ Operatorname {Si} (x) = \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ Frac {(-1) ^ {n} x ^ {2n + 1}} {(2n + 1 )(2n+1)!}}=x-{\frac {x^{3}}{3!\cdot 3}}+{\frac {x^{5}}{5!\cdot 5}}- {\frac {x^{7}}{7!\cdot 7}}\pm \cdots }$

${\ Displaystyle \ Operatorname {Ci} (x) = \ gamma + \ ln x + \ suma _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ Frac {(-1) ^ {n} x ^ {2 n}} 2n(2n)!}}=\gamma +\ln x-{\frac {x^{2}}{2!\cdot 2}}+{\frac {x^{4}}{4!\cdot 4 }}\mp \cdots }$

Szeregi te są zbieżne w dowolnym zespole x , chociaż dla | x | ≫ 1 , szeregi będą początkowo zbiegać się powoli, co wymaga wielu terminów dla wysokiej precyzji.

Wyprowadzenie rozszerzenia serii

${\ Displaystyle \ sin \, x = x-{\ Frac {x ^ {3}} {3!}} + {\ Frac {x ^ {5}} {5!}} - {\ Frac {x ^ { 7}}{7!}}+{\frac {x^{9}}{9!}}-{\frac {x^{11}}{11!}}+\,...}$(Rozszerzenie serii Maclaurin)

${\ Displaystyle {\ Frac {\ sin \, x} {x}} = 1- {\ Frac {x ^ {2}} {3!}} + {\ Frac {x ^ {4}} {5!} }-{\frac {x^{6}}{7!}}+{\frac {x^{8}}{9!}}-{\frac {x^{10}}{11!}}+ \,...}$

${\ Displaystyle \ dlatego \ int {\ Frac {\ sin \, x} {x}} dx = x-{\ Frac {x ^ {3}} {3! \ cdot 3}} + {\ Frac {x ^ {5}}{5!\cdot 5}}-{\frac {x^{7}}{7!\cdot 7}}+{\frac {x^{9}}{9!\cdot 9}} -{\frac {x^{11}}{11!\cdot 11}}+\,...}$

Związek z całką wykładniczą argumentu urojonego

Funkcja

$${\ Displaystyle \ Operatorname {E} _ {1} (z) = \ int _ {1} ^ {\ infty {\ Frac {\ exp (-zt)} { t}} \ dt \ qquad ~ {\ tekst{ dla }}~\Re (z)\geq 0}$$

nazywana jest całką wykładniczą . Jest blisko spokrewniony z Si i Ci ,

$${\ Displaystyle \ nazwa operatora {E} _ {1} (ix) = ja \ lewo (- {\ Frac {\ pi} {2}} + \ nazwa operatora {Si} (x) \ prawo) - \ nazwa operatora {Ci} (x)=i\nazwa operatora {si} (x)-\nazwa operatora {ci} (x)\qquad ~{\text{ dla }}~x>0~.}$$

Ponieważ każda odpowiednia funkcja ma charakter analityczny z wyjątkiem cięcia przy ujemnych wartościach argumentu, obszar ważności relacji należy rozszerzyć do (Poza tym zakresem w wyrażeniu pojawiają się dodatkowe wyrażenia będące czynnikami całkowitymi π ).

Przypadkami argumentu urojonego uogólnionej funkcji całkowo-wykładniczej są

$${\ Displaystyle \ int _ {1} ^ {\ infty} \ cos (ax) {\ Frac {\ ln x} {x}} \ dx = - {\ Frac {\ pi ^ {2}} {24} }+\gamma \left({\frac {\gamma }{2}}+\ln a\right)+{\frac {\ln ^{2}a}{2}}+\sum _{n\geq 1}{\frac {(-a^{2})^{n}}{(2n)!(2n)^{2}}}~,}$$

co jest prawdziwą częścią

$${\ Displaystyle \ int _ {1} ^ {\ infty} e ^ {iax} {\ frac {\ ln x} {x}} \ dx = - {\ Frac {\ pi ^ {2}} {24} }+\gamma \left({\frac {\gamma }{2}}+\ln a\right)+{\frac {\ln ^{2}a}{2}}-{\frac {\pi } {2}}i\left(\gamma +\ln a\right)+\sum _{n\geq 1}{\frac {(ia)^{n}}{n!n^{2}}}~ .}$$

podobnie

$${\ Displaystyle \ int _ {1} ^ {\ infty} e ^ {iax} {\ Frac {\ ln x} {x ^ {2}}} \ dx = 1 + ia \ lewo [- {\ Frac { \pi ^{2}}{24}}+\gamma \left({\frac {\gamma }{2}}+\ln a-1\right)+{\frac {\ln ^{2}a} {2}}-\ln a+1\right]+{\frac {\pi a}{2}}{\Bigl (}\gamma +\ln a-1{\Bigr )}+\sum _{n \geq 1}{\frac {(ia)^{n+1}}{(n+1)!n^{2}}}~.}$$

