Topologiczny iloczyn tensorowy - Topological tensor product

W matematyce istnieje zwykle wiele różnych sposobów konstruowania topologicznego iloczynu tensorowego dwóch topologicznych przestrzeni wektorowych . Dla przestrzeni Hilberta lub przestrzeni jądrowych istnieje prosta, dobrze zachowująca się teoria iloczynów tensorowych (patrz iloczyn tensorowy przestrzeni Hilberta ), ale dla ogólnych przestrzeni Banacha lub lokalnie wypukłych topologicznych przestrzeni wektorowych teoria ta jest notorycznie subtelna.

Motywacja

Jedną z pierwotnych motywacji dla topologicznych iloczynów tensorowych jest fakt, że iloczyny tensorowe przestrzeni funkcji gładkich na nie zachowują się zgodnie z oczekiwaniami. Jest zastrzyk ${\displaystyle {\kapelusz {\czasy}}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$

${\ Displaystyle C ^ {\ infty} (\ mathbb {R} ^ {n}) \ otimes C ^ {\ infty} (\ mathbb {R} ^ {m}) \ hookrightarrow C ^ {\ infty} (\ mathbb {R} ^{n+m})}$

ale to nie jest izomorfizm. Na przykład funkcja nie może być wyrażona jako skończona liniowa kombinacja gładkich funkcji w Otrzymujemy izomorfizm dopiero po skonstruowaniu topologicznego iloczynu tensorowego; tj, ${\ Displaystyle f (x, y) = e ^ {xy}}$${\ Displaystyle C ^ {\ infty} (\ mathbb {R} _ {x}) \ otimes C ^ {\ infty} (\ mathbb {R} _ {y}).}$

${\ Displaystyle C ^ {\ infty} (\ mathbb {R} ^ {n}) \ mathop {\ kapelusz {\ czasy}} C ^ {\ infty} (\ mathbb {R} ^ {m}) \ cong C ^{\infty }(\mathbb {R} ^{n+m})}$

W tym artykule najpierw szczegółowo opisano konstrukcję w przypadku kosmicznej Banacha. nie jest przestrzenią Banacha i dalsze przypadki omawiamy na końcu. ${\ Displaystyle C ^ {\ infty} (\ mathbb {R} ^ {n})}$

Iloczyny tensorowe przestrzeni Hilberta

Główny artykuł: iloczyn tensorowy przestrzeni Hilberta

Tensorowy iloczyn algebraiczny dwóch przestrzeni Hilberta A i B ma naturalną dodatnią określoną formę półtoraliniową (iloczyn skalarny) indukowaną przez formy półtoraliniowe przestrzeni A i B . W szczególności ma on naturalną dodatnio określoną formę kwadratową , a odpowiadającym jej uzupełnieniem jest przestrzeń Hilberta A ⊗ B , zwana (przestrzeń Hilberta) iloczynem tensorowym A i B .

Jeśli wektory _i i b _J przejściu przez baz ortonormalnych z A i B , to wektory _i ⊗ b _j postaci zasadzie ortonormalną z A ⊗ B .

Normy krzyżowe i iloczyny tensorowe przestrzeni Banacha

W tej sekcji użyjemy notacji z ( Ryan 2002 ). Oczywistym sposobem określają produkt tensor dwóch przestrzeni Banacha i jest podany sposób przestrzenie Hilberta define normę na algebraicznej produktu napinającej, następnie zakończenie w tej normy. Problem polega na tym, że istnieje więcej niż jeden naturalny sposób zdefiniowania normy na iloczyn tensorowy. ${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle B}$

Jeżeli i to Banacha algebraiczną produkt tensor i oznacza produkt tensorowy z i w przestrzeni wektorów i jest oznaczona algebraicznej produktu tensora obejmuje wszystkie skończonych sum ${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle B}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle B}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle B}$${\ Displaystyle A \ czasami B.}$${\ Displaystyle A \ czasami B}$

gdzie jest liczbą naturalną w zależności od a , a dla ${\ Displaystyle n}$${\displaystyle x}$${\ Displaystyle a_ {i} \ w A}$${\ Displaystyle b_ {i} \ w B}$${\displaystyle i=1,\ldots,n.}$

Kiedy i są przestrzeniami Banacha, a${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle B}$ norma krzyżowa (lubnorma krzyżowa )na iloczynie tensorowym algebraicznymjest normą spełniającą warunki ${\displaystyle p}$${\ Displaystyle A \ czasami B}$

Tu i są elementy topologii podwójnej przestrzeni od i odpowiednio, i to podwójna norma od Termin${\displaystyle a^{\prim}}$${\displaystyle b^{\prim}}$${\ Displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle p^{\prim}}$${\displaystyle s.}$Dla powyższej definicji użyto również rozsądnej normy krzyżowej .