Skuteczna ocena

Przybliżenia Padé zbieżnych szeregów Taylora zapewniają efektywny sposób oceny funkcji dla małych argumentów. Następujące wzory, podane przez Rowe i in. (2015), z dokładnością do lepszych od 10 ^-16 do 0 ≤ x ≤ 4 ,

${\ Displaystyle {\ zacząć {tablicę} {rcl} \ operatorname {Si} (x) i \ około & x \ cdot \ lewo ({\ Frac {\ rozpocząć {tablicę} {l} 1-4.54393409816329991 \ cdot 10 ^ {- 2}\cdot x^{2}+1.15457225751016682\cdot 10^{-3}\cdot x^{4}-1.41018536821330254\cdot 10^{-5}\cdot x^{6}\\~~~+9.43280809438713025 \cdot 10^{-8}\cdot x^{8}-3.53201978997168357\cdot 10^{-10}\cdot x^{10}+7.08240282274875911\cdot 10^{-13}\cdot x^{12}\ \~~~-6.05338212010422477\cdot 10^{-16}\cdot x^{14}\end{tablica}}{\begin{tablica}{l}1+1.01162145739225565\cdot 10^{-2}\cdot x ^{2}+4.99175116169755106\cdot 10^{-5}\cdot x^{4}+1.55654986308745614\cdot 10^{-7}\cdot x^{6}\\~~~+3.28067571055789734\cdot 10^{ -10}\cdot x^{8}+4.5049097575386581\cdot 10^{-13}\cdot x^{10}+3.21107051193712168\cdot 10^{-16}\cdot x^{12}\end{array}} }\right)\\&~&\\\operator {Ci} (x)&\ok &\gamma +\ln(x)+\\&&x^{2}\cdot \left({\frac {\begin {tablica}{l}-0,25+7,51851524438898291\cdot 10^{-3}\cdot x^{2}-1,27528342240267686\cdot 10^{-4}\cdot x^{4}+1.05297363846239184\cdot 10^{- 6}\cdot x^{6}\\~~~-4.68889 508144848019\cdot 10^{-9}\cdot x^{8}+1.06480802891189243\cdot 10^{-11}\cdot x^{10}-9.93728488857585407\cdot 10^{-15}\cdot x^{12} \\\koniec{tablicy}}{\początku{l}1+1.1592605689110735\cdot 10^{-2}\cdot x^{2}+6.72126800814254432\cdot 10^{-5}\cdot x^{ 4}+2.55533277086129636\cdot 10^{-7}\cdot x^{6}\\~~~+6.97071295760958946\cdot 10^{-10}\cdot x^{8}+1.38536352772778619\cdot 10^{-12 }\cdot x^{10}+1.89106054713059759\cdot 10^{-15}\cdot x^{12}\\~~~+1.39759616731376855\cdot 10^{-18}\cdot x^{14}\\\ end{tablica}}}\right)\end{tablica}}}$

Całki mogą być obliczane pośrednio za pomocą funkcji pomocniczych i , które są zdefiniowane przez ${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle g(x)}$

$${\ Displaystyle \ Operatorname {Si} (x) = {\ Frac {\ pi} {2}} -f (x) \ cos (x) -g (x) \ sin (x)}$$		$${\ Displaystyle \ Operatorname {Ci} (x) = f (x) \ sin (x) -g (x) \ cos (x)}$$
lub równoważnie
$${\ Displaystyle f (x) \ równoważnik \ lewo [{\ Frac {\ pi} {2}} - \ nazwa operatora {Si} (x) \ prawo] \ cos (x) + \ nazwa operatora {Ci} (x) \ grzech(x)}$$		$${\ Displaystyle g (x) \ równoważnik \ lewo [{\ Frac {\ pi} {2}} - \ nazwa operatora {Si} (x) \ prawo] \ sin (x) - \ nazwa operatora {Ci} (x) \ cos(x)}$$

Dla tych Pade funkcji wymiernych podanych poniżej przybliżone i z błędem mniejszym niż 10 ^-16 : ${\displaystyle x\geq 4}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle g(x)}$

${\ Displaystyle {\ zacząć {tablica} {rcl} f (x) i \ około & {\ dfrac {1} {x}} \ cdot \ lewo ({\ Frac {\ zacząć {tablica} {l} 1 + 7.44437068161936700618 \cdot 10^{2}\cdot x^{-2}+1,96396372895146869801\cdot 10^{5}\cdot x^{-4}+2,37750310125431834034\cdot 10^{7}\cdot x^{-6}\ \~~~+1.43073403821274636888\cdot 10^{9}\cdot x^{-8}+4.33736238870432522765\cdot 10^{10}\cdot x^{-10}+6.40533830574022022911\cdot 10^{11}\cdot x ^{-12}\\~~~+4.20968180571076940208\cdot 10^{12}\cdot x^{-14}+1.00795182980368574617\cdot 10^{13}\cdot x^{-16}+4.94816688199951963482\cdot 10^ {12}\cdot x^{-18}\\~~~-4.94701168645415959931\cdot 10^{11}\cdot x^{-20}\end{tablica}}{\begin{tablica}{l}1+ 7.46437068161927678031\cdot 10^{2}\cdot x^{-2}+1.97865247031583951450\cdot 10^{5}\cdot x^{-4}+2.41535670165126845144\cdot 10^{7}\cdot x^{-6} \\~~~+1.47478952192985464958\cdot 10^{9}\cdot x^{-8}+4.58595115847765779830\cdot 10^{10}\cdot x^{-10}+7.08501308149515401563\cdot 10^{11}\cdot x^{-12}\\~~~+5.06084464593475076774\cdot 10^{12}\cdot x^{-14}+1.43468549171581016479\cdot 10^{13}\cdot x^{-16}+1.11535493509914254097\cdot 10^{13}\cdot x^{-18}\end{array}}}\right)\\&&\\g(x)& \ok &{\dfrac {1}{x^{2}}}\cdot \left({\frac {\begin{array}{l}1+8.1359520115168615\cdot 10^{2}\cdot x^{- 2}+2,35239181626478200\cdot 10^{5}\cdot x^{-4}+3.12557570795778731\cdot 10^{7}\cdot x^{-6}\\~~~+2.06297595146763354\cdot 10^{9} \cdot x^{-8}+6.83052205423625007\cdot 10^{10}\cdot x^{-10}+1.09049528450362786\cdot 10^{12}\cdot x^{-12}\\~~~+7.57664583257834349\ cdot 10^{12}\cdot x^{-14}+1.81004487464664575\cdot 10^{13}\cdot x^{-16}+6.43291613143049485\cdot 10^{12}\cdot x^{-18}\\ ~~~-1.36517137670871689\cdot 10^{12}\cdot x^{-20}\end{tablica}}{\begin{tablica}{l}1+8.19595201151451564\cdot 10^{2}\cdot x^{ -2}+2.400367528355778777\cdot 10^{5}\cdot x^{-4}+3.26026661647090822\cdot 10^{7}\cdot x^{-6}\\~~~+2.23355543278099360\cdot 10^{9 }\cdot x^{-8}+7.87465017341829930\cdot 10^{10}\cdot x^{-10}+1.39866710696414565\cdot 10^{12}\cdot x^{-12}\\~~~+1.17164723371736605 \cdot 10^{13}\cdot x^{-14}+4.01839087307 656620\cdot 10^{13}\cdot x^{-16}+3,99653257887490811\cdot 10^{13}\cdot x^{-18}\end{array}}}\right)\\\end{array} }}$

Zobacz też

• Całka logarytmiczna
• Funkcja Tanc
• Funkcja Tanhc
• Funkcja Sinhc
• Funkcja Coshc

Bibliografia

• Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann , wyd. (1983) [czerwiec 1964]. „Rozdział 5” . Podręcznik funkcji matematycznych z formułami, wykresami i tabelami matematycznymi . Seria matematyki stosowanej. 55 (dziewiąty przedruk z dodatkowymi poprawkami dziesiątego oryginalnego druku z poprawkami (grudzień 1972); wyd. pierwsze). Waszyngton; Nowy Jork: Departament Handlu Stanów Zjednoczonych, Krajowe Biuro Standardów; Publikacje Dovera. str. 231. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036 . MR  0167642 . LCCN  65-12253 .

Dalsza lektura

• Mathara, RJ (2009). „Numeryczna ocena całki oscylacyjnej nad exp ( i π x ) · x ^{1 / x} między 1 a ∞”. Dodatek B. arXiv : 0912.3844 [ math.CA ].
• Prasa, WH; Teukolski SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007). „Rozdział 6.8.2 – Całki cosinus i sinus” . Przepisy numeryczne: The Art of Scientific Computing (3rd ed.). Nowy Jork: Cambridge University Press. Numer ISBN 978-0-521-88068-8.
• Rzeźnik, Dan. „Sine-całka serii Taylora” (PDF) . Równania różnicowe do równań różniczkowych .
• Temme, NM (2010), "Całki wykładnicze, logarytmiczne, sinusoidalne i cosinusowe" , w: Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (red.), NIST Handbook of Mathematical Functions , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR  2723248

Linki zewnętrzne

• http://mathworld.wolfram.com/SineIntegral.html
• "Całkowity sinus" , Encyklopedia Matematyki , EMS Press , 2001 [1994]
• „Całkowity cosinus” , Encyklopedia Matematyki , EMS Press , 2001 [1994]