Istnieje norma krzyżowa zwana normą krzyżową projekcyjną, podana przez ${\displaystyle \pi}$

gdzie ${\ Displaystyle x \ w A \ czasami B.}$

Okazuje się, że projekcyjna norma krzyżowa zgadza się z największą normą krzyżową (( Ryan 2002 ), propozycja 2.1).

Istnieje norma krzyżowa zwana normą krzyżową iniektywną, podana przez ${\displaystyle \varepsilon}$

gdzie Tutaj i oznaczają topologiczne dualności i odpowiednio. ${\ Displaystyle x \ w A \ czasami B.}$${\ Displaystyle A ^ {\ prime}}$${\displaystyle B^{\prim}}$${\ Displaystyle A}$${\displaystyle B}$

Należy zauważyć, że iniekcyjna norma krzyżowa jest tylko w pewnym rozsądnym sensie „najmniejsza”.

Uzupełnienia iloczynu tensorowego algebraicznego w tych dwóch normach są nazywane iloczynami tensorowymi rzutowymi i iniekcyjnymi i są oznaczone przez i${\displaystyle A\operatorname {\kapelusz {\otimes}} _{\pi}B}$${\displaystyle A\operatorname {\kapelusz {\otimes}} _{\varepsilon}B.}$

Kiedy i są przestrzeniami Hilberta, norma używana dla ich iloczynu tensora przestrzeni Hilberta nie jest ogólnie równa żadnej z tych norm. Niektórzy autorzy oznaczają to przez, więc iloczyn tensora przestrzeni Hilberta w powyższej sekcji byłby${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle B}$${\displaystyle \sigma,}$${\displaystyle A\operatorname {\kapelusz {\otimes}} _{\sigma}B.}$

A jednolita norma krzyżowa to przypisanie do każdej paryprzestrzeni Banacha rozsądnej normy krzyżowej natak, że jeślisą arbitralnymi przestrzeniami Banacha to dla wszystkich (ciągłych liniowych) operatorówioperatorjest ciągły orazJeśliisą dwiema przestrzeniami Banacha ijest jednostajną normą krzyżową todefiniuje rozsądną normę krzyżową na iloczynie tensorowym algebraicznym. Znormalizowanaprzestrzeń liniowa uzyskana przez wyposażeniew tę normę jest oznaczona przezDopełnieniektórej jest przestrzenią Banacha, oznaczoną przezWartość normy podaną przezoni na wypełnionym iloczynie tensorowymdla elementw(lub) jest oznaczony przez${\ Displaystyle \ alfa}$${\ Displaystyle (X, Y)}$${\ Displaystyle X \ czasami Y}$${\displaystyle X,W,Y,Z}$${\displaystyle S:X\doW}$${\ Displaystyle T: Y \ do Z}$${\ Displaystyle S \ otimes T: X \ otimes _ {\ alfa} Y \ do W \ otimes _ {\ alfa} Z}$${\ Displaystyle \ | S \ otimes T \ | \ leq \ | S \ | \ | T \ |.}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle B}$${\ Displaystyle \ alfa}$${\ Displaystyle \ alfa}$${\ Displaystyle A \ czasami B.}$${\ Displaystyle A \ czasami B}$${\ Displaystyle A \ czasami _ {\ alfa} B.}$${\ Displaystyle A \ czasami _ {\ alfa} B}$${\ Displaystyle A \ nazwa operatora {\ kapelusz {\ czasami}} _ {\ alfa} B.}$${\ Displaystyle \ alfa}$${\ Displaystyle A \ czasami B}$${\ Displaystyle A \ nazwa operatora {\ kapelusz {\ czasami}} _ {\ alfa} B}$${\displaystyle x}$${\ Displaystyle A \ nazwa operatora {\ kapelusz {\ czasami}} _ {\ alfa} B}$${\ Displaystyle A \ czasami _ {\ alfa} B}$${\ Displaystyle \ alfa _ {A, B} (x) {\ tekst {lub}} \ alfa (x).}$

Mówi się, że jest jednolita norma krzyżowa${\ Displaystyle \ alfa}$skończenie generowane jeśli, dla każdej paryprzestrzeni Banacha i każdego${\ Displaystyle (X, Y)}$${\ Displaystyle u \ w X \ czasami Y}$

Jednolitą normą krzyżową jest${\ Displaystyle \ alfa}$kofinitely generowane if, dla każdej paryprzestrzeni Banacha i co${\ Displaystyle (X, Y)}$${\ Displaystyle u \ w X \ czasami Y}$

A norma tensorowa jest zdefiniowana jako skończenie wygenerowana jednolita norma krzyżowa. Zdefiniowane powyżejnormy krzyża projekcyjnegoinorma krzyżainiektywnegosą normami tensorów i nazywane są odpowiednio normą tensora projekcyjnego i normą tensora iniektywnego. ${\displaystyle \pi}$${\displaystyle \varepsilon}$

Jeśli i są dowolnymi przestrzeniami Banacha i jest dowolną jednorodną normą krzyżową to ${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle B}$${\ Displaystyle \ alfa}$

Iloczyny tensorowe lokalnie wypukłych topologicznych przestrzeni wektorowych

Topologie lokalnie wypukłych topologicznych przestrzeni wektorowych i są podane przez rodziny seminorm . Dla każdego wyboru seminorm sprawie oraz w sprawie możemy zdefiniować odpowiednią rodzinę norm Krzyż na algebraicznej produktu tensora i wybierając jeden poprzeczny normę od każdej rodziny krzyżowych możemy uzyskać pewne normy na zdefiniowanie topologii. Na ogół jest na to ogromna liczba sposobów. Dwa najważniejsze sposoby to wzięcie wszystkich norm krzyża projekcyjnego lub wszystkich norm krzyża iniekcyjnego. Uzupełnienia powstałych topologii nazywane są produktami tensorowymi rzutowymi i iniekcyjnymi i są oznaczone przez i Istnieje naturalna mapa od do${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle B}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle B}$${\ Displaystyle A \ czasami B}$${\ Displaystyle A \ czasami B}$${\ Displaystyle A \ czasami B}$${\ Displaystyle A \ czasami _ {\ gamma} B}$${\ Displaystyle A \ czasami _ {\ lambda} B.}$${\ Displaystyle A \ czasami _ {\ gamma} B}$${\ Displaystyle A \ czasami _ {\ lambda} B.}$

Jeśli lub jest przestrzenią jądrową, to naturalna mapa od do jest izomorfizmem . Z grubsza mówiąc, oznacza to, że jeśli lub jest jądrowy, to istnieje tylko jeden sensowny iloczyn tensorowy i . Ta właściwość charakteryzuje przestrzenie jądrowe. ${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle B}$${\ Displaystyle A \ czasami _ {\ gamma} B}$${\ Displaystyle A \ czasami _ {\ lambda} B}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle B}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle B}$

Zobacz też

• Przestrzeń Banacha  – znormalizowana przestrzeń wektorowa, która jest zupełna
• Przestrzeń Frécheta  – lokalnie wypukła topologiczna przestrzeń wektorowa, która jest jednocześnie pełną przestrzenią metryczną
• Jądro Fredholma
• Przestrzeń Hilberta  – Uogólnienie przestrzeni euklidesowej dopuszczającej nieskończone wymiary
• Produkt tensor indukcyjny
• Produkt tensora iniekcyjnego
• Lokalnie wypukła topologiczna przestrzeń wektorowa  – Przestrzeń wektorowa o topologii określonej przez wypukłe zbiory otwarte
• Przestrzeń jądrowa  – uogólnienie skończenie wymiarowych przestrzeni euklidesowych różnych od przestrzeni Hilberta
• Tensor projekcyjny produktu
• Topologia rzutowa
• Iloczyn tensorowy przestrzeni Hilberta  – przestrzeń iloczynu tensorowego obdarzona specjalnym iloczynem wewnętrznym
• Topologiczna przestrzeń  wektorowa – Przestrzeń wektorowa z pojęciem bliskości

Bibliografia

• Ryan, RA (2002), Wprowadzenie do produktów tensorowych przestrzeni Banacha , Nowy Jork: Springer.
• Grothendieck, A. (1955), „Produits tensoriel topologiques et espaces nucléaires”, Pamiętniki Amerykańskiego Towarzystwa Matematycznego , 16